(整理)自动控制系统的数学模型

第二章自动控制系统的数学模型
教学目的：
（1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。

（2）掌握传递函数的概念及求法。

（3）通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。

（4）通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。

（5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。

（6）通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力
教学要求：
（1）正确理解数学模型的特点；
（2）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法；
（3）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数；
（4）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入
下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握；
（5）掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法；
（6）掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函
数的方法。

教学重点：
有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。

教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换；求第K条前向通道特记式。

的余子式
k
教学方法：讲授
本章学时：10学时
主要内容：
2.0 引言
2.1 动态微分方程的建立
2.2 线性系统的传递函数
2.3 典型环节及其传递函数
2.4系统的结构图
2.5 信号流图及梅逊公式
2.0引言：
什么是数学模型？为什么要建立系统的数学模型？
1. 系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。

１） 动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式，他
一般是时间函数。

如：微分方程，传递函数，状态方程等。

２） 静态模型：描述过程处于稳态时各变量之间的关系。

一般不是时间
函数
2. 建立动态模型的方法
１） 机理分析法：用定律定理建立动态模型。

２） 实验法： 运用实验数据提供的信息，采用辨识方法建模。

3. 建立动态模型的意义：找出系统输入输出变量之间的相互关系，以便分析设计系统，使系统控制效果最优。

2.1动态微分方程的建立
无论什么系统，输入输出量在暂态过程中都遵循一定的规律，来反映该系统的特征。

为了使系统满足暂态性要求，必须对系统暂态过程进行分析，掌握其内在规律，数学模型可以描述这一规律。

一、编写系统或元件微分方程的步骤：
1. 根据实际情况，确定系统的输入输出变量。

2. 从系统输入端开始，按信号传递顺序，以此写出组成系统的各个元件的微分 方程（或运动方程）。

3. 消去中间变量，写出输入输出变量的微分方程。

二、举例
例1 R —L —C 电路
根据电路基本原理有:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧==++dt du c i u u L R c r c dt
di
i
r c c
c u u dt du Rc dt u
d Lc =++⇒2
2
例2 质量－弹簧－阻尼系统
由牛顿定律： ∑=ma F
2
2dt
y
d m dt dy f ky F =--
F ky dt dy
f dt
y d m =++⇒22
3） 电动机：
电路方程： a a a
a a r i R dt
di L E u +=- (1) 动力学方程： dt
d J
M M c Ω
=- (2) ⎩⎨⎧=Ω=(4) (3)
a d d a i k M k E
(4) →(2) 得：(5) d
c
d a k M dt d k J i +Ω=
(3)(5)→(1) 得：
)(2
2c d
a
c a a r
d d a d a M k R dt dM R L u k dt d k J R dt d k J L --=Ω+Ω+Ω 整理并定义两个时间常数
m d
a
T k JR =2 机电时间常数
a a
a
T R L = 电磁时间常数 ∴ 电机方程
(........)
1
22-=Ω+Ω+Ωr d m m a u k dt d T dt
d T T 如果忽略阻力矩 即0=c M ，方程右边只有电枢回路的控制量r u ，则电机方程是一典型二阶方程
如果忽略a T （0=a T ）电机方程就是一阶的
r d
m
u k dt d T 1
=Ω+Ω
小结：本节通过讲授介绍了自动控制系统的数学模型，介绍了系统的动态以及静
态数学模型，描述了系统的动态微分方程，并通过几个典型实例给出了求自动控制系统动态微分方程的步骤。

2.2线性系统的传递函数
求解微分方程,可求出系统的输出响应,但如果方程阶次较高,则计算很繁,因此对系统的设计分析不便,所以应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的代数运算,可是问题分析大大简化.
1. 传递函数的定义：
传递函数：线性系统,在零初始条件下,输出信号的拉氏变换与输入拉氏变换之比，叫做系统的传递函数。

线性定常控制系统微分方程的一般表达式：
设线性定常系统由下述n 阶线性常微分方程描述：
)
()()()()
()()()(1111011110t r b t r dt d
b t r dt d b t r dt d b t
c a t c dt d
a t c dt
d a t c dt d a m m m m m m n n n n n n ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++------
式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，),,3,2,1(n i a i ⋅⋅⋅=和
)
,,2,1(m j b j ⋅⋅⋅=是与系统结构和参数有关的常系数。

设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令c(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s 的代数方程为：
)
(][)(][11101110s R a s b s b s b s C a s a s a s a m m m m n n n n ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++----
于是，由定义得系统传递函数为：
)()()()()(11101110s N s M a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G n n n n m m m m =
++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++==---- 式中
m m m m b s b s b s b s M ++⋅⋅⋅++=--1110)(
n
n n n a s a s a s a s N ++⋅⋅⋅++=--1110)(
2. 关于传递函数的几点说明：
1）传递函数的概念只适应于线性定常系统。

2）G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。

因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。

3）传递函数只与系统本身的特性参数有关，与系统的输入量无关。

4）传递函数不能反映系统非零初始条件下的运动规律。

5）传递函数分子多项式阶次（m ）小于等于分母多项式的阶次（n ）。

6）传递函数与微分方程之间的关系。

)
()
()(s R s C s G =
如果将dt
d
S ⇔置换 微分方程传递函数⇔
7）脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲)(t δ输入时的输出响应。

因为 1)]([)(==t L s R δ
⎰⎰-=-===--t
t
d g t r d t g t r s R s C L s C L t c 0
11)()()()()]()([)]([)(τττττ
传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t) 3.传递函数的求法：
图 2-6
输入量Xr=u ，输出量Xc=i 。

列回路电压方程：
u=Ri+L
dt
di
（2—27） 即Xr(s)=RXc(s)+LSXc(s) （2-28）
经整理得：)()(s Xr s Xc =1
/11+s T R （2—29）
其中 T l =
R
L
,为电路的时间常数。

思考题：
)0()0()(][('2
22y sy s y s dt
y d L --=-，什么是零初始条件？ 如何从该框图求得ϕ与ψ之间的关系？
传递函数从微分方程↔
2.3典型环节及其传递函数
任何系统都是由各环节构成，知道了各典型环节的传递函数就不难求出系统的传递函数，从而对系统进行分析。

这些典型环节包括：比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和时滞环节。

下面分别加以介绍：
1． 比例环节
K s G =)(
式中 K ——增益
特点： 输入输出量成比例，无失真和时间延迟。

实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。

2． 惯性环节
1
1
)(+=TS s G
式中 T ——时间常数
特点： 含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡。

实例：图2-4所示的RC 网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。

3． 微分环节
理想微分 KS s G =)( 一阶微分 1)(+=S s G τ
二阶微分 12)(22++=S S s G ξττ
特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。

实例： 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。

4．积分环节
S
s G 1
)(=
特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。

实例： 电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。

5． 振荡环节
121
2)(2
2222++=++=TS S T S S s G n
n n ξωξωω 式中 ξ——阻尼比)10(<≤ξ n ω——无阻尼自然振荡频率 n
T ω1
=
特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。

实例：RLC 电路的输出与输入电压间的传递函数。

6． 纯时间延时环节 )()(τ-=t r t c
s
(
=
)
e
s
Gτ-
式中τ——延迟时间
特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。

实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。

小结：通过本节的讲授使学生掌握了传递函数的基本概念及典型环节传递函数。

并了解了典型二阶环节各参数的物理意义。

2．4 系统的结构图
一、结构图的定义及其组成
1.结构图：是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形，它表示了系统的输入输出之间的关系。

2.结构图的组成：
（1）信号线：带箭头的直线，箭头表示信号传递方向。

（2）分支点（引出点）：表示信号引出或测量的位置。

注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。

（3）比较点：对两个以上信号加减运算。

（4） 方框：方框图内输入环节的传递函数。

3．动态结构图的绘制步骤：
（1）建立控制系统各元件的微分方程（传递函数）要标明输入输出量。

（2）对元件的微分方程进行拉氏变换，并作出各元件的结构图。

（3）按系统各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来。

二、系统动态结构图的求法
例如图2-9是闭环调速系统
图2-9
（一）求各环节的传递函数和方框图
1. 比较环节和速度调节器的传递函数和方框图
s
c R R R R s u s I s f 000001222
)()(1++
=-，2)()(0101
0R s c s c s I I f +==--δ，s
c R s u s I c 111)
()(+
=
1
)
()(R s u s I r r =, )()()(s I s I s I f r c -= n
)11
)()((1)(011s
T s u s u s s k s u f r c
k +-+=ττ 式中 00410c R T = 为滤波常数 111c R =τ为时间常数
1
R R k c =为比例系数 )(1s w 为速度调节器函数
)(2s w 为速度反馈滤波传递函数
方框图如
图2-10
2. 速度反馈传递函数
)()(s n k s u sp f = sp k 为速度反馈系数
图2-11
3. 电动机及功率放大器装置的传递函数 函数：s s s k s u s u s w ==)
()
()( s k 为功放电压放大系数
图2-12
电动机电框回路的微分方程：n c dt
d l i R u
e id
d
d d d ++=
n(S)
零初始条件下拉氏变换：)()]()([)
1()
()()(4s w s n c s u s T R s n c s u s I e d d d e d d -=+-=
)(4s w —电框回路传递函数
图2-13
电动机带负载时运动方程：dt
dn
GD c i c i m z m d 3752=-
拉氏变换： )()(375)()(2s Sn R c
T s Sn R c c R c GD s I s I d
e m d e m d e z d ==-
)()]()([)]
()([)(s w s I s I S
T c R s I s I s n s z d m e d
z d -=-= （2-47） （二）系统动态结构图
图2-14
三、框图的等效变换
1．框图几种常见的连接方式 (1)环节串联连接的传递函数
图2-15
证明：)()()(11s x s w s x r =
)()()(112s x s w s x = )()()(233s x s w s x =
消去中间变量得几个环节串联的传递函数
)()()()(321s w s w s w s w = （2-50）
若有几个环节串联，则等效函数：
∏===n
i i n s w s w s w s w s w 121)()()......()()( （2-51）
(2)环节并联的传递函数
图2-16
证明：
)()()()]()()([)()()()()()()
()()()(321321321s x s w s x s w s w s w s w s x s x s w s x s w s x s x s x s x r r r r r c =++=++=++= （2-52）
)()()()()
()
(321s w s w s w s w s x s x r c ++==∴
（2-53） 若有几个环节并联：∑===n
i i n s w s w s w s w s w 1
21)()()......()()( （2-54）
(3)反馈连接的等效传递函数
图2-17
特点：将输出量返回系统输入形式闭环。

有两个通道（正向通道 反馈通道）。

传递函数的推导：
)()()(1s E s w s x c = )()()(s x s x s E f r = )()()(2s x s w s x c f = )()()()(2s x s w s x s E c r = )]()()()[()(21s x s w s x s w s x c r c = )()()()()()(121s x s w s x s w s w s x r c c =±
)
()(1)
()(211s w s w s w s w ±=
∴传递函数为 （2-55）
2．框图的等效变换
(1)相加点从单元输入端移到输出端
变换后： )]
()()[()()()()()(21112113s x s x s w s w s x
s w s x s x +=+= (2)相加点从单元输出端移到输入端 图
2-19
变换前：)()()()(2113s x s x s w s x +=
变换后：
)()()()(
)()(1
)()(21112113
S X S W S X S W S X S W S X S X +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=
(3)分支点从单元输入端移到输出端
图2-30
(4)分支点从单元输出端移到输入端
图2-31
(5)分支点及相加点可以互换
图2-32
四、几个基本概念及术语
图2-34 反馈控制系统方框图R(s)——给定输入
C(s)——输出
B(s)——主反馈量
E(s)——误差
(1) 前向通路传递函数 假设N(s)=0
打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。

在图中等价于C(s)与误差之比E(s)。

打开反馈后，输出量拉氏与输入量拉氏之比。

)()()()
()
(21s G s G s G s E s C == (2) 反馈回路传递函数 （Feedforward Transfer Function ）假设N(s)=0 主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。

)()
()
(s H s C s B = (3) 开环传递函数 （Open-loop Transfer Function ）假设N(s)=0 主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。

(4)只有给定输入作用（N （S ）=0）
)
()()(1)
()()(2121s H s G s G s G s G s G r +=
系统输出：)
()()(1)
()()()(2121s H s G s G s R s G s G s C r +=
(5)只有扰动作用 []0)(=s N
)
()()(1)
()(212s H s G s G s G s G n +=
)
()()(1)
()()(212s H s G s G s N s G s C n +=
系统总输出：
)]()()([)
()()(1)
()()()(1212s N s R s G s H s G s G s G s C s C s C n r ++=
+=
小结：通过本课学习使学生掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节
的传递函数，求系统的动态结构图；掌握等效的概念及等效变换的基本原则，能够求出复杂结构图的传递函数。

2．5 信号流图及梅逊公式
一、信号流图
由系统的结构图可以求出系统的传递函数，但是系统很复杂时，结构图简化很繁，采用信号流图，不必对信号流图简化，应用统一公式，可求出系统的传递函数。

1．绘制方法：
(1)由代数方程绘制： 例： 描述系统的方程组为：
信号流图是由节点和支路组成的信号传递网络，节点表示系统的变量或是信号用“O ”表示，支路用有向线段表示。

该系统的信号流图：
图2-35
X 2=aX 1+bX 2+gX 5 X 3=cX 2
X 4=dX 1+lX 3+fX 4 X 5=X 1+hX 4
X 5
(2)由系统结构图绘制
图2-36
图2-37
2.信号流图使用术语
源点 ；汇点 ；混合节点 ；闭通路（回环）；回路增益 ；前向通路；自回路 ；不接触回路。

讲法：结合信号流图讲述。

3.梅逊增益公式求传递函数
利用梅逊增益公式，不用对系统结构图变换，一点写出系统的传递函数。

∑=∆∆==n K K K r c T X X T 1
1 （2-65）
X r ---系统输出量；X c ---系统的输出量；T----系统总传输；T k ---第K 条前
X c
向通路的传输；
n —从输入节点到输出节点的前向通路数；∆---信号流图的特征式。

∑∑∑∑-++-+-=∆m m L L L L )1(...1321 (2-66)
∑-1
L 信号流图中所有不同回环传输之和。

∑-2
L 信号流图中每两个互不接触回环的传输乘积之和。

∑3
L --信号流图中每三个互不接触回环的传输乘积之和。

∑-m
L
信号流图中每m 个互不接触回环的传输乘积之和。

-∆k 第K 条前向通路特征式的余子式，是在中除去与第K 条前向通路相接触
的各回环传输（即将其置零）。

例1：如图求系统总的传输。

图2—38
根据梅逊增益公式：T=∑=∆∆n
k k k T 1
1
此系统有两条前向通路n=2,其传输1T =abcd,T 2
=fd;三个回环：
L a =be,L b =-abcdg,L c =-fdg 三个回环只有L a 和L b 互不接触
∑∑==∴0,32L L L L c a
∴系统的特征方程式 ：∑∑+-=∆211L L
=1-（L c a c b a L L L L +++)
=1-be+(abc+f-bef)dg
∆1为除去（在∆中）得T 1特征余子式11=∆
2∆在中∆除去与T 2接触回环L c b L ,得特征余子式be -=∆1 系统的传输为：T=∑=∆+∆∆
=∆∆212211)(1
1k k k T T T
=
dg
bef abc f be be fd abcd )(1)
1(-++--+
例2：如图求系统传递函数
图2—39
信号流图
图2-40
系统前向通路：T1=W1W3W5，T2=W2W4W5
系统回环及传输： a ∠ =-W1W3W5H1 b ∠=-W2W4W5
X 2
X 2
c ∠=-W3H2
d ∠=-W4H2
∑+++=∴Ld Lc Lb La L 1=-(W1W3W5H1+W2W4W5H1+W3H2+W4H2)
各回环相互接触 ∑∑=∴32L L =0
∑++++=-=∆241315421531111H W H W H W W W H W W W L 各回环与前向通路T1，T2接触121=∆=∆∴
∴系统传递函数： W(S)=∆∆+∆2211T T =2
423154215311542531H W H W H W W W H W W W W W W W W W +++++
小结： 通过本节课的学习，使学生掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统
闭环传递函数，并且能够求出第K 条前向通道特记式的余子式k ∆。

习题课
1．
图2-41
图示是一个齿轮传动机构，机构无变形，无间隙求
轴1的力矩方程：M-M1-f dt d 1θ=J12
12t d d θ 轴2的力矩方程：M2-f2dt d 2θ=J22
22t d d θ 齿轮1和齿轮2作功相等：M11θ=M22θ
又l Z Z ==1
221θθ 经整理后拉氏变换得：
W （s ）=)(1
)]21()21[(1)()(222f js s l l
f f s l j j s l s M s Q +=+++= 2．已知下列方程组成的系统，试绘出由该方程组成的方框图，并求传递函数。

Xr(S)-X4(S)=X1(S)
X3(S)=X2(S)-Xc(S)W4(S)
X2(S)=X1(S)W1(S)
X4(S)=W2(S)X3(S)
Xc(S)=X4(S)W3(S)
传递函数：4
321214321213)()(W W W W W W W W W W s Xr s Xc +++==432211321W W W W W W W W ++
图2-42
此题要明确几点：
1）画框图要从系统输入端入手，按信号传递顺序，依次画出。

2）由框图可以求出环节的传递函数。

3）求复杂系统传递函数要将变成单回路系统，然后求传递函数。

3．求系统传递函数
图2-43 图2-44
传递函数：212221212
2121212212
1)()(H H W W H W W W H H H W W H W W s Xr s Xc ++=+++= 4．用5分钟做课上练习，求传递函数。

图2-45
5．化简结构图，求传递函数
图2-46
结构图化简过程：
W4分支点前移 → 化简其局部反馈 → H2分支点前移 → 化简其局部反馈→ 然后化简H1构成的局部反馈 → 单回路 传递函数：
1
21)11)(432(2)432(1)()(H W W H W W W W H W W W W S Xr S Xc ++++=
小结：通过举典型题、详细分析讲解使学生加深对以前所学的知识的理解，达到培养学生分析问题的能力。