矩形的判定-【重难点突破练】-八年级数学下学期同步训练(人教版)(解析版)

§18.2.1.2矩形的判定
一、知识导航
矩形的判定：
类别判定方法
符号语言图形
角
有一个角是直
角的平行四边
形是矩形
四边形ABCD 是平行四边
形，90ABC ∠=︒∴四边形ABCD 是矩形有三个角是直
角的四边形是
矩形
90ABC BCD ADC ∠=∠=∠=︒ ∴四边形ABCD 是矩形对角
线对角线
相等的平行四边形是
矩形 四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =∴四边形ABCD 是矩形二、重难点突破
重点1利用对角线相等的平行四边形是矩形进行判定
例1.如图，▱ABCD 中，点O 是AC 与BD 的交点，过点O 的直线与BA 、DC 的延
长线分别交于点E 、F ．
请连接EC 、AF ，则EF 与AC 满足什么条件时，四边形AECF 是矩形，并说明理由．
【分析】连接EC 、AF ，则EF 与AC 满足EF =AC 是，四边形AECF 是矩形，首先证明四边形AECF 是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明．
【详解】连接EC 、AF ，则EF 与AC 满足EF =AC 时，四边形AECF 是矩形．
理由如下：
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AO =OC ，AB //CD ．
∴∠E =∠F
又∠AOE =∠COF
∴△AOE ≌△COF （ASA ）．
∴OE =OF ．
∵AO =CO ，
∴四边形AECF 是平行四边形．
∵EF =AC ，
∴四边形AECF 是矩形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及矩形的判定，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题
变式1已知：如图，在ABCD 中，延长DC 至点E ，使得DC CE =，连接AE ，交边BC 于点F ．连接AC ，BE ．
（1）求证：四边形ABEC 是平行四边形．
（2）若2AFC D ∠=∠，求证：四边形ABEC 是矩形．
【分析】（1）根据题意可得到//AB CE ，从而再证明AB CE =即可得出结论；
（2）结合（1）的结论可以得到//BC AD ，BCE D ∠=∠，再根据2AFC D ∠=∠推出
FEC FCE ∠=∠，从而得到FC FE =，然后根据平行四边形的性质得到AE=BC ，由此即可
得出结论．
【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴//AB CD ，AB CD =，即//AB CE ，
∵DC CE =，
∴AB CE =，
∴四边形ABEC 是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴//BC AD ，
BCE D
∴∠=∠∵AFC FEC BCE ∠=∠+∠，
重点点拨：
在判定矩形时，一定要注意前提条件是四边形还是平行四边形，再考虑用哪条定理，用定义判定或用对角线判定时，前提条件必须是平行四边形，而不能是四边形.∴当2AFC D ∠=∠时，则有FEC FCE ∠=∠，
∴FC FE =，
又∵四边形ABEC 是平行四边形，
∴BC=2FC ，AE=2FE ，
AE BC ∴=，
∴四边形ABEC 是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等知识点，熟练掌握基本的性质定理以及判定方法是解题关键．
重点2利用有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定
例2.如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，过点A 作//AE BC ，且AE BD =，连接BE ，交AD 于点F ，连接CE ．
求证：四边形ADCE 为矩形；
【分析】先证明四边形ADCE 是平行四边形，由AD BC ⊥得到∠ADC =90°，实现解题目标；
【详解】∵AB AC =，AD BC ⊥，
∴BD =DC ，∠ADC =90°，
∵//AE BC ，且AE BD =，
∴//,=AE DC AE DC
，
∴四边形ADCE 是平行四边形，
∵∠ADC =90°
，
∴四边形ADCE是矩形；
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行线的性质，三角形的全等，熟练掌握矩形判定和性质，根据平行线性质灵活证明三角形的全等是解题的关键．
变式2如图，在□ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．若AB＝DB，求证：四边形DFBE
是矩形．
【分析】根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可．
【详解】∵∠ABD的平分线BE交AD于点E，
∴∠ABE=1
2
∠ABD，
∵∠CDB的平分线DF交BC于点F，
∴∠CDF=1
2
∠CDB，
∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠CDF=∠ABE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，∠A=∠C，
即
A C
AB DC
ABE CDF ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE ⊥AD ，即∠DEB=90°．
∴平行四边形DFBE 是矩形．
【点睛】本题考点：1.平行四边形的性质和判定，2.矩形的判定，3.全等三角形的性质和判定
重点3利用有三个角是直角的四边形是矩形进行判定
例3.如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 为BC 上两点，且BE=CF ，AF=DE
求证：（1）△ABF ≌△DCE ；
（2）四边形ABCD
是矩形．
【分析】（1）根据等量代换得到BE=CF ，根据平行四边形的性质得AB=DC ．利用“SSS”得
△ABF ≌△DCE ．
（2）平行四边形的性质得到两边平行，从而∠B+∠C=180°．利用全等得∠B=∠C ，从而得到一个直角，问题得证.
【详解】（1）∵BE=CF ，BF=BE+EF ，CE=CF+EF ，
∴BF=CE ．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=DC ．
在△ABF 和△DCE 中，
∵AB=DC ，BF=CE ，AF=DE ，
∴△ABF ≌△DCE ．
（2）∵△ABF ≌△DCE ，
∴∠B=∠C ．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ．
∴∠B+∠C=180°．
重点点拨：
要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再证明有一个角是直角或对角线相等.
∴∠B=∠C=90°．
∴平行四边形ABCD是矩形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
变式3如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，然后根据矩形的判定定理，即可得到结论；
（2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度数．
【详解】（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，
∴∠FDC＝36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
难点4矩形的性质与判定的综合
例4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF
的长．
【分析】(1)由AE∥BD，且AE＝BD可得四边形AEBD是平行四边形,再根据AB＝AC，D为BC中点,可知AD⊥BC即可得出四边形AEBD是矩形.
(2)根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出EB,再根据矩形的性质求出BC即可利用勾股定理求出EC,由题意可证△AEF∽△BCF,再根据对应边成比例即可求出结果.
【详解】（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形．
（2）解：∵四边形AEBD是矩形，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABE＝30°，AE＝2，
∴BE＝
BC＝4，
∴EC＝
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴
1
2 EF AE
CF BC
==，
∴EF
1
3
EC
=
3
．
重点点拨：
在一个四边形中如果能够比较容易地证得两个角是直角，可以考虑证明另外两个角中的一个是直角，从而证得该四边形为矩形.
【点睛】本题为矩形与等腰三角形的结合题型,关键在于熟练掌握矩形与等腰三角形的性质.变式4在 ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，即可证明；
（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得
∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，即可证明．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA=∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC=5，
∴AD=BC=DF=5，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠FAB，
即AF平分∠DAB．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．
重点点拨：
利用矩形的性质和判定解决问题，一般是先判定一个四边形是矩形，再根据矩形的性质解决其他问题.
三、提升训练
1.▱ABCD中，添加一个条件就成为矩形，则添加的条件是（）
A．AB=CD B．∠B+∠D=180°
C．AC=AD D．对角线互相垂直
【答案】B
【分析】根据矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；由矩形的判定即可得出A、C、D不正确，B正确．
【详解】解：A、当AB=CD，不能判定▱ABCD为矩形，故该选项不符合题意；
B、∵▱ABCD中，∠B=∠D，∠B+∠D=180°，
∴∠B=∠D=90°，
∴▱ABCD是矩形；故该选项正确，符合题意；
C、∵AC=AD，不能得出▱ABCD是矩形，故该选项不符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
2.已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）
A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC
【答案】B
【分析】由矩形的判定方法依次判断即可得出结果．
【详解】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；
D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有三个角是直角的四边形是矩形”是解题的关键.
3.下列命题是假命题的是（）
A．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合
B．同旁内角互补，两直线平行
C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质对A进行判断；根据平行线的判定方法对B进行判断；根据角平分线的性质对C进行判断；根据矩形的判断方法对D进行判断．
【详解】A选项，等腰三角形的底边上的高线、中线和顶角的平分线互相重合，故符合题意；B选项，同旁内角互补，两直线平行，故不符合题意；
C选项，角平分线上的点到这个角两边的距离相等，故不符合题意；
D选项，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理、等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的性质、矩形的判定等知识，解答本题的关键是熟练掌握并运用以上知识．
4.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E．已
知AB＝2，△DOE的面积为5
4，则AE的长为（）
A
B．2C．1.5D
【答案】C
【分析】连接BE ，由题意可得OE 为对角线BD 的垂直平分线，可得BE=DE ，
S △BOE =S △DOE =54
，由三角形的面积则可求得DE 的长，得出BE 的长，然后由勾股定理求得答案．
【详解】连接BE ，如图所示：
由题意可得，OE 为对角线BD 的垂直平分线，
∴BE ＝DE ，S △BOE ＝S △DOE ＝54，∴S △BDE ＝2S △BOE ＝52．∴12DE •AB ＝
52
，又∵AB ＝2，
∴DE ＝
52，∴BE ＝5
2
在Rt △ABE 中，由勾股定理得：AE 1.5=．故选C ．
【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
5.矩形ABCD 与矩形CEFG 如图放置，点,,B C E 共线，,,C D G 共线，连接AF ，取AF 的中点H ，连接GH ，若3BC EF ==，1CD CE ==，则GH =（）
A B
C ．2
D ．43
【答案】A
【分析】如图，延长GH 交AD 于点M ，先证明△AHM ≌△FHG ，从而可得AM=FG=1，
HM=HG ，进而得DM=AD-AM=2，继而根据勾股定理求出GM 的长即可求得答案.
【详解】如图，延长GH 交AD 于点M ，
∵四边形ABCD 、CEFG 是矩形，
∴AD=BC=3，CG=EF=3，FG=CE=1，∠CGF=90°，∠ADC=90°，
∴DG=CG-CD=3-1=2，∠ADG=90°=∠CGF ，
∴AD//FG ，
∴∠HAM=∠HFG ，∠AMH=∠FGH ，
又AH=FH ，
∴△AHM ≌△FHG ，
∴AM=FG=1，HM=HG ，
∴DM=AD-AM=3-1=2，
∴==，
∵GM=HM+HG ，
∴，
故选A.
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键.
6.如图，点E 为矩形ABCD 的边BC 上的点，DF AE ⊥于点F ，且DF AB =，下列结论不正确的是（）
A ．DE 平分AEC
∠B ．ADE ∆为等腰三角形C ．AF AB
=D ．AE BE EF
=+【答案】C
【分析】根据矩形的性质及HL 定理证明Rt △DEF ≌Rt △DEC ，然后利用全等三角形的性质进行推理判断
【详解】解：在矩形ABCD 中，∠C=90°，AB=CD
∵DF AE ⊥于点F ，且DF AB
=∴∠DFE=∠C=90°，DF=CD
在Rt △DEF 和Rt △DEC 中DF DC DE DE
=⎧⎨=⎩∴Rt △DEF ≌Rt △DEC
∴∠FDE=∠CDE ，即DE 平分AEC ∠，故A 选项不符合题意；
∵Rt △DEF ≌Rt △DEC
∴∠FED=∠CED
又∵矩形ABCD 中，AD ∥BC
∴∠ADE=∠CED
∴∠FED=∠ADE
∴AD=AE ，即ADE ∆为等腰三角形，故B 选项不符合题意
∵Rt △DEF ≌Rt △DEC
∴EF=EC
在矩形ABCD 中，AD=BC ，又∵AD=AE
∴AE=AD=BC=BE+EC=BE+EF ，故D 选项不符合题意
由于AB=CD=DF ，但在Rt △ADF 中，无法证得AF=DF ，故无法证得AB=AF ，故C 选项符合题意
故选：C ．
【点睛】本题考查矩形的性质及三角形全等的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
7.如图，在矩形ABCD 中，5AB =，3AD =，动点Р满足3PAB ABCD S S = 矩形，则点Р到A 、B 两点距离之和PA PB +的最小值为（）
A
B C ．D
【答案】D 【分析】由3PAB ABCD S S = 矩形，可得△PAB 的AB 边上的高h =2，表明点P 在平行于AB 的直
线EF 上运动，且两平行线间的距离为2；延长FC 到G ，使FC =CG ，连接AG 交EF 于点H ，则点P 与H 重合时，PA +PB 最小，在Rt △GBA 中，由勾股定理即可求得AG 的长，从而求得PA +PB 的最小值．
【详解】解：设△PAB 的AB 边上的高为h
∵3PAB ABCD
S S = 矩形∴132
AB h AB AD ⨯= ∴h =2
表明点P 在平行于AB 的直线EF 上运动，且两平行线间的距离为2，如图所示
∴BF =2
∵四边形ABCD 为矩形
∴BC =AD =3，∠ABC =90゜
∴FC =BC -BF =3-2=1
延长FC 到G ，使CG =FC =1，连接AG 交EF 于点H
∴BF =FG =2
∵EF ∥AB
∴∠EFG =∠ABC =90゜
∴EF 是线段BG 的垂直平分线
∴PG =PB
∵PA +PB =PA +PG ≥AG
∴当点P 与点H 重合时，PA +PB 取得最小值AG
在Rt △GBA 中，AB =5，BG =2BF =4，由勾股定理得：AG ===
即PA +PB 故选：D ．
【点睛】本题是求两条线段和的最小值问题，考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识，难点在于确定点P 运动的路径，路径确定后就是典型的将军饮马问题．
8.在ABCD 中，请加一个条件：________可以判定ABCD 是矩形．
【答案】AC BD
=【分析】根据矩形的判定方法，即可求解．
【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形，对角线相等的平行四边形为矩形，
当AC BD =时，可得ABCD 为矩形
故答案为AC BD =（答案不唯一）
【点睛】此题考查了矩形的判定方法，掌握矩形的判定方法是解题的关键．
9.如图，矩形ABCD 中，已知AB=6，BC=8，BD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BC 于点F ，则△BOF 的面积为____．
【答案】
【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BD ，证明△BOF ∽△BCD ，根据相似三角形的性质得到比例式，求出BF ，根据勾股定理求出OF ，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A=90°，又AB=6，AD=BC=8，
∴根据勾股定理可得：BD=10，
∵EF 是BD 的垂直平分线，
∴OB=OD=5，∠BOF=90°，又∠C=90°，
∴△BOF ∽△BCD ，∴，即，解得，BF=，
则OF=，则△BOF 的面积=×OF×OB=，
【点睛】（1）矩形的性质；（2）线段垂直平分线的性质；（3）勾股定理的应用
10.如图，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的大小关系是S 1_____S 2；（填“＞”或“＜”或“＝”）
【答案】=
【分析】利用矩形的性质可得△ABD 的面积＝△CDB 的面积，△MBK 的面积＝△QKB 的面积，△PKD 的面积＝△NDK 的面积，进而求出答案.
【详解】∵四边形ABCD 是矩形，四边形MBQK 是矩形，四边形PKND 是矩形，∴△ABD 的面积＝△CDB 的面积，△MBK 的面积＝△QKB 的面积，△PKD 的面积＝△NDK 的面积，
∴△ABD 的面积﹣△MBK 的面积﹣△PKD 的面积＝△CDB 的面积﹣△QKB 的面积＝△NDK 的面积，
∴S 1＝S 2．
故答案为＝．
【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质定理是解题关键.
11.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，点G 为四边形DEAF 对角线交点，则线段GF 的最小值为_______.
【答案】18
5
【分析】由勾股定理求出BC 的长，再证明四边形DEAF 是矩形，可得EF=AD ，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【详解】解：∵∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，
∴在Rt △ABC 中，利用勾股定理得：22BA AC +22912+=15，
∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∠BAC=90°
∴∠DEA=∠DFA=∠BAC=90°，
∴四边形DEAF 是矩形，
∴EF=AD ，GF=12EF
∴当AD ⊥BC 时，AD 的值最小，
此时，△ABC 的面积=12AB×AC=12BC×AD ，
∴AD=BA AC BC ⨯=91215
⨯=365，∴EF=AD=
365,因此EF 的最小值为365；又∵GF=12EF
∴GF=12×365=185故答案为：185
．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12.如图，在矩形ABCD 中，4,6AB BC ==，过矩形ABCD 的对角线交点O 作直线分别交AD 、
BC 于点E F 、，连接AF ，若AEF 是等腰三角形，则AE =____.
【答案】4或13
3
【分析】连接AC ，由矩形的性质得出∠B =90°，AD =BC =6，OA =OC ，AD ∥BC ，由ASA 证明△AOE ≌△COF ，得出AE =CF ，若△AEF 是等腰三角形，分三种情讨论：
①当AE =AF 时，设AE =AF =CF =x ，则BF =6-x ，在Rt △ABF 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当AF =EF 时，作FG ⊥AE 于G ，则AG =
12AE =BF ，设AE =CF =x ，则BF =6-x ，AG =1
2x ，得出方程12x =6-x ，解方程即可；
③当AE =FE 时，作EH ⊥BC 于H ，设AE =FE =CF =x ，则BF =6-x ，CH =DE =6-x ，求出FH =CF -CH =2x -6，在Rt △EFH 中，由勾股定理得出方程，方程无解；即可得出答案．
【详解】解：连接AC ，如图1所示：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B =90°，AD =BC =6，OA =OC ，AD ∥BC ，
∴∠OAE =∠OCF ，
在△AOE 和△COF 中，
OAE OCF OA OC AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，∴△AOE ≌△COF （ASA ），
∴AE =CF ，若△AEF 是等腰三角形，分三种情讨论：
①当AE =AF 时，如图1所示：
设AE =AF =CF =x ，则BF =6-x ，
在Rt △ABF 中，由勾股定理得：42+（6-x ）2=x 2，
解得：x =
133，即AE=133
；②当AF =EF 时，
作FG ⊥AE 于G ，如图2
所示：
则AG =1
2AE =BF ，
设AE =CF =x ，则BF =6-x ，AG =12x ，所以12x =6-x ，
解得：x =4；
③当AE =FE 时，作EH ⊥BC 于H ，如图3所示：
设AE=FE=CF=x，则BF=6-x，CH=DE=6-x，
∴FH=CF-CH=x-（6-x）=2x-6，
在Rt△EFH中，由勾股定理得：42+（2x-6）2=x2，整理得：3x2-24x+52=0，
∵△=（-24）2-4×3×52＜0，
∴此方程无解；
综上所述：△AEF是等腰三角形，则AE为13
3或4；
故答案为13
3或4．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解方程、等腰三角形的性质、分类讨论等知识；根据勾股定理得出方程是解决问题的关键，注意分类讨论．13.如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．
【分析】先由两组对边分别相等证明四边形ABCD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可.
【详解】
证：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2OD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，灵活的根据已知条件选择合适的判定方法是证明的关键.
14.如图，在▱ABCD中，点F是边BC的中点，连接AF并延长交DC的延长线于点E，连接AC、BE．
（1）求证：AB＝CE；
（2）若∠AFC＝2∠D，则四边形ABEC是什么特殊四边形？请说明理由
【分析】（1）根据AB//CD可知∠ABF=∠ECF，由BF=CF，∠AFB=∠CFE，可证明△ABF≌△ECF.即可证明AB=CE.（2）根据∠AFC=2∠D及外角性质可证明AF=BF进而证明AE=BC，即可证明四边形ABEC是平行四边形.
【详解】（1）∵F是BC的中点，
∴BF=CF.
∵在四边形ABCD中，AB//CD，
∴∠ABF=∠ECF，
∵∠AFB=∠CFE，
∴△ABF≌△ECF，
∴AB=CE.
（2）四边形ABEC是矩形，理由如下：
∵△ABF≌△ECF，
∴EF=AF，
∵BF=CF，
∴四边形ABEC是平行四边形.
∴∠ABF=∠D，
∵∠AFC=2∠D，∠AFC=∠ABF+∠BAF，
∴∠ABF=∠BAF，
∴AF=BF，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，熟练掌握全等三角形和矩形的判定方法是解题关键.
15.如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若OE⊥BD交BC于E，求证：BE＝2CE．
【分析】（1）只要证明AC=BD即可解决问题．
（2）在Rt△BOE中，易知BE=2EO，只要证明EO=EC即可
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，BO=OD，
∵△ABO是等边三角形，
∴AO=BO=AB，
∴AO=OC=BO=OD，
∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．
（2）∵四边形ABCD是矩形；
∴OB=OC，∠ABC=90°，
∵△ABO是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，∠BOC=120°，
∵OE⊥BD，
∴∠BOE=90°，∠EOC=30°，
∴∠EOC=∠ECO，
∴EO=EC，
∴BE=2EO=2CE．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定、等边三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是直角三角形30度角的性质的应用，属于中考常考题型．。