2019年浙江省中考数学分类汇编专题图形变换与视图(解析版)

2019年浙江省中考数学分类汇编专题图形变换与视图（解析版）
一、单选题
1. 某露天舞台如图所示，它的俯视图是（
t ----
■
□
B.
C. I I
D. ------------------ :
【答案】B
【考点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由立体图知实物有一个台阶，俯视图应为两个矩形，其中一个矩形包含在另一个
矩形里。

故答案为：B
【分析】根据三视图知识判断，俯视图是由上向下看。

2. 如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是（
【答案】A
【考点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看有三列，从左到右小正方形的个数分别为2,2,1
故答案为：A
【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形，观察已知几何体，就可得到此几何体的主视图。

3. 在平面直角坐标系
中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（）
A. m=3, n=2
B. m=-3, n=2
C. m=3, n=2 【答案】B
【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：••• A (m , 2)与B (3, n )关于y 轴对称, /• m=-3 , n=2. 故答案为：B.
【分析】关于y 轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，依此即可得出答案 4.
如图，下列关于物体的主视图画法正确的是( )
【答案】C
【考点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是从正面看这个几何体得到的正投影，空心圆柱从正面看是一个长方形，加 两条虚竖线。

故答案为：C 。

【分析】简单几何体的三视图，就是分别从正面向后看，从左面向右看，从上面向下看得到的正投影，能 看见的轮廓线需要画成实线，看不见但又存在的轮廓线需要画为虚线，故空心圆柱的主视图应该是一个长 方形，加两条虚竖线。

5.
七个大小相同的正方体搭成的几何体
如图所示，其左视图是
()
【答案】B
【考点】简单组合体的三视图
B.m=-2, n=3
【解析】【解答】解：从左面看，有两列，最左边一列有 2个小正方形，右边一列有 1个小正方形，
故答案为：B
【分析】左视图就是从几何体的左边所看到的平面图形，观察已知几何体，可得到此几何体的左视图。

某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断，即可求解。

7. 如图是由四个相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图为（
【答案】B
【考点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上往下看，有两列，左边列有 2个小正方形，右边靠上有一个小正方形。

故答案为：B
【分析】俯视图就是从上往下看所得到的平面图形，观察几何体可得到答案。

8.
如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ）
6.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： A 、此图案为轴对称图形，不是中心对称图形，故 A 不符合题意;
B 、 此图案为轴对称图形，又是中心对称图形，故
C 、 此图案为轴对称图形，不是中心对称图形，故
D 、 此图案为轴对称图形，不是中心对称图形，故
B 符合题意；
C 不符合题意；
D 不符合题意；
180。

后与原来的图形完全重合，轴对称图形是一定要沿
A.
B. C.
D.
A.长方体
BE 方体 CU 柱
【答案】C
【考点】由三视图判断几何体 【解析】【解答】解：依题可得，
左视图和正视图都是长方体，俯视图是圆，从而可得该几何体为圆柱 故答案为：C.
【分析】正视图：从物体正面观察所得到的图形；左视图：从物体侧面观察所得到的图形；俯视图：从物 体上面观察所得到的图形；依此分析即可得出答案 9.
如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（
）
【考点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从物体正面观察可得，
左边第一列有2个小正方体，第二列有 1个小正方体 故答案为：A. 【分析】主视图：从物体正面观察所得到的图形，由此观察即可得出答案 10. 如图，在△ ABC 中，点D , E 分别在AB 和AC 边上，DE//
BC, M 为BC
边上一点（不与点
B 、
C 重合），
连接AM 交DE 于点口则（）
【答案】C
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： A.
T
DE// BC,
RD MN
B.
DN NE
C.
DN NE
D.
/王视方向
.IB 丰
， ，
故错误，A 不符合题意; B.v DE// BC, •肋 AN AN AE
" ， ， • Q BD_ AN NM
•
，
，
' ， • 丰
• ，
故错误，B 不符合题意； C ：: DE / BC, • DN AN AN NE
•
， ，
• DN NE BM ~MC ，
故正确，C 符合题意； D.: DE / BC,
.ND AN AN NE
• ， ，
• ND NE
•亦 ~MC ， 即理P =她
NE MC ，
故错误，D 不符合题意； 故答案为：C.
【分析】根据平行线截线段成比例逐一分析即可判断对错，从而可得答案
11. 如图，在矩形 ABCD 中，E 为AB 中点，以BE 为边作正方形 BEFG 边EF 交CD 于点H ，在边BE 上取点 M 使BM = BC,作MN // BG 交CD 于点L ,交FG 于点N .欧儿里得在《几何原本》中利用该图解释了 ：.「—卜奶—工F 厂.现以点F 为圆心，FE 为半径作圆弧交线段 DH 于点P,连结EP,记厶EPH 的面积
Si
为Si ,图中阴影部分的面积为 9 .若点A , L , G 在同一直线上，则亍的值为（）
AD AN AB^AM AB_ AM AN AE AM
=
AC AN
AM
AE ~ AC
.V 一上一汁-茫，在只也FHP中有尸汀一-、疔、I- -、[：>,•••
丿F汽 <二匸•: 丁 [｛乙沢色-£<■：■ 总?，亠亠-——
故答案为：c。

【分析】本题关键是求出a、b的关系，把未知量化归统一，A L、G共线，利用平行线对应线段成比例的
性质列式可求a=3b。

大正方形面积减小正方形面积即是阴影部分面积。

运用勾股定理求出卩耳则厶EPH 也易求出。

分别求出面积相比则比值可求。

12. 将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中
FM, GN是折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（）
【解答】解：设大正方形边长为a,小正方形边长为x,连结NM，作GO丄NM于点0,如图，
A.
2
A
c.
【答
案】
【考
点】
剪纸问题
------ a --------------------- k i-匕 a ------- ►B
/ /
t 』
f护
y
E i L
a
P H L C
1 F
A.
T
【答案】C
【考点】扇形面积的计算，相似三角形的性质
【解析】【解答】解：因为A、L、G共线，LE// GB,得
送-蛍二乎二寺〜"，则
【解析】
D
D
fl
依题可得:
电X
^2a
GO=
16
FM=GN= 16
填空题
x 2
【分析】设大正方形边长为
正方形EFGH 与五边形 x 代入即可得出答案
a ，小正方形边长为
--NO 2
X,连结NM ,作GO 丄NM 于点0,根据题意可得，NM=
故答案为：A
立方程
：
a= x
a
7
'—，根据勾股定理得G0= 4
N0=
TG
+ a 2
a , FM=GN=
2工
4 一
返o_2x ~~45
MCNGF 的面积相等
-J1X 2x
解之可得a= 乂，由_L
FG
N0= =
~ —
d ）（辰-2丫）+ 扣
13•三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知/
AOB =Z AOE = 90°菱形的较短对角线长为
2cm .若点C 落在AH 的延长线上，则△ ABE 的周长为 ____________ cm .
【答案】
【考点】相似三角形的性质，旋转的性质 【解析】【解答】解：连接 AC 交BD 于K ,
根据菱形的性质 OA 和HG 互相垂直平分，又I/ AOB=90得HG// K0,又OG// KH,「.则四边形 HKOG 为 平行四边形，则 OK=HG=2 / CDB+/ HDB=/ ADH+/ HDB=90。

又 OH=OC,则厶 HOC 为等腰直角△，/ CHO=45, •/ HG=KO=2,/ BOC=/ CAO, / OCK=/ ACK 二△ OCKS ACK, 一三
；:则BE =2OA =疣#r ，A B=
，则
△ ABE 周长为 BE+2AB= 。

在故答案为：。

【分析】利用四边形 HKOG 是平行四边形得 KO=2,由厶COH 是等腰直角三角形，得各边之比确定，本题 关键是抓住A 、H 、C 三点共线，找三角形相似，禾U 用相似比可求 OA 的长，OA 求出，•••△ ABE 是等腰直
角
三角形，则其他各边可求，得其周长。

14•图1是一种折叠式晾衣架•晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图
2所示，两支脚 OC = OD =
10分米，展开角/ COD = 60 °晾衣臂 OA = OB = 10分米，晾衣臂支架 HG = FE= 6分米，且 HO = FO = 4分 米.当/ AOC = 90°时，点A 离地面的距离 AM 为 ___________________ 分米；当OB 从水平状态旋转到 OB （在CO 延长 线上）时，点 E 绕点F 随之旋转至 OB 上的点E 处，则B' E'BE 为 ____________ 分米.
【答案】5+5 ; 4
A
C
D
【考点】全等三角形的性质，三角形全等的判定，旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）作0P丄CD, 0Q丄AM ,•••/ AOQ+/QOC=/ POC+QOC=°0,得/ AOQ=/ COP,
又OA=OC,故厶AOQ^A COP,所以AQ=CP, AM=AQ+QM=OP+CP= 。

(2)在OE上取一点M，使OM = OE\
•••OE//CD,「./ 厶乡厂尤故.八旦'◎迸是等边三角形，得，沪耘m.m，根据旋转图
形的特点，工玄匚匕―•，以L —此产虽—匚L,故，1.匸石亍是等边三角形，得厂庄m又亡頁心灵一.LFm由上可知: HE、卜E、n得ME=OF=4。

••• ;f —｛卅亠心「一RL —〔N —.淀一 --g-x- n
【分析】（1）要求AM的长度，••• AM是垂线段，可以联想到作垂线段，把AM分割，•••平行线间的垂线段相等，最后问题集中在求剩下的一段长度，由/ AOC=90出发，构造三角形，证明全等即可。

（2）根据
旋转图形的特点，先理清旋转以后哪些线段相等，哪些是旋转角。

本题关键是把孟',「誉F转化为
E-i?F,构造三角形，证明全等，问题就能得到解决。

15.如图，直线11 / 12 / b , A, B, C分别为直线l i , 12 , 13上的动点，连接AB, BC, AC,线段AC 交直线12于点D.设直线11 , 12之间的距离为m,直线11 , 12之间的距离为m,若/ ABC=90 , BD=4,
且爷=号则m+n的最大值为 _____________ .
【答案】
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过B作BE丄11交于点E,作BF丄I3交于点F,过点A作AN丄I?交点点N,过点C作
CM丄12交于点M , BE=m, BF=n,如图,
八
M :7N
V
b
c
F
设 AE=x, CF=y,贝V BN=x , BM=y ,
■/ BD=4, BE=m , BF=n ,
DM=y-4, DN=4-x , CM=n , AN=m ,
•••/ ABC=90 ,且/ AEB=Z BFC=90 , / CMD=Z AND=90 , •••△ AEB^A BFC △ CMD s^ AND ,
CM DM ^AN DN 了―4 3 4 一工—2
要使 m+n 最大，则只要 m 最大， ••• mn=
m 2=xy=x (10-
x ) =-
x 2+10x ,
.对称轴 x=丄』时，（-飞x 2+i0x ）最大=V ~厂
2
•- m =，
，
最大
=X
=.
.
B 作BE X l i 交于点E,作BF 丄13交于点F ,过点A 作AN 丄b 交点点N ,过点
C 作CM 丄I 2交于点
mn=xy , y=10-
X
3_2
3-2
n= 3-2
m+n=m+
m
=
5-2
故答案为: 【分析】过
M , BE=m, BF=n,设 AE=x, 相似三角形的判定和性质得
CF=y,则BN=x, BM=y ，根据题意得
AE BE CM DM BF~CF AN " DN
DM=y-4, 即 mn=xy
3_2
m ,从而可得 m+n=
m
5_2
要使m+n 最大, 则只要m 最大,
mn=
3_2
DN=4-x , CM=n , ,y=10-
W x ,由 AN=m ,再由 希-W 得n = -3：
=xy=x (10- x
) =- x +10x ,
匕点F , G 在BC 边上），使点B 和点C D'点，若/ FPG=90, △ A'EP 的面积为4,
【答案】10+
【考点】翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：由对称图形可知， DC=D P AB=A'P AB=CD ••• D
P=A P
•••/ FPG=90o / EPF=Z D PH / GPH=Z A ' PE •••/ A ' PE+ D PH= EPF+Z GPH=90o
又••• A ' EP Z A ' PE=90o,
• Z A ' EP Z D PH • △ A ' EP △ D PH
因为面积比为4:1 所以相似比为2:1 设 D' H=k 则 A P=D P=2k A ' E=4k
G PD H 5 PD • D' '
H 才 X 2^= 1
••• k=1， 故PH= =
PE=
=疝
从而可转化成二次函数的最值来做，根据二次函数的性质求得其最大值, 2 m
3-2
50 T
，从而可得到 最大
=
，从而可得 m+n 的最大值.
16•如图，把某矩形纸片 ABCD 沿EF, GH 折叠（点E ，H 在AD 边 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A'点，D 点的对称点为 △ D'PH 的面积为1•则矩形ABCD 的面积等于 ________ 。

• AD=AE+EP+PH+HP=4+ + +1=5+3
AB=2k=2
S 矩形ABCD=ABAD=
故答案为：10+6 .
【分析】根据轴对称图形特点，找出有关相等线段。

图中rr - 尹是关键点，再根据三角形相似
确定有关线段的比例关系，因为/ FPC=90,很容易证三角形相似。

运用数学的化归统一的思想，设参数k, 把有关线段全部用K表示，然后根据三角形面积列关系式即可解出K值，K值确定，各线段长度即可求出。

运用矩形面积公式即可求解。

三、作图题
17•图1,图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，
请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：
图1 图2
（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形。

（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形。

（请将两个小题依次作答在图1,图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
【答案】（1）解：画出下列其中一种即可
【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）开放性的命题，答案不唯一，把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全
重合的几何图形就是轴对称图形，根据定义即可给合适的三角形填上颜色；
(2)开放性的命题，答案不唯一：根据把一个图形绕着某一点旋转 心对称图形即可给合适的三角形填上颜色，从而解决问题。

四、综合题(共6题；共80分)
18•在6X 6的方格纸中，点 A , B , C 都在格点上，按要求画图：
【考点】平行四边形的性质，平行线分线段成比例
【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质：对边平行且相等画出符合题意的平行四边形 (2)根据平行线等分线段定理，就可将线段
AB 三等分。

180后能与其自身重合的图形就是中
图1
图2
(1) 在图1中找一个格点 D ,使以点 A , B , C, D 为顶点的四边形是平行四边形. (2)
在图2中仅用无刻度的直尺，把线段 AB 三等分(保留画图痕迹，不写画法)
【答案】 (1 )解：如图，
(2)解：如图
ABCD 。

19•小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展.
*分别在.“：， 上，若二二二】，飞J ——•，求正方形戸的边长.
(2)操作：能画出这类正方形吗 ？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图 2,任意
画厶
，在 上任取一点，画正方形 me 使，在 边上，在厶
内， 连结 并延长交 于点N ,画 丄 于点，
丄 交 于点，
丄 于
点 ，得到四边形P .小波把线段
称为波利亚线”.
推理：证明图2中的四边形 是正方形.
(3) 拓展：在 ⑵的条件下，于波利亚线 &V 上截取 左汀-mf ,连
结 上P ，
(如图3).当
=时，猜想/
的度数，并尝试证明.
【答案】 (1)解：••• PN// BC,
•••△ APN s^ ABC.
PN_AE 即 PN 4
—
PN
•- ,
即. :； 一 !■
解得PN=
(2)证明：推理：由画法可得/
QMN= / PNM=Z PQM=Z Q'M'N'=90
•四边形 PQMN 为矩形，MN // M'N'. • △ BN'M' BNM.
M'N' PN'
~MN =
T N
:M'N'=P'N' ,••• MN=PN
•••四边形PQMN 为正方形。

(3)解：拓展：猜想/ QEM=9°，理由如下：
MN 3 、
由 tan / NBM=
=
,可设 MN=3k , BM=4k.
推理”、拓展”中的问题.
(1)温故：如图i ,在厶
中,
丄 于点 ，正方形「二?陀护的边
在 上，顶点，
同理可得
PN BN' PN =
^N 请帮助小波解决温故”、
BM 4
贝V BN=5k, BQ=k, BE=2k
• BQ k \ •业_比_1 •陛BE
•••/ QBE=Z EBM, QBE^A BEM. BEQ=Z BME.
•/ NE=NM,「./ NEM=Z NME.
•••/ BME+Z EMN=90 , BEQ+Z NEM=90 .
•••/ QEM=9° .
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用
【解析】【分析】(1)温故：禾U用正方形的性质易证PN// BC,就可证得厶PAN s^ ABC,再利用相似三角
形的性质，得出对应边成比例，建立关于PN的方程，解方程求出PN的长。

(2)推理：根据画法易证四边形P QMN是矩形，可得到MN // M'N'，易证△ BMN和厶BM'N'，再利用相
似三角形的性质，得出对应边成比例，同理可证△P'BN's^ PBN,得出对应边成比例，禾U用中间比及
M'N'=P'N'，可证MN=PN,然后利用一组邻边相等的矩形是正方形，可证得结论。

(3)利用锐角三角函数的定义，由已知可得到MN : BM=3:4 ,设MN=3k,用含k的代数式分别表示出BM、
BN、BQ、BE,再证明BQ: BE=BE BN,根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得厶QBE BEM，利用相似三角形的对应角相等，可证Z BEQ=Z BME,然后去证明Z QEM=9°即可。

20•小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展.
请帮助小波解决温故” 推理” 拓展”中的问题.
(1)温故：如图1，在△中，丄于点，正方形辻?沁齐的边在上，顶点，分别
在，上，若BC=a AD=h,求正方形心泡&的边长(a,h表示).
(2)操作：如何能画出这个正方形P QMN呢？
如图2，小波画出了图1的厶ABC,然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作，先在AB上任取一点，画正方形厂？HF,使，在边上，在厶内，然后连结并延长交于点N,画丄于点，丄交于点，丄于点，得到四边形P POMN.
推理：证明图2中的四边形yu是正方形.
(3)拓展：小波把图2中的线段BN称为波利亚线”在该线截取,连结EO, EM(如图
3) •当Z =90时，求波利亚线” B的长(用a、h表示).
【答案】(1)解：由正方形PQMN得PN// BC,
•△APN s^ ABC.
•FN AE即PN h_PN ■- ,即.
解得PN= 上」
(2)证明：推理：由画法可得/
QMN= / PNM=Z PQM=Z Q'M'N'=90
•••四边形 PQMN 为矩形，MN // M'N'.
•••△ BN'M' BNM.
M'N BN' ~MN
=^N
•/ NE=NM ,
•••/ NEM=Z NME ,
••• ER=RM= 4 EM ,
又•••/ EQM+Z EMQ=Z EMQ+Z EMN=90 ,
•••/ EQM=Z EMN ,
又/ QEM=Z NRM=9° , NM=QM ,
• △ EQM ^A RMN(AAS)
••• EQ=RM, ••• EQ= EM,
•••/ QEM=9° , •••/ BEQ+Z NEM=90 ,
••• BEQ=Z EMB , 又•••/ EBM=Z QBE,
•••△ BEQ^A BME ,
同理可得 PW 1 BN 1
~PN =
^N M 、N' PN'
~MN =
T N
：M'N'=P'N' ,••• MN=PN
•四边形PQMN 为正方形。

(3)解：过N 作NR 丄EM 于点R ,
•! 叽沁 I
设BQ=x，贝U BE=2x BM=4x, ••• QM=BM-BQ=3x=MN=NE, ••• BN=BE+NE=5x
BN= NM=
【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)温故：禾U用正方形的性质易证PN// BC,就可证得厶PAN s^ ABC,再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，建立关于PN的方程，解方程求出PN的长。

(2)推理：根据画法易证四边形PQMN是矩形，可得到MN // M'N'，易证△ BMN和厶BM'N'，再利用相
似三角形的性质，得出对应边成比例，同理可证△P'BN's^ PBN,得出对应边成比例，禾U用中间比及
M'N'=P'N'，可证MN=PN,然后利用一组邻边相等的矩形是正方形，可证得结论。

(3)拓展：过N作NR丄EM于点R,根据已知条件去证明△ EQM^^ RMN,禾U用全等三角形的性质, 可证得EQ=RM,即可得到EQ= = EM，再证明△ BECS^ BME，禾U用相似三角形的性质，得出对应边成
比例，设BQ=x,用含x的代数式分别表示出BE、BM、QM、BN,然后根据BN=尊NM，就可求出波利
亚线” BN勺长、
21.如图，矩形ABCD中，AB=a, BC=b,点M , N分别在边AB, CD上，点E,F分别在边BC, AD 上,MN , EF交于点P,记k=-MN:EF.
(1) 若a:b的值为1，当MN丄EF时，求k的值。

(2) 若a:b的值为=，求k的最大值和最小值。

(3) 若k的值为3，当点N是矩形的顶点，/ MPE=60 , MP=EF=3PE时，求a:b为的值。

【答案】(1)解作FH丄BC, MO丄CD,如图1,
01
•••四边形ABCD为正方形，
• FH=AB, MQ=BC, • FH=MQ.
•/ MN 丄EF,
•••/ HFE=/ NMO，/ FHE=/ MQN=9° ,
•••△FHE^A MQN , /. MN=EF,
••• k=1
(2)解：T a:b=1:2 ,• b=2a.
由题意得，2a<MN< a, a< EF< a,
当MN取最长时, EF可取到最短，此时k的值最大，最大值为当MN取最短时, EF可取到最长，此时
(3)解:连结FN, ME
•/ k=3, MP=EF=3PE
• MN EF
PM ~ PE ~PN PF PM~PE
• △PNF s^ PME,
•.ME 〃NF.
2，点M恰好与点B重合，过点F作FH丄BD于点H,
•••/ MPE=Z FPH=60 ,
•P H=2m, FH=2 m, HD=10m,
•肿FH強
b^AD~TTD~~5
② 当点N与点C重合时，如图3，过点E作EH丄MN于点H,
，
k的值最小，最小值为
ME ~ PM
设PE=2m，贝V PF=4m, MP=6m ,
NP=12m.
① 当点N与点D重合时，如图
图3
贝U PH=m, HE= m ,• HC=PH+PC=13m
•/ ME // FC
•••/ MEB=Z FCB=Z CFD.
综上所述，a:b 的值为 或 T IT
【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】(1)添加辅助线，作FH 丄BC, MQ 丄CD,利用正方形的性质和矩形的性质，
可证得FH=AB, MQ=BC=AB,易得到 FH=MQ,再证明/ HFE=Z NMQ ，/ FHE=Z MQN ，从而可证得△ FHE ^A MQN ，然后利 用全等三角形的性质，就可得到 MN=EF ,即可得出k 的值。

(2 )由已知a 与b 的比值，可知b=2a ,再根据题意可得到 MN , EF 的取值范围，要使 MN 最长，因此 EF 最短，即可得出k 的最大值；要使 MN 最短，就可得到k 的最小值，即可解答此题。

(3 )连接FN, ME ,由已知MP=EF=3PE 可转化为线段成比例， 利用相似三角形的判定定理可证得△
PNE
PME ,利用相似三角形的性质得出对应边成比例，可得到 NF : ME=PN : PM ,由此设PE=2m,可表示 出PF 、MP 、NP 的长，再分情况讨论：当点 N 与点D 重合时，点 M 恰好于点B 重合，过点F 作FH 丄BD 于点H ,利用解直角三角形就可用含 m 的代数式分别表示出 PH, FH, HD ,就可求出a 与b 的比值；当点 N 与点C 重合时，过点E 作EH 丄MN 于点H ,用含m 的代数式分别表示出 PH HE 、HC 的长，再利用相似 三角形的判定定理证明厶 MEB s^ CFD,然后利用相似三角形的性质，
得出对应边成比例， 就可求出a 与b
的比值。

P 是BA 延长线上的一点， 连接PC 交AD 于点F , AP=FD 在线段EC 上取一点 M ，使EM=EB,连接MF ，求证 MF=PF; tan / HCE=
MB HE $ ~BC~f{C =
13 •••△ MEBs^ CFD,
CD FC
MB~ME~
(1) 求 的值
(2) 如图1,连接EC,
(3)如图2,过点E作EN丄CD于点N,在线段EN上取一点Q,使AQ=AP,连接BQ, AQB绕点A 旋转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上•请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上，并说明理由•
【答案】(1)解：设AP=x，则FD=x，AF=2-x
•••在正方形ABCD中，AB// CD
F FE AP
■■
.. ----------- ---- -----
.X2=4-2X X2+2X-4=0
=20
■/ x>0
(2)解：连接0P
•/ PA=DF, AD=DC, / PAD=Z ADC
PAD^ FDC
又••• EC=打二-占BE=ME= - AB=1
•• MC= ; — ' =FD
又••• PE=AP+AE=再=:+仁=EC
•••/ EPC=/ ECP
又••• AB / CD
•/ EPC玄DCF
•/ PDA=/ ECP
PF" FMC (SAS
• MF=PF
(3)解：如图，在AD上取一点Q',使AQ'=AQ,在BN上取一点B', AB'=AB,连接B'Q',做B'G丄AD交EN于点K,交AD于点G
•/ tan / NBE=2, AB=AB'=2
••• BB'=
在 Rt B'GQ'中，/ B'GQ'=90° 有 B'Q=
弘— 5
而（-1） 2工 • B'Q' ( -1) 2
• B'Q'丰BQ 点B'不在BN 上
【考点】相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）设AP=x,则FD=x AF=2-x ,由正方形性质得 AB // CD,再由平行线截线段成比例得
，即 _亍1 - '士，解之得 x= -1，将 x 值代入 _亍1 -寸 即可得 ；〔：-的值•（2）
连结DP ,根据全等三角形判定 SAS 得厶PAD ^A FDC,由全等三角形性质得 PA=FD= -1,在Rt A BEC 中, 由勾股定理求得 EC 长，从而可得 MC=FD,由相似三角形判定得△ PFM A FMC ,根据相似三角形性质得 pp FD
瓦帀=兀疋=1，由此可得PF=FM.（3）在AD 上取一点Q',使AQ'=AQ ,在BN 上取一点B', AB'=AB ,
连结B'Q',作B'G 丄AD 交EN 于点K ,交AD 于点G ,根据锐角三角函数正切定义求得 BB=BN=B N 长，由 NB'K~ • B'K =; • B'G=；
••• Q'G=3-
NBE
2 KN =；
DG = :2= 13 -=
"ANB'KOANBE •••
B'N=BN=BB'=
(1) 如图1,若AD=BD,点E 与点C 重合，AF 与DC 相交于点 0,求证：BD=2D0.
(2) 已知点G 为AF 的中点。

① 如图2，若AD=BD, CE=2,求DG 的长。

② 若AD=6BD,是否存在点E ,使得△ DEG 是直角三角形？若存在，求CE 的长；若不存在，试说明理由。

【答案】 (1 )解：由旋转的性质得：
CD=CF / DCF=90°,
•••△ ABC 是等腰直角三角形， AD=BD ,
•••/ ADO=90 , CD=BD=AD,
•••/ DCF=Z ADC,
在厶ADO 和厶FCO 中，
i^-AOD= LFOC
L4D = FC
• △ ADO ^A FCO (AAS ),
• DO=CO,
••• BD=CD=2DO.
(2)解：①如图1,分别过点 D 、F 作DN 丄BC 于点N , FM 丄BC 于点M ,连结BF ,
从而可得点B '不在BN 上.
AB , BC 上，将线段 ED 绕点E 按
相似三角形的性质求得 B'K , KN,从而可得B'G , DG , Q'G 长，在Rt A B'GQ 中，根据勾股定理求得 B'Q' =
23.如图，在等腰 Rt A ABC 中，/ ACB=90°, AB=14 。

点 D , E 分别在边
逆时针方向旋转90°得到EF 。

图1
•••/ DNE=/ EMF=90 ,
又•••/ NDE=Z MEF , DE=EF
•••△ DNE BA EMF ,
••• DN=EM ,
又••• BD=7 ，/ ABC=45 ,
••• DN=EM=7,
••• BM=BC -ME-EC=5
••• MF=NE=NC -EC=5
• BF=5 ,
•••点D 、G 分别是AB 、AF 的中点,
②过点D 作DH 丄BC 于点H,
•/ AD=6BD, AB=14 ,
(i) 当/ DEG=90时，有如图2、3两种情况，设 CE=t,
• DG=
•••/ DEF=90 , / DEG=90 , •••点E 在线段AF 上，
••• BH=DH=2, BE=14-t , HE=BE-BH=12-t •/△ DHE ^A ECA
PH HE EC = Gl
解得：t=6 ± 2 ,
(ii) 当DG// BC 时，如图4,过点F 作FK 丄BC 于点K,延长DG 交AC 于点N ,延长AC 并截取MN=NA , 连结FM
，12 —f
•
CE=6+2
A
贝U NC=DH=2, MC=10,
设GN=t，则FM=2t, BK=14-2t,
•/△DHE^A EKF,
••• DH=EK=2 HE=KF=14-2t,
•/ MC=FK,
• 14-2t=10 ,
解得：t=2,
•/ GN=EC=2 GN // EC,
•四边形GECN为平行四边形，/ ACB=90, •四边形GECN为矩形，
•••/ EGN=90 ,
•••当EC=2时，有/ DGE=90 ,
(iii)当/ EDG=90 时，如图5:
设 GN=t ，贝U FM=2t , ••• PG=PN -GN=12-,
•/△ DHE ^A EKF,
••• FK=2,
••• CE=KM=2t -2,
• HE=HC-CE=12( 2t-2 ) =14-2t ,
• EK=HE=14-2,
AM=AC+CM=AC+EK=14+14-2t=28-2t,
• MN= =AM=14-t , NC=MN-CM=t ,
• PD=t-2,
•••△ GPD ^A DHE ,
GP PD
DH~HE 12 —r r —2 ~^~ = T4^2i
解得：t i = 10-屮■ , t 2 = 10+ （舍去）， • CE=2t-2=18-2 ；1I/
综上所述：CE 的长为=6+2 , 6-2 , 2或18-2 :上/；!.
【考点】相似三角形的判定与性质，旋转的性质
【解析】【分析】（1 ）由旋转的性质得 CD=CF / DCF=90 ,由全等三角形判定
根据全等三角形性质即可得证 •N 、M ，过点E 作EKL FM 于点K ,过点
D 作GN 的垂线交NG 的延
AAS #△ ADO ^A FCO, 长线于点 P,贝U PN=HC=BC-HB=12
(2)①分别过点D、F作DN丄BC于点N, FM丄BC于点M ,连结BF,由全等三角形判定和性质得DN=EM, 根据勾股定理求得DN=EM=7，BF=5 ，由线段中点定义即可求得答案
②过点D作DH丄BC于点H,根据题意求得BD=2 ，再分情况讨论:
(i)当/ DEG=90时，画出图形；
(ii)当DG// BC时，画出图形；
(iii)当/ EDG=90时，画出图形；结合图形分别求得CE 长.。