上海高二高中数学月考试卷带答案解析

上海高二高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、填空题
1.若直线经过点，方向向量为，则直线的点方向式方程是________.
2.若直线与直线垂直，则________.
3.若（为虚数单位）是关于的方程（）的一个根，则的值为 .
4.与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程是________.
5.将函数的图象绕轴旋转一周所形成的几何体的体积为__________.
6.在东经圈上有甲、乙两地，它们分别在北纬与北纬圈上，地球半径为，则甲、乙两地的球面距离是 .
7.设一个扇形的半径为，圆心角为，用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的体积是_________.
8.已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为___________.
9.已知双曲线方程，则过点和双曲线只有一个交点的直线有________条.
10.如图，一个球形广告气球被一束入射角为的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为米的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是___________.
11.设正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，则点到侧面的距离为___________.
12.已知椭圆（）的两个焦点为,以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，且，则等于___________.(不扣分)
13.如图，在直三棱柱中，，，，是上一动点，则
的最小值是___________.
14.在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点
与点到直线的距离之和等于，，则由中的所有点所组成的图形的面积是
_________.
二、选择题
1.过点且与直线平行的直线方程是（）
A．B．
C．D．
2.若（是虚数单位），则的最小值是（）
A．B．C．D．
3.动圆经过点并且与直线相切，若动圆与直线总有公共点，则圆的面积（）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最小值
4.正方体的面内有一点，满足，则点的轨迹是（）
A．圆的一部分B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
三、解答题
1.已知复数满足：且是纯虚数，求复数.
2.已知抛物线.
（1）若直线与抛物线相交于两点，求弦长；
（2）已知△的三个顶点在抛物线上运动.若点在坐标原点，边过定点，点在上且，求点的轨迹方程.
3.如图，圆柱的轴截面为正方形，、分别为上、下底面的圆心，为上底面圆周上一点，已知
，圆柱侧面积等于.
（1）求圆柱的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小.
4.定义：我们把椭圆的焦距与长轴的长度之比即，叫做椭圆的离心率.若两个椭圆的离心率相同，称这两个椭圆相似.
（1）判断椭圆与椭圆是否相似？并说明理由；
（2）若椭圆与椭圆相似，求的值；
（3）设动直线与（2）中的椭圆交于两点，试探究：在椭圆上是否存在异于的定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.
5.已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线
于点，且，圆的方程是.
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；
（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证:.
上海高二高中数学月考试卷答案及解析
一、填空题
1.若直线经过点，方向向量为，则直线的点方向式方程是________.
【答案】
【解析】若直线经过，且直线的方向为，则把方程称为直线的点方向式方程，据此代入，解得.
【考点】直线的点方向式方程.
2.若直线与直线垂直，则________.
【答案】
【解析】因为，所以，即有
【考点】两条直线的位置关系判定.
3.若（为虚数单位）是关于的方程（）的一个根，则的值为 .
【答案】
【解析】因为方程（）是实系数方程，所以它的虚根是以共轭虚数的形式成对出现的.因此由（为虚数单位）是方程的一个根，可知也是此方程的根，所以由韦达定理得，
即有.
【考点】复数及一元二次方程根的理论.
4.与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程是________.
【答案】
【解析】设与双曲线有共同的渐近线的双曲线方程为（），将点代入得，即有，所以所求方程为，即.
【考点】共渐近线的双曲线方程的特点.
5.将函数的图象绕轴旋转一周所形成的几何体的体积为__________.
【答案】
【解析】首先函数的图象为以原点为圆心，为半径的圆在轴上方的半圆，它绕轴旋转一周所形成的几何体是以原点为球心，为半径的球，故体积为.
【考点】球及球的体积计算.
6.在东经圈上有甲、乙两地，它们分别在北纬与北纬圈上，地球半径为，则甲、乙两地的球面距离
是 .
【答案】
【解析】在东经圈上有甲、乙两地它们的球面距离就是东经圈这样一个大圆（实际是半个大圆）上甲、
乙两地所对的劣弧长，而这两地所对的球心角即为它们的纬度之差，即弧度，从而两地的球面
距离是.
【考点】球面距离的计算.
7.设一个扇形的半径为，圆心角为，用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的体积是_________.
【答案】
【解析】因为一个扇形的半径为，圆心角为弧度，用它做成一个圆锥的侧面，设这个圆锥的底面半径为，高为，依题意圆锥的母线，由，即，所以，从而
，进而有该圆锥的体积（）.
【考点】圆锥及圆锥的体积计算.
8.已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为___________.
【答案】
【解析】设抛物线上的动点的坐标为，它到到直线和的距离之和为，则
=，当时，
.
【考点】直线与抛物线的位置关系及二次函数的最值.
9.已知双曲线方程，则过点和双曲线只有一个交点的直线有________条.
【答案】
【解析】由双曲线方程可知它是焦点在轴上的等轴双曲线，直线为它的渐近线，点在两个顶点之间，过可作与渐近线平行的两条直线，它们与此双曲线都各有一个公共点，但它们与双曲线是相交关系，此外过还可以作两条与双曲线右支都相切的直线，因此过点和双曲线只有一个交点的直线共有条，要注意两条是相交，另两条是相切，关注双曲线渐近线的特殊作用.
【考点】直线与双曲线的位置关系.
10.如图，一个球形广告气球被一束入射角为的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为米的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是___________.
【答案】
【解析】由椭圆的最长的弦长为米，知椭圆的，设气球的半径为，入射角为的平行光线与底面所成角就为，则有，即，从而气球的表面积为.
【考点】球及球的表面积计算.
11.设正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，则点到侧面的距离为___________.
【答案】
【解析】过正三棱锥的顶点作底面的垂线，垂足设为，则为底面的中心，连接并延长交于，则有，连接，则，因此面，从而面面，交线为，过点作的垂线，垂足为，则即为点到侧面，由侧棱与底面成角，知，
又，则有，从而，进而，在△中，运用等面积思想有，得.
【考点】立体几何中的有关计算.
12.已知椭圆（）的两个焦点为,以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，且，则等于___________.(不扣分)
【答案】（不扣分)
【解析】以为边作正三角形，设线段与椭圆的交点为，则点为边的中点，连接，则，由于△是边长为的正三角形，所以，，由椭圆的定义可知
，即有.
【考点】椭圆的定义及性质.
13.如图，在直三棱柱中，，，，是上一动点，则
的最小值是___________.
【答案】
【解析】在图2中，连接，由已知条件可求得，，
，因为，所以，将直角△和等腰直角△展开在同一平面内，如图，则由余弦定理得，
因为，所以的最小值是，空间距离的最小值，经常要通过图形展开，转化为平面图形问题来解决.
【考点】空间图形的折叠与展开及距离计算.
14.在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点
与点到直线的距离之和等于，，则由中的所有点所组成的图形的面积是
_________.
【答案】
【解析】因为的中点为坐标原点，由点与点到直线的距离之和等于，可知坐标原点到直线的距离为，则直线即为单位圆的切线，这样所有单位圆的切线就构成了集合，根据表示可知它是由单位圆内部的所有的点所组成的集合，面积即为单位圆的面积.
【考点】集合语言及直线与圆的知识.
二、选择题
1.过点且与直线平行的直线方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】
【解析】设与直线平行的直线方程为，将点代入得，即，所以所求直线方程为，故选择.
【考点】直线方程及两条直线的位置关系.
2.若（是虚数单位），则的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】
【解析】
，的最小值是，故选择，也可从两个复数差的模的几何意义考虑.
【考点】复数的运算及复数模的几何意义
3.动圆经过点并且与直线相切，若动圆与直线总有公共点，则圆的面积（）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最小值
【答案】
【解析】设动圆圆心，半径为，依题意则有①，②，③，由①②得，代入③得，即，所以
，因此圆的面积有最小值，故选择.
【考点】
4.正方体的面内有一点，满足，则点的轨迹是（）
A．圆的一部分B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
【答案】
【解析】设，可知，首先不考虑点在面内，只考虑，则点落在以为轴，母线与轴的夹角为的圆锥面上，然后加上点在面这个条件，则点的轨迹是面与圆锥面的交线，而面与轴是平行的，由圆锥曲线的产生来源可知：点的轨迹是双曲线的一部分，故选择.
【考点】圆锥曲线的产生及空间想象能力.
三、解答题
1.已知复数满足：且是纯虚数，求复数.
【答案】或者.
【解析】求复数，从复数实数化的方法考虑，即求复数的实部和虚部，这样就必须建立关于实部和虚部的方程组，而题目中恰好提供了建立方程的两个条件，只要设（），等价转化一下，即可解决问题.
试题解析：设（） 1分
① 3分
又是纯虚数 5分
，且② 7分
解①②可得或者 11分
或者 12分
【考点】复数的概念及运算
2.已知抛物线.
（1）若直线与抛物线相交于两点，求弦长；
（2）已知△的三个顶点在抛物线上运动.若点在坐标原点，边过定点，点在上且，求点的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）（）.
【解析】（1）这是解析几何中的常规问题，注意设而不求思想方法的使用；（2）求轨迹方程的方法有：直接法、定义法、代入转移法、几何法、参数法等，这里使用的是直接法，直接法的步骤是：建系、设点、列式、坐标化、化简整理、最后是多退少补，特别要注意多退少补.
试题解析：（1）由，消去整理得： 2分
设，则，
所以 6分
（注：用其他方法也相应给分）
（2）设点的坐标为，由边所在的方程过定点，
8分
所以, 即（） 14分
（注:没写扣1分）
【考点】1.直线与抛物线；2.求轨迹方程.
3.如图，圆柱的轴截面为正方形，、分别为上、下底面的圆心，为上底面圆周上一点，已知
，圆柱侧面积等于.
（1）求圆柱的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）了解圆柱的概念，掌握圆柱体积和侧面积计算公式即能解决此题；（2）求异面直线所成角，经常
采用平移法，即通过平移，将异面直线所成角转化为相交直线所成角来解决问题，此题可通过平移至，转化直线与所成角来处理.
试题解析：（1）设圆柱的底面半径为，由题意，. 2分
. 6分
（2）连接，由于，
即为异面直线与所成角 (或其补角)， 8分
过点作圆柱的母线交下底面于点，连接，
由圆柱的性质，得为直角三角形，四边形为矩形，，
由，由等角定理，得，所以，可解得，
在中，，
由余弦定理， 13分
异面直线与所成角. 14分
【考点】1.圆柱的体积与表面积；2.异面直线所成角.
4.定义：我们把椭圆的焦距与长轴的长度之比即，叫做椭圆的离心率.若两个椭圆的离心率相同，称这两个椭圆相似.
（1）判断椭圆与椭圆是否相似？并说明理由；
（2）若椭圆与椭圆相似，求的值；
（3）设动直线与（2）中的椭圆交于两点，试探究：在椭圆上是否存在异于的定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1），相似；（2）；（3），或，.
【解析】（1）掌握好离心率的及时定义即可解决问题；（2）掌握好离心率的及时定义即可解决问题；（3）解析几何中的定点、定值问题是有一定难度的，这种带有探究性问题，通常都假设存在，然后去求，若有解则存在，若无解，则不存在，如何求？如何从一个方程中求出多个字母的值，关键依赖于对题意的正确理解和运算能力，通过这道题我们也能悟出此类题的一般的解题规律.
试题解析：（1），相似； 4分
（2）由，得； 8分
（3）设、、、（为常数），将代入，整理得
10分
则有（＊）
由得，即
亦即（＊＊）
将（＊）代入（＊＊）整理得：
12分
因为对动直线，总要存在定点，所以上式成立与无关，因此必须有
14分
得，或，. 16分
【考点】1.椭圆的方程与性质；2.解析几何中的定点问题的处理.
5.已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线
于点，且，圆的方程是.
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；
（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证:.【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.
【解析】（1）作出解题所需图形，对照图形和双曲线的定义不难解决此问题；（2）按照数量积的定义即需求模和夹角，这都可以通过解析几何的工具性知识在形式上得到表示，然后通过设而不求和整体思想得以解决；（3）通过分析可将等式的证明转化为垂直关系的判定，仍然运用设而不求和整体思想来解决，注意要对直线的斜率是否存在分情况讨论，这样解题才严谨.
试题解析：（1）设、的坐标分别为、
因为点在双曲线上，所以，即，所以
在中，，，所以 2分
由双曲线的定义可知：
故双曲线的方程为： 4分
（2）由条件可知：两条渐近线分别为， 5分设双曲线上的点，设的倾斜角为，则
则点到两条渐近线的距离分别为， 7分因为在双曲线上，所以
又，从而
所以 10分
（3）由题意，即证：.
设，切线的方程为：，且 11分①当时，将切线的方程代入双曲线中，化简得：
所以：
又 13分所以 15分
②当时，易知上述结论也成立．所以 16分综上，，所以. 18分
（注：用其他方法也相应给分）
【考点】1.双曲线方程与性质；2.直线与双曲线；3.解析几何中的证明.。