椭圆中焦点三角形的性质(含答案)

专题1：椭圆中焦点三角形的性质及应用
性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a
b 2
2
证明：
性质二：已知椭圆方程为
),0(122
22
>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2
tan 221θ
b S PF F =∆.
证明：
性质三：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ
例1. 若P 是椭圆
164
1002
2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ， 求△21PF F 的面积.
例2.已知P 是椭圆
19
252
2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点， 2
1
|
|||2121=
⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D. 3
3
例3.已知椭圆
19
162
2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）
A. 59
B. 779
C. 49
D. 49或7
79
例 4. 已知1F 、2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使
︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。

练习题：
1. 椭圆124
492
2=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）
A. 20
B. 22
C. 28
D. 24
2. 椭圆14
22
=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 3
D. 6
3. 椭圆14
22
=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积 最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）
A. 0
B. 2
C. 4
D. 2-
4．已知椭圆1222
=+y a
x （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，
且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1 B ．3
1
C ．
3
4 D ．
3
2 5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上， 直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为3
5， 求椭圆的标准方程.
专题2：离心率求法：
1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )
A.22
B.32
C.53
D.63
2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15
3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．
4.已知A 为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上的一个动点，直线AB 、AC 分别过焦点F 1、 F 2，且与椭圆交于B 、C 两点，若当AC 垂直于x 轴时，恰好有|AF 1|∶|AF 2|＝3∶1， 求该椭圆的离心率．
5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点
的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的2
3，求椭圆的离心率．
椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）
性质二
证明：记2211||,||r PF r PF ==，
由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+
在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212
22
1c r r r r =-+θ
配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ
.cos 12cos 1)(22
2221θ
θ+=+-=∴b c a r r
由任意三角形的面积公式得：
2tan 2
cos 22cos
2
sin
2cos 1sin sin 2122
222121θθθ
θ
θ
θθ⋅=⋅=+⋅==
∆b b b r r S PF F .
.2
tan
221θ
b S PF F =∴∆
同理可证，在椭圆122
22=+b
x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.
性质三
证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得： 1222242)(2c o s 2
12
2
212
212212122122
2
1--=--+=-+=
r r c
a r r c r r r r r r F F r r θ
.2112221)2
(22222
2
22
2122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。

例1．解法一：在椭圆
164
1002
2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ 记.||,||2211r PF r PF ==
点P 在椭圆上，
∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r
在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212
22
1c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(21221=-+r r r r
.144340021=-∴r r 从而.3
256
21=
r r .3
36423325621sin 212121=⨯⨯==
∆θr r S PF F 解法二：在椭圆
1641002
2=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ .3
3
6430tan 642
tan
221=
︒==∴∆θ
b S PF F 例2.解：设θ=∠21PF F ，则2
1
|
|||cos 2121=
⋅=
PF PF θ，.60︒=∴θ .3330tan 92
tan
221=︒==∴∆θ
b S PF F
故选答案A.
例3.解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长
4
9
2=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92
tan
2
21=︒==∆θ
b S PF F ，又,7)2(2
1
21h h c S PF F =⋅⋅=
∆ 97=∴h ，.7
7
9=
h 故答案选D. 思路一：由焦点三角形性质二， .2190cos 20e -≥
⇒
2
2
≤e ＜1 思路二：利用焦点三角形性质⑴，从面积角度考虑 不妨设短轴一端点为B
则2245tan 21b b S PF F =︒=∆≤bc b c S BF F =⨯⨯=∆22
1
21
b ⇒≤
c 2
b ⇒≤2
c 2
2
c a -⇒≤2
c 222
a
c e =⇒≥21
，故
2
2
≤e ＜1
练习题：
1. 解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242
tan
2
21=︒==∆θ
b S PF F .
故答案选D.
2. 解：设θ=∠21PF F ， 12
tan
2
tan
2
21===∆θ
θ
b S PF F ，
∴
︒=︒=90,452
θθ
，021=⋅PF PF .
故答案选A.
3. 解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2
tan
2
tan
2
21θ
θ
==∆b S PF F ，
∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，
∴2120
cos cos ||||2
2121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF PF θ. 故答案选D.
4． 解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3
330tan 2
tan
221=
︒==∆θ
b S PF F ， 又 ||||4
3sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ⋅=⋅=
∆θ， ∴
3
3
||||4321=
⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF . 故答案选C.
5. 解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2
tan
222
21==︒==∆b b b S PF F θ
，
又 3
5
22=
-==a b a a c e ， ∴95122=-a
b ，即952012=-a .
解得：452
=a .
∴所求椭圆的标准方程为
1204522=+y x 或120
452
2=+x y .
离心率求法：
1.解析：选A.如图所示，四边形B 1F 2B 2F 1为正方形，则△B 2OF 2为等腰直角三角形，
∴c
a＝
2
2.
2.解析：选B.由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.
∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.
∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝3
5或e＝－1(舍去)．
3.解析：依题意，得b＝3，a－c＝1. 又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，
∴椭圆的离心率为e＝c
a＝4
5. 答案：
4
5
4.解：设|AF2|＝m，则|AF1|＝3m，
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝4m.
又在Rt△AF1F2中，
|F1F2|＝|AF1|2－|AF2|2＝22m.
∴e＝2c
2a＝|F1F2|
2a＝
22m
4m＝
2
2.
5.解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c.则焦点为F1(－c,0)，
F2(c,0)，M点的坐标为(c，2
3b)，
则△MF1F2为直角三角形．在Rt△MF1F2中，
|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋4
9b
2＝|MF
1
|2.
而|MF1|＋|MF2|＝4c2＋4
9b
2＋
2
3b＝2a，
整理得3c2＝3a2－2ab.又c2＝a2－b2，
所以3b＝2a.所以b2
a2＝
4
9.
∴e2＝c2
a2＝
a2－b2
a2＝1－
b2
a2＝
5
9，∴e＝
5
3.
法二：设椭圆方程为
x2 a2＋y2
b2＝1(a>b>0)，
则M(c，
2
3b)．代入椭圆方程，得
c2
a2＋
4b2
9b2＝1，
所以
c2
a2＝
5
9，所以
c
a＝
5
3，即e＝
5
3.。