Radon变换综述

Radon变换综述
研究背景
Radon变换是一种投影方法,其基本思想是对某个被积函数在给定的路径上进行积分运算[1]。

当被积函数的积分路径是直线时,则称
,,p为线性Radon变换,又称为变换或倾斜叠加,,当被积函数的积分路径不是直线时,则称为非线性Radon变换,或广义Radon变换。

,,q常见的非线性Radon变换有,抛物线Radon变换,又称为变换,,双曲Radon 变换(又称为速度叠加),多项式Radon变换。

这两种类型的Radon 变换实质上是统一的,它们可以用一个统一的公式表述。

Radon变换自建立起相应的理论之日起就为图像重构问题提供了一个统一的数学基础,Fourier投影定理证明Radon 变换和Fourier 变换有明确的对等关系,即凡能用Fourier 变换解决的问题都能用Radon变换解决,这又为Radon变换的快速求解提供了手段。

但是Radon变换本身的特点决定了Radon变换域中场的物理特征更为直观明确,有利于对比分析,易于为人们所接受和使用,所以Radon换在包含更多场的物理特征的地震勘探领域,如波场模拟、速度分析、偏移成像、平面波分解、噪声衰减、数据插值补道拓道、多次波衰减等方面得到广泛的应用。

由于Radon变换算子是非正交的,这也就导致了直接进行Radon正反变换能量的不对等性,于是提出了基于最小范数反演的Radon变换,这在一定程度上减少了拖尾现象,但是最小范数约束将会产生平滑效应,不能保证能量足够集中,所以不能在Radon域获得期望的分辨率。

因此要想获得高分辨率的Radon变换结果,消除平滑效应,
必须采用新的方法改进反演约束的方式。

首次提出高分辨率Radon变换方法是在频率空间域,是一种稀疏约束反演算法,得到频率域的稀疏解。

对应于Radon变换
在频率域的Toeplitz结构[2],求解方法有,Levinson递推算法、Cholesky分解法、共轭梯度法、预条件共轭梯度法等。

频率域高分辨率Radon变换方法的提出使得Radon变换处理资料的能力有了一个大的飞跃。

由于在频率域存在稳定性的问题,很多学者开始研究在时间-空间域直接计算高分辨率Radon变换的算法,采用的反演算法有最小二乘法、共轭梯度法、相似系数加权的Radon算法[3]和最优相似系数加权Radon算法[4],使得Radon域处理结果的分辨率得到了大大提高。

同时还研究了Radon变换的计算效率、适应性、反演的保真度等方面的问题[5]。

高分辨率Radon变换使不同的地震波同相轴在 Radon域内高度收敛,从而达到易于分离的目的。

与传统的Radon变换分离波场相比,它能够消除不同波场之间的影响,使波场分离和多次波压制变得更加容易、彻底。

从奥地利数学家Radon 1917 年提出Radon变换的理论以来,在地球物理领域国外不少学者为Radon变换做了很工作,Phinney等检
,,p验了Radon变换在地球物理中的特性,Carswell[6]把变换用于VSP地震资料的上、下行波分离,Durrani和Besset、Tatham、Chapman[7]建立了直角坐标系下点源、柱坐标系线源的精确变换公式,Stoffa等和Treitel[8]等较好的建立了平面波分解和Radon变换之间的关系,Thorson 和Claerbout[9]使用双曲Radon变换进行速度分
,,p析和反演,Harding、Hampson[10、11、12]将变换用于多次波
f,k的压制,Beylkin [13]讨论了域上的离散Radon变换的最小平方反演算
法,Foster [14]推广了广义Radon变换理论,进一步将双曲型
f,k时距曲线用一般函数代替,Zhou [15]讨论了域内的线性和抛物型Radon变换,Yilmaz [16]给出了时间-空间域高分辨率最小平方倾斜叠加的方法,Sacchi和Ulrych [17]提出利用Radon变换的稀疏解提高Radon域结果的分辨率,由此奠定了高分辨率Radon变换的理论基础,并用于道插值以及VSP波场分离,Sacchi [18]给
出了利用Radon变换稀疏解提高Radon域分辨率的共轭梯度算法,Cary [19]对离散Radon变换中的空间假频和截断效应做了总结和建议, Wang [20]研究了应用Radon 变换域自适应滤波的方法来压制截断效应,Ng和Perz提出了一种高分辨率的时间域相似系数加权Radon变换方法,在很大程度上克服了时间域直接进行Radon变换分辨率不足的问题,提高了数据在Radon域的分辨率,Cristina [21]提出了一种相移双曲方程提高Radon变换域内的分辨率,Zhou [22]在Wavelet-Radon域进行了地震数据重建和去除空间假频的研究。

近几年,Sacchi [23]等开始转向研究了3D Radon变换以及局部波场Radon变换的应用,也取得了显著的效果。

在国外工作的基础上,国内的专家学者们在这方面也做了不懈的努力。

李远钦[24]于1994 发表了线性与非线性Radon变换,并用于VSP地震资料上、下行波波场分离,马在田[25]提出了坐标拉伸的方法进行到内插,牛滨华等人[26]在国内首次提出了多项式Radon变换,
许世勇、孙显义等[27]提出了抛物Radon变换的思想方法,刘喜武等[28、29]研究了高分辨率Radon变换方法及其在地震信号处理中的应用,文中采用最小二乘反演方法研究抛物线Radon变换和双曲线Radon变换,给出了求解高分辨率Radon 变换的稀疏约束共轭梯度算法,用高分辨率抛物Radon变换来压制多次波,王维红等[30]研究了
,,p线性同相轴波场分离的高分辨率变换法,张军华[31]也深入讨论了抛物Radon变换压制多次波时参数选择的问题。

Radon 变换的基本原理
d(t,x)tx设表示地震数据,为偏移距,为垂直双程旅行时,
qu(,,q)为Radon域数据,为截距时间,表示曲线的曲率,Radon,
变换的一般形式定义为,
，,
u(,,f),d(t,f(x),x,)dx ,,,
其中是 Radon 变换积分路径。

Radon变换根据叠加路径的不同f(x)
有三种基本的形式,线性 Radon变换、抛物 Radon变换和双曲 Radon 变换。

1 Radon 变换的几种形式
1.1 线性 Radon 变换
当积分路径为直线时,即当f(x),,，px时, 为线性Radon 变换。

连续形式的正变换定义为,
，,
u(,,p),d(t,,，px,x)dx ,1, ,,,
与之对应的连续形式的反变换定义为,
，,~d(t,x),u(,,t,px,p)dp (2) ,,,
N假设地震数据有N道,Radon域的数据道数为,或,。

通过Nqxp把连续 Radon 变换的积分化为有限区域的相加,从而得到其线性离
散形式。

离散形式的正变换为,
Nx
u,(,p),d(t,,，px,x),x (3) ,iii,1
与之对应离散形式的反变换为,
Np~d(t,x),u(,,t,px,p),p (4) ,jj,1j
j,[1,N,1],x,x,xi,[1,N,1],p,p,p式中,,,。

pxi，1ij，1j1.2 抛物Radon变换
2f(x),,，qx抛物Radon变换是线性叠加的简单修改,使用曲线替
代曲线形态的积分。

由于抛物Radon和线性Radon变换都f(x),,，px
具有时不变性,故都可以转换到频率域进行。

连续形式的正变换定义如下,
，,2u(,,q),d(t,,，qx,x)dx (5) ,,,
与之对应连续形式的反变换定义为,
，,~2d(t,x),u(,,t,qx,q)dq (6) ,,,
离散形式的正反变换分别为,
Nx2u,(,q),d(t,,，qx,x),x (7) ,iii,1
Nq~2d(t,x),u(,,t,qx,q),q (8) ,jj,1j
,x,x,xi,[1,N,1],q,q,qj,[1,N,1]式中,,,。

xi，1ij，1jq
1.3 双曲 Radon 变换
线性Radon变换使用范围较窄,对于VSP、直达波等线性特征的同相轴波场分离效果明显。

抛物Radon变换是时不变性的一种近似,一般用在做完动校正后的记录上,对于在去除动校正后与有效波存在大时差的波场效果较好,如去除多次波。

但是分辨率仍然受到限制,对远偏移距时差较小的同相轴变换到Radon域重叠在了一起,分辨率较低。

对于CSP道集或CMP道集,正变换算子定义为双曲叠加,下面给出双曲 Radon变换正反变换公式,
，,22u(,,q),d(t,,，qx,x)dx (9) ,,,
，,~22d(t,x),u(,,t,qx,q)dq (10) ,,,
1tx式中为偏移距,为双程旅行时,为截距时间,q,表示曲线,2vrms
v的曲率,为均方根速度或动校正速度。

rms
离散形式的双曲 Radon 变换正反变换公式为,
Nx22u,(,q),d(t,,，qx,x),x (11) ,iii,1
Nq~22d(t,x),u(,,t,qx,q),q (12) ,jj,1j
,x,x,xi,[1,N,1],q,q,qj,[1,N,1]式中,,,。

xi，1ij，1jq
2 频率域高分辨率 Radon 变换
2.1 频率域 Radon 变换形式
对于线性和抛物Radon变换,由于这两种算子都具有时不变性,
所以也可以在频率域实现。

把时间-空间域问题转化到频率-空间域来求解,这样可以充分利用Fourier变换高效快速的特性,对每个频率分量进行Radon变换计算,避免了求解时间-空间域时采样形成的大矩阵问题,提高了计算速度。

以抛物型Radon变换为例,线性Radon变换与之相似。

在(5)和,6,中,积分路径为抛物型的,对其两边分别做Fourier变换,就可以对每个频率分量独立求解。

D(,,x)U(,,q)d(t,x)u(,,q)假设和分别是和的傅立叶变换,对
t,,5,和,6,关于时间和分别做Fourier变换,得到
，,2i,qxU(,,q),D(,,x)edx (13) ,,,
，,2~,i,qxD(,,x),U(,,q)edq (14) ,,,
同理,抛物Radon变换的Fourier变换后的离散形式为
Nx2iwqxjiU(,,q),D(,,x)e,xj,1,2,？,N (15) ,jiqi,1
Np2~,iqx,jiD(,,x),U(,,q)e,qi,1,2,？,N (16) ,ijx,1j
T,,D,D(,),D(,,x)D(,,x)？D(,,x)设是Fourier变换后的频12Nx
T,,U,U(,),U(,,q)U(,,q)？U(,,q)率分量数据,是Radon 域12Nq
HLL内的频率分量数据。

算子及其共轭算子由下列系数定义
2iwqx,jiL,ei,1,2,？,N,j,1,2,？,N xq
2iwqxHjiL,ei,1,2,？,N,j,1,2,？,N xq
写成矩阵分量形式为,
,2,iqx22,,1，，N,iqx,iqxp1121ee？e,,2,22,iqx,,N2,iqx,iqxp1222,,ee？e,L,, ？？？？,,222,i,qx,iqx,iqx,,12NNNNpxxx,,ee？e，，
2,22iqx,,1iqxiqxN，，x1112ee？e,,2,22iqx,,2iqxiqxNx2122ee？
e,,HL,,, ？？？？,,222,iqxi,qxiqx,2N1NNNpppx,,ee？e，，
对每个频率成分,15,和,16,可以表示成如下的矩阵形式,
HU,LD (17)
~D,LU (18)
HHLLLL由矩阵形式可知,和是非正交矩阵,因此和并不是真正的互逆算子,不能构成互逆变换对,这时就要利用广义逆来求解。

HN,NN，NLL 当时,即当方程组,18,为超定方程时,阶矩阵pxxx
L是可逆的,因此的广义逆矩阵为
H,1H(LL)L
则抛物Radon正变换为,
H,1HU,(LL)LD ,19,
N,NN，N 当时,即当方程组,18,为欠定方程时, 阶矩pxpp
HLLL阵是可逆的,因此的广义逆矩阵为
HH,1L(LL)
则抛物 Radon 正变换为,
HH,1U,L(LL)D ,20,
式,19,是最小二乘解,式,20,是最小范数解。

H其中算子LL为,
NN,xx2,2，，i(q,q)x1Nii(q,q)xp12iNe？e,,p,,
i,1i,1,,NNxx2,2,i(q,q)x2Ni,i(q,q)x,p21ieN？
eH,,pLL,,,i,1i,1 ,,？？？？,,NNxx22,,i(q,q)xi(q,q)xN1iN2ipp,,ee？N,,p,,i,1i,1，，
HLL同理算子为,
NNpp,,2222，，i(x,x)qi(x,x)qN1j21jxNe？e,,,,x
j,1j,1,,NNpp2222,,,,i(x,x)qi(x,x)qN2j12jxHeN？
e,,,,xLL,j,1j,1,, ？？？？,,NNpp2222,,,,i(x,x)qi(x,x)q1Nj2Njxxee？N,,x,,j,1j,1，，
HHLLLL由于和有可能为奇异矩阵或接近奇异矩阵,特别是对于低频成分。

因此,为了保证数值解的稳定性,需要加一阻尼因子,使得解的形式为, H2,1HU,(LL，,I)LD ,21,
HH2,1U,L(LL，,I)D ,22, 其中λ为阻尼因子,取值一般为 0.1,1。

因此,(21)和(22)式的最小二乘问题变为(19)和(20)式的阻尼最小二乘问题。

HHLLLL 在方程(21)和(22)中要分别计算和,由于这两个矩阵具有Toeplitz结构(均匀采样时),且两矩阵又是Hermit矩阵,所以矩阵称为
Toeplitz-Hermit矩阵。

这种矩阵的重要特点是,矩阵的实部正对称,虚部为反对称,对角线元素是常量,平行于对角线的元素的值相同。

并且这种Toeplitz结构对于不规则观测系统或丢失某些道的情况下仍然保持有效,可采用Levison递推算法,容易实现而且速度较快,也可采用共轭梯度法求解Toeplitz结构的矩阵。

HLL 线性Radon 变换和抛物Radon变换类似,下面只给出和算子
iwpx,jiL,ei,1,2,？,N,j,1,2,？,N xp
iwpxHjiL,ei,1,2,？,N,j,1,2,？,N xp
HLL算子为,
NN,xx,，，i(p,p)xNi1i(p,p)xpi12Ne？e,,p,,
i,1i,1,,NNxx,,i(p,p)xNi2,i(p,p)x,pi21eN？
eH,,pLL,,,i,1i,1 ,,？？？？,,NNxx,,i(p,p)xi(p,p)xNiNi12pp,,ee？
N,,p,,i,1i,1，，
HLL同理,算子为,
NNpp,,，，i(x,x)pi(x,x)pNj121jxNe？e,,,,x
j,1j,1,,NNpp,,,,i(x,x)pi(x,x)pN2jj12xHeN？
e,,,,xLL,j,1j,1,, ？？？？,,NNpp,,,,i(x,x)pi(x,x)pNjNj12xxee？
N,,x,,j,1j,1，，
2.2 高分辨率 Radon 变换算子
最小平方规则化方法由于使用不变的阻尼因子而导致变换的分辨
率变差。

阻尼因子实际上是对Radon域数据进行平滑,当把阻尼因子调到足够大时,变换的结果与时间域线性τ- p 变换的显示结果形态上十分相近,而如果阻尼因子设置得非常小,能量将在τ- p 域发散。

因此,通过改进规则化矩阵,使之随p 值的变化而改变,使能量在真实的速度范围内收敛,这就是高分辨率 Radon 变换。

高分辨率Radon变换域数据通过求解下述方程得到 U
HHH(LL，WW)U,LD ,23, 式中矩阵W 为对角阵, 记为
W,w,s,t,1,2,？N ,24, s,tss,tp
其对角元素不再是固定不变的,而是与解向量有关,而加权矩阵 UW
HHR，Q,LL，WW由上一次迭代的得到。

数据分辨矩阵不再是U
Toeplitz矩阵,而是Hermit矩阵,其元素为
Nx2,,i(qq)x2sti{R，Q},e，w,s,t,1,2,？N ,s,tss,tpi,1
这个矩阵可以通过Choleskey分解、共轭梯度法、LU 分解等方法求解。

方程的关键是加权矩阵的确定。

可以根据事先知道速度的分布范围P 对符合速度范围内解向量矩阵给一个较小的加权,而对于速度范围之外的矩阵给一个较大的加权,使其解趋近于零,从而达到了在τ-p 域提高分辨率的目的。

p,P1000,2w, ,s0.001p,P,
为使求解更为准确和快速,可以采用共轭梯度方法,并通过利用矩阵R是Toeplitz矩阵的特点,构造循环矩阵(褶积矩阵) ,将矩阵乘积转
换为向量褶积,利用FFT 将向量褶积变为乘积,后反FFT 得到先前矩阵乘积,从而减少计算量,加快计算速度.
2.2 频率域抛物 Radon 变换的参数选择
在地震资料处理中参数的选择是一个重要的环节。

对于抛物
qqRadon 变换,的采样范围同样必须在合适的范围之内, 的范围
f过大将会导致假频或者不满足采样理论。

频率的选择有一个有效带宽,抛物Radon 变换在低频不稳定,导致能量混淆,而过高的频率浪费计算效率。

Bx(t)由信号分析理论可以知道,对于有限带宽的任意函数,其f
采样率为 ,则应该满足如下关系式 , ,t
,xB,2, f
22(x,x),xx对于抛物 Radon 变换,其带宽为,其中和分maxminmaxmin别为最大炮检距和最小炮检距,把它代入上式中则又对于频率为的,
q信号,抛物 Radon 变换中参数的采样率应该满足下式
22,q,2,/[,(x,x)] maxmin
,设原始数据中信号的最高频率为,欲使所有的有效频率成分成max
,立,则将上式的替换为,则有 ,max
22,q,2,/[,(x,x)] maxmaxmin
由于在抛物Radon变换过程中出现假频,使得变换的质量下降。

q这里通过选择合适的的扫描范围来减小假频的产生。

对于抛物
qRadon变换设其真实的同相轴对应的曲率参数为则抗假频条件为 0
|q,q|,,/(,|x|,x) 0max
q考虑到所有有效波的成分,由此可以得到曲率参数的扫描范围满足的条件为q,q,,/(,|x|,x) maxminmaxmax
, 对于离散抛物 Radon 变换而言,对应的是一个较大的整数。

max
根据傅立叶变换中输入和输出采样间隔的关系,
,t,f,1/NFFT
Nf,[,/,f],设是对应的离散傅立叶序列整数,NFFT 为maxmaxmax
傅立叶序列总的采样长度,则
Nf,,t,NFFT maxmax
Nf,,t,NFFT minmin
Nf在实际运算中,通常取5。

因此,在傅氏变换域,Radon 变min
Nf换在 5, 范围内进行。

max
3 双曲线Radon 变换(时变速度叠加)
上节介绍了频率域线性 Radon 变换和抛物 Radon 变换,由于这两种变换算子
具有时不变性,可以在频率域实现,因此把时间-空间域问题转化到频率-空间域求解,可以在频率域采用反演算法计算,提高了计算速度。

但是这两种变换都有各自的局限性,线性 Radon 变换使用范围较窄,对去除具
有线性性质的声波、直达波、线性干扰等效果明显。

抛物 Radon 变换的是不变性是一种近似,一般用在做完部分动校正后的记录上,对于去除在动校正后与一次波存在较大时差的波场效果较好,如去除多次波,但是精度受到限制,比如,在远偏移距,旅行
时不能正确得到,反射同相轴也不能得到很好的近似,在频率域实现时,变换还
在稳定性的问题。

这就引入了双曲 Radon 变换,由于其时变性,只能在时间域寻求求解的方法。

在时间域求解线性 Radon 变换、抛物 Radon 变化和双曲 Radon 变换实现方
法是一样的,下面的论述中就以双曲 Radon 变换为代表。

2.3.1 双曲 Radon 变换原理
以将 CSP道集或CMP 道集(时间-炮检距)映射为速度-时间对。

因此具有双曲
线反射特征的 P-P 反射波或 P-SV 转换波,在 Radon 域理想情况下都聚焦于一点,直线型(折射,直达,面波)在 Radon 域内则分布于一小块区域,由于它们的速度很低,因此对应的q值很大,与反射波的 q值分离得很开,在变换域中很容易切除。

用算子运算表示的 Radon 逆变换式如下式所示,
~D,LU
~n,，npnt，nxD式中,向量有个元素,向量有个元素,算子矩阵U
L(nt，nx)，(n,，np)的维数为,这个算子把Radon域的一个点变换到时空域的一条双曲同相轴。

即把时间域的二维数据全都拉长为用一维
TLL表示。

设为满秩算子,伴随算子或转秩算子就是动校正叠加。

~D,LU正变换可由最小平方法导出。

由,使下述目标函数最小,得到U。

~2,,||D,LU||
对U求导得最小平方解,
~T,1TU,LLLD ()
对实际CSP道集或CMP道集,这种直接求法,矩阵的数据量和
TLL计算量十分巨大。

采用共轭梯度法求解矩阵和不必存储。

采用共轭梯度法,对于超定问题给出最小平方解,对于欠定问题,给出最小范数解。

所谓高分辨率 Radon 变换,就是构造的 Radon 域数据为的稀疏脉冲,或为稀疏解。

对于双曲 Radon 变换,稀疏解的求解和约束则在整个 Radon 域内进行,而频率域仅仅在速度的方向进行稀疏。

一般稀疏性测定有多种准则。

这里采用 Cauchy 类准则。

使下述目标函数最小,
U||~2kDLU,,||,||，,ln(1，) ,bk
U,式中是Radon变换结果向量的元素。

收敛参数和是相应的bUk
柯西分布参数。

对目标函数关于求导,得, U
~TT(LL)U,LD，QU,0 其中Q为一对角加权矩阵,其对角元素为,
,2Q, iib，|U|k
于是可以求得解为, U
~T,1TU,LL，QLD ()
采用共轭梯度反演法求解双曲 Radon 变换,即 Radon 变换问题转换为反演算子分辨率问题。

通过柯西准则来提供一个约束矩阵,从而通过多次迭代后求得反演的稀疏解。

时间域双曲高分辨率
Radon 变换的缺点就是当数据量比较大时,程序所需要的内存,运
算量将成倍增涨。

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