初中数学竞赛教程《同余3》

初中数学竞赛教程《同余3》
同余是数论中一个重要的概念，也是初中数学竞赛中常考的知识点之一、同余关系可以帮助我们解决一些整数求余的问题，同时也有一些重要的应用，如模运算、同余方程等。

本文将介绍同余的基本概念、性质以及应用。

一、同余的基本概念
同余的定义：设a、b为任意两个整数，m为一个正整数，如果m整除(a-b)，则称a与b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a与b模m 同余。

二、同余的性质
1. 自反性：对于任意整数a，有a≡a(mod m)。

证明：因为m整除（a-a），所以a与a对于模m同余。

2. 对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。

证明：由a≡b(mod m)，得m整除a-b，又由整除的性质，得m整除-(a-b)，即m整除b-a，所以b≡a(mod m)。

3. 传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。

证明：由a≡b(mod m)和b≡c(mod m)，得m整除a-b和b-c
所以m整除（a-b）+（b-c），即m整除a-c，所以a≡c(mod m)。

三、同余的应用
1. 求余数：当m=10时，对一个正整数n，n≡a(mod 10)的意义就是
n的个位数是a。

比如，1234≡4(mod 10)。

2. 模运算：同余关系可以推广到任意的四则运算和乘幂运算中。

比如，对于任意整数a、b，若a≡b(mod m)，那么对于任意整数c，有
(a+c)≡(b+c)(mod m)和(a-c)≡(b-c)(mod m)。

另外，如果a≡b(mod m)，则a^k≡b^k(mod m)。

3. 同余方程：同余方程是指形如ax≡b(mod m)的方程，其中a、b、
m是已知的整数，x是未知的整数。

同余方程在密码学、计算机算法等领
域有广泛的应用。

解同余方程的方法一般有试错法、中国剩余定理等。

在解同余方程时，我们要先求出模m意义下的倒数，一般记作b^-1，满足b*b^-1≡1(mod m)。

然后我们将方程两边都乘以b^-1，得到
x≡b*b^-1(mod m)，即x≡1(mod m)。

所以同余方程ax≡b(mod m)的解就
是x≡b*b^-1(mod m)。

通过对同余的学习，我们可以更好地理解整数间的运算规律，同时也
为解决一些数论问题提供了方便的工具。

在初中数学竞赛中，同余问题往
往具有较高的难度和复杂性，需要具备较强的数论基础和解题技巧。

通过
大量的练习和理解，我们可以在竞赛中得心应手地解决同余问题。