教与学 新教案九年级数学下册 28.2.2 仰角、俯角与解

锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.2 应用举例
第1课时仰角、俯角与解直角三角形
置疑导入归纳导入悬念激趣
肖颖的教室在教学楼的二楼，一天，她站在教室的窗台前看操场上的旗杆，心
想：站在二楼上可以利用解直角三角形测得旗杆的高吗？她望着旗杆顶端和旗杆底部，可以测得视线与水平视线之间的夹角各一个，但是，这两个角怎样命名区别呢？如图28－2－25，∠CAE，∠DAE在测量中各叫什么角呢？
图28－2－25
[说明与建议] 说明：用来源于学生身边的问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会数学来源于生活，并服务生活，诱发学生对新知识的渴求．
建议：两个学生一组，一个学生观察物体，另一个学生根据他观察的视线画出示意图，教师选择合适的时机引出仰角和俯角的概念．
一棵树AC在地面上的影子BC为10米，如图28－2－26①，在树影一端B处
测得树顶A的仰角为 45°，则树高是多少米？如图②，若一只小鸟从树顶A看树影BC的顶端B的俯角为 60°，则树高是多少米？(精确到1米)
图28－2－26
[说明与建议] 说明：通过仰角和俯角进一步说明，观察点的位置不同，得到的数据不同，观察的方向不同，得到的数据也可能不同．
建议：教师让学生根据上述的两个图形，求出树高，进一步理解俯角和仰角的概念．
75页例4
热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)?
图28－2－27
【模型建立】
根据俯角和仰角的意义，把角转化到相应的直角三角形中，通过解直角三角形解决实际问题. 在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构建直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题．常构造的基本图形有如下几种：
①不同地点看同一点，如图28－2－28①.
②同一地点看不同点，如图28－2－28②.
③利用反射构造相似，如图28－2－28③.
①②③
图28－2－28
【变式变形】
1．襄阳中考如图28－2－29，在建筑平台CD的顶部C处，顶部A的仰角为45°.底部B的俯角为30°.已知平台CD的高度为5 m，则大树的高度为__(5_3＋5)__ m(结果保留根号)．
图28－2－29 图28－2－30
2．潍坊中考如图28－2－30，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内．从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆EF后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上，则建筑物的高是__54__米．
3．自贡中考如图28－2－31，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A 处自点B看塑像头顶D的仰角为45°，看塑像底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．(最后结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.7)[答案：塑像CD的高度约为1.2米]
图28－2－31
4．台州中考如图28－2－32，某翼装飞行运动员从离水平地面高AC＝500 m的点A处出发，沿着俯角为15°的方向，直线滑行1600 m到达点D，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的点B.求他飞行的水平距离(结果精确到1 m)．
图28－2－32
解：如图28－2－33，过点D作DE⊥AC，作DF⊥BC，垂足分别为E，F.∵AC⊥BC，∴四边形ECFD是矩形，∴EC＝DF.在Rt△ADE中，∠ADE＝15°，AD＝1600，∴AE＝AD·sin∠ADE＝1600sin15°，DE＝AD·cos∠ADE＝1600cos15°. ∵EC＝AC－AE，∴DF＝EC＝500－1600sin15°.在Rt△DBF中，BF＝DF·tan∠FDB＝EC·tan15°，∴BC＝CF＋BF＝1600·cos15°＋(500－1600sin15°)tan15°≈1575(m).
答：运动员飞行的水平距离约为1575 m.
图28－2－33
5．绍兴中考九(1)班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．
(1)如图28－2－34①，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB＝38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数；
(2)如图②，第二小组用皮尺量得EF为16 m(E为护墙的上端点)，EF的中点离地面FB的高度为1.9米，请求出点E离地面FB的高度；
(3)如图③，第三小组利用第一、二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度．在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4米到达点Q，测得旗杆顶端A的仰角为60°，求旗杆AE的高度(精确到0.1米)．
备用数据：tan60°≈1.732，，2≈1.414.
图28－2－34
解：(1)∵DB＝CB，∴∠BDC＝∠BCD.∵∠CDB＝38°，∴α＝∠BDC＋∠BCD＝76°.即护墙与地面的倾斜角α的度数为76°.
(2)如图28－2－35①，设EF 的中点为M ，过点M 作MN ⊥FB ，垂足为N ，过点E 作EG ⊥BF ，垂足为G . ∵EG ⊥FB ，MN ⊥FB ，∴EG ∥MN .又∵M 是线段EF 的中点，∴N 是线段FG 的中点，∴MN 是△EFG 的中位线，∴EG ＝2MN ＝2×1.9＝3.8(m)．即点E 离地面FB 的高度为3.8 m. ① ②
图28－2－35
(3)如图28－2－35②，延长AE 交PB 于点H .在Rt △A QH 中，由tan ∠AQH ＝AH QH ，得QH ＝AH
tan60°＝AH
3，同理，PH ＝AH tan45°＝AH .∵PQ ＝4，∴AH －13
AH ＝4，解得AH ≈9.46 m ，∴AE ＝AH －EH ≈9.46－3.8≈5.7(m)．故旗杆AE 的高度约为5.7 m.
素材三 考情考向分析
[命题角度1] 利用仰角解决实际问题
利用仰角，画出示意图，解直角三角形，直接求塔高树高等．
例 株洲中考孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°(不考虑身高因素)，则此塔的高约为__182__米(结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475)．
[命题角度2] 利用俯角解决实际问题
根据题意和俯角的位置，构建直角三角形，设出相应的线段，通过解直角三角形构建一次方程，解此方程，回答相应的问题．
例 河南中考如图28－2－36，在中俄“海上联合—2014”反潜演习中，我军舰A 测得潜艇C 的俯角为30°，位于军舰A 正上方1000米的反潜直升机B 测得潜艇C 的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度．(结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7)．[答案：潜艇C 离开海平面的下潜深度约为308米] 图28－2－36
[命题角度3] 综合俯角、仰角解决实际问题
通过仰角和俯角添加辅助线，构建直角三角形，解直角三角形，解决实际问题．如本课素材二变式变形第1题．
素材四 图书增值练习
[当堂检测]
1. （2013山西）如图，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一座隧道（B 、C 在同一水平面上）．为了测量B 、C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升100 m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°，则B 、C 两地之间的距离为（ ）
A．1003 m B．502 m C．503 m D．
3 100
3
m
2. （2013衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6 m，
则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1 m，3≈1.73）
A．3.5 m B．3.6 m C．4.3 m D．5.1 m
3. （2013德阳）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B
的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距
离为120 m，这栋高楼BC的高度为（）
A．403 m B．803 m
C．1203 m D．1603 m
4. （2013十堰）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为＿＿＿＿米．
5. 小明在楼顶点A处测得对面大楼楼顶点C处的仰角为60°，楼底点D处的俯角为30°．若两座楼AB与CD相距60米，求楼CD的高度为多少米？
参考答案
1．A
2．D
3．D
4．7502
5．解：过点A 作AE ⊥CD 于E ．
在Rt△ACE 中，CE =60×tan60°=603(米)， 在Rt△ADE 中，DE =60×tan30°=60×33
=203(米)， ∴CD =CE +DE =603+203=803(米)．
素材五 数学素养提升
直角三角形中七个的“是否”
学习了直角三角形后，我们被其有趣而且丰富的知识所感染。

其中的“七个”是否，就颇有兴趣。

1是否有触礁危险
判断货船有无触礁危险的标准为：
1）计算出货船向正东方向航行时，小岛C 距正东航向的垂直距离；
2）比较垂直距离与暗礁半径的大小：
当垂直距离＞暗礁半径时，货船无触礁危险；
当垂直距离＜暗礁半径时，货船有触礁危险；
当垂直距离＝暗礁半径时，货船有触礁危险。

例1、如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A
处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60o 的方
向上．该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30o 的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由． 解：过点C 作CD ⊥AM ，垂足D ，
根据题意，得：AB=24×0.5=12，
∠CAB=30°，∠CBD=60°，∠CDB=90°，
因为，∠CBD 是三角形ABC 的一个外角，
所以，∠CBD=∠CAB+∠ACB ，
因为，∠CAB=30°，∠CBD=60°，所以，∠ACB=30°，
所以，∠ACB=∠CAB ，所以，AB=BC=12，
在直角三角形CBD 中，CD=BC ×sin60°=12×2
3=63， 又因为，25.2=1.5，3＞2.25，所以，3＞25.2＞1.5，所以，63＞625.2＞1.5×6＞9，
因为，在C 岛周围9海里的区域内有暗礁，所以，继续向正东方向航行，该货船无触礁危险。

2、是否超速
例2、某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h （即503
m/s ）。

交通管理部门在离该公路100m 处设置了一速度监测点A ，在如图3，所示的坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在点A 的北偏西60°方向上，点C 在点A 的北偏东45°
方向上．
（1）请在图3中画出表示北偏东45°方向的射线AC，
并标出点C的位置；
（2）点B坐标为，点C坐标
为；
（3）一辆汽车从点B行驶到点C所用的时间为15s，请
通过计算，判断该汽车在限速公路上是否超速行驶？（本
小问中3取1.7）
判断汽车是否超速的标准为：
1）计算出笔直的限速公路BC的距离；
2）计算出汽车在笔直的限速公路BC的速度；
3）比较汽车在笔直的限速公路BC的速度与最高行驶速度的大小：
当汽车在笔直的限速公路BC的速度＞最高行驶速度时，超速；
当汽车在笔直的限速公路BC的速度＝最高行驶速度时，超速；
当汽车在笔直的限速公路BC的速度＜最高行驶速度时，不超速；
解：
（1）北偏东45°方向的射线AC，如图4所示，
（2）在直角三角形AOB中，OA=100，∠OAB=60°，
所以，OB=OA×tan60°=1003，
点B坐标为（-1003，0）；
又因为，∠CAO=45°，∠COA=90°，所以，∠ACO=45°，
所以，OA=OC=100，所以，点C的坐标为（100，0）；
3）由1）、2）知道，从点B到点C的距离为：（100+1003）米；并且汽车从点B行驶到点C所用的时间为15s，
所以，汽车的速度为：（100+1003）÷15≈18m/s，而最高速度为：50/3≈17m/s，
因为，18m/s＞17m/s，所以，该汽车在限速公路上超速行驶。

3、是否通过
汽车恰好能通过的标准是：轴心距所在的直线恰好在点P
处相切。

例3、如图5，是一个路障的纵截面和汽车越过路障时的底
盘示意图，O1，O2分别是车轮的轴心，M是线段O1O2的中点
（轴心距的中点），两车轮的半径相等．经验告诉人们，只
要中点M不被P点托住（俗称托底盘，对汽车很有危害！），线段O1O2上的其它点就不会被P 点托住，汽车就可顺利通过．否则，就要通过其他方式通过．
（1）若某种汽车的车轮半径为50cm, 轴心距O1O2为400cm. 通过计算说明,当∠APB等于多少度时，汽车恰好能通过斜坡？（精确到0.1，参考数据sin14.48º≈0.25，cos14.48º
≈0.97）
（2）当∠APB=120°时，通过计算说明要使汽车安全通过，车轮半径与轴心距O1O2的比应符合什么条件？。

解：
1）如图6，汽车恰好能通过斜坡时，点1O 、M 、P 、2O Q 恰好在一条直线上，连接1O C ，则1O C ⊥PA ，
所以，在直角三角形1O PC 中，1O M=200，1O C=50，
所以，sin 1O MC=M O C O 11=200
50=0.25，
又因为，sin14.48º≈0.25，，所以，∠1O MC =14.48º，
所以，∠APB=180°-14.48º-14.48º=151.04 º≈151 º；
（2）当∠APB=120°时，要使汽车安全通过，则有∠1O MC =30º，
所以，M O C
O 11= sin30º=21，所以，1O M=21O C ，所以，O 1O 2=41O C ，
即C
O O O 12
1=14
，所以，当∠APB=120°时，要使汽车安全通过，
车轮半径与轴心距O 1O 2的比应至少为1：4。

4、是否穿过
判断MN 是否穿过文物保护区的标准为：
1）计算出C 距直线MN 的垂直距离；
2）比较垂直距离与文物保护区范围的大小：
当垂直距离＞文物保护区范围时，MN 不会穿过文物保护
区；
当垂直距离＜文物保护区范围时，MN 穿过文物保护区；
当垂直距离＝文物保护区范围时，MN 恰好穿过文物保护
区；
例4、2007年5月17日我市荣获“国家卫生城市称号”．如
图7,在“创卫”过程中，要在东西方向M N ，两地之间修
建一条道路．已知：如图C 点周围180m 范围内为文物保护
区，在MN 上点A 处测得C 在A 的北偏东60o 方向上，从A
向东走500m 到达B 处，测得C 在B 的北偏西45o 方向
上．MN 是否穿过文物保护区？为什么？（参考数据：3 1.732≈）
:解：
如图8,所示,
过C 作CH ⊥AB 于点H ，设CH=xm ，
则3AH x =，HB x =．
AH HB AB +=Q ，
3500x x ∴+=．18318031
x ∴==>+，所以，不会穿过保护区。

5、是否最近
判断轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C 最近的标准为：
1）作出C 到直线AB 的垂直距离，找到距离小岛最近的点的位置，垂足处；
2）求出点B 与垂足之间的距离，就是所要求的答案。

例5、一艘轮船自西向东航行，在A 处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C ，继续向东航行60海里到达B 处，测得小岛C 此时在轮船的东偏北63.5°方向上之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C 最近？
（参考数据：sin21.3°≈925，tan21.3°≈25， sin63.5°≈910
，tan63.5°≈2） 解：
过C 作AB 的垂线，交直线AB 于点D ，
得到Rt △ACD 与Rt △BCD ．
设BD ＝x 海里，
在Rt △BCD 中，tan ∠CBD ＝CD BD
， 所以,CD ＝x ·tan63.5°；
在Rt △ACD 中，
AD ＝AB ＋BD ＝(60＋x)海里，tan ∠A ＝CD AD
， 所以，CD ＝( 60＋x ) ·tan21.3°；
所以，x ·tan63.5°＝(60＋x)·tan21.3°，
即()22605
x x =+，解得，x ＝15。

答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C 最近。

6、是否最快
判断最快的标准为：
1）计算出三人各自行驶的路程；
2）计算出三人各自行驶的路程所用的时间；
3）所时间最少的人，就是最快的。

例6、如图11，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A 点处发现海中的B 点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A 点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边看成是直线)向前跑到C 点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑30O 米到离B 点最近的D 点，再跳人海中．救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米／秒．若∠BAD=45°，∠BCD=60°，三名救生员同时从A 点出发，请说明谁先到达营救地点B 。

(参考数据√2≈1.4，√3≈1.7)
解：
在三角形ABD 中，
因为，AD=300，∠BAD=45°，∠BDA=90°，所以，BD=300，
所以，AB=300√2≈300×1.4=420，
所以，1号救生员所用的时间为：420÷2=210（秒）；
在三角形BCD 中，
因为，BD=300，∠BCD=60°，∠BDA=90°，
所以，BC=300÷sin60°=200√3≈200×1.7=340，
CD=1/2BC=170，所以，AC=300-170=130，
所以，2号救生员所用的时间为：130÷6+340÷2≈191.7（秒）；
3号救生员所用的时间为：300÷6+300÷2=200（秒）；
因为，210＞200＞191.7，所以，2号救生员最快。

7、是否影响采光
判断A 楼的影子是否影响B 楼的一楼住户采光的标准为：
1）计算A 楼的影子在B 楼上的高度；
2）比较A 楼的影子在B 楼上的高度与B 楼一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米的大小： 当A 楼的影子在B 楼上的高度＞B 楼一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米时，影响采光； 当A 楼的影子在B 楼上的高度=B 楼一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米时，不影响采光；
当A 楼的影子在B 楼上的高度＜B 楼一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米时，不影响采光；
例7、如图12，某居民小区内A 、B 两楼之间的距离MN=30米，两楼的高都是20米，A 楼在B 楼正南，B 楼窗户朝南。

B 楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米，窗户高CD=1.8米。

当正午时刻太阳光线与地面成30o 角时，A 楼的影子是否影响B 楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由。

（参考数据：2 1.414=，3 1.732=，5 2.236=）
解：如图13，设光线FE 影响到B 楼的E 处，
作EG FM ⊥于G ，由题知，30m EG MN ==，30FEG ∠=o ，
所以，330tan 303010317.32FG =⨯=⨯==o ， 所以，2017.32 2.68MG FM GF =-=-=，
因为，2 1.8DN CD ==，，所以，2.68＞2，所以，影响B 楼的采光，
因为， 2.6820.68ED =-=，所以，A 楼影子影响到B 楼一楼采光，挡住该户窗户0.68米．。