正弦与余弦定理练习题及答案

- -
正弦定理练习题
1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，那么b 等于( )
A.6
B.
2 C.
3
D ．2 6
2．在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，那么b 等于( )
A ．4 2
B ．4 3
C ．4 6 D.32
3
3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，那么角B 为( )
A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对
4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，那么sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )
A ．1∶5∶6
B ．6∶5∶1C．6∶1∶5 D．不确定
5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，假设A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，那么c ＝( )
A ．1 B.1
2
C ．2
D.14
6．在△ABC 中，假设cos A cos B ＝b
a
，那么△ABC 是( )
-
-
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
7．△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，那么△ABC的面积为( )
A.
3
2
B.
3
4
C.
3
2
或3D.
3
4
或
3
2
8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.假设c＝2，b ＝6，B＝120°，那么a等于( )
A.6B．2C.3D. 2
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，假设a＝1，
c＝3，C＝π
3
，那么A＝________.
10．在△ABC中，a＝43
3
，b＝4，A＝30°，那么sin B＝________.
11．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，那么a＋c＝________.
12．在△ABC中，a＝2b cos C，那么△ABC的形状为________．13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，那么a＋b＋c
sin A＋sin B＋sin C＝________，
c＝________.
- -
14．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝1
3
，S △ABC ＝43，那么b ＝________.
15．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，假设a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2
A 2，求A 、
B 及b 、c . 16．△AB
C 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．
余弦定理练习题
1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝1
3
，那么AC 等于()
A ．6
B ．26
C ．36
D ．4 6
2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，那么c 等于()
A. 3
B.2
C. 5 D ．2
3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，那么∠A 等于()
A ．60° B．45°C．120° D．150°
4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，假设(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，那么∠B 的值为()
A.π6
B.π3
C.π6或5π6
D.π3或2π3
- -
5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，那么a cos B ＋b cos A 等于()
A ．a
B ．b
C ．c
D ．以上均不对
6．锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，
那么AB
→·AC →的值为() A ．2 B ．－2C ．4 D ．－4
7．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，那么a 为()
A.3B ．23C.3或23D ．2
8．△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，那么边BC 上的中线AD 的长为________．
9．a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，假设a ＝4，b ＝5，S ＝53，那么边c 的值为________．
10．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，那么cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.
11．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝1
3，S △ABC ＝43，那么b ＝________.
12．△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 2
4
，那么
角C ＝________.
13．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．
14．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；
(2)求sin(2A －π
4
)的值．
正弦定理
1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，那么b 等于( )
A. 6
B. 2
C. 3 D ．2 6
解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B
sin A ＝ 6.
2．在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，那么b 等于( )
A ．4 2
B ．4 3
C ．4 6 D.32
3
解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝
a sin B
sin A
＝4 6. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，那么角B 为( )
A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对
解析：选C.由正弦定理a
sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝2
2
，又∵a >b ，∴B <60°，∴B
＝45°.
4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，那么sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )
A ．1∶5∶6
B ．6∶5∶1
C ．6∶1∶5
D ．不确定
解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.
5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，假设A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，那么c ＝( )
A ．1 B.12C ．2 D.1
4
解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c
sin C 得c ＝
2×sin 30°
sin45°
＝1.
6．在△ABC 中，假设cos A cos B ＝b
a
，那么△ABC 是( )
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B
sin A ，
sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B
即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π
2
.
7．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，那么△ABC 的面积为( )
A.32
B.34
C.3
2
或 3 D.34或32
解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝3
2
，∵AB ＞AC ，
∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.
再由S △ABC ＝1
2
AB ·AC sin A 可求面积．
8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .假设c ＝2，b ＝6，B ＝120°，那么a 等于( )
A. 6 B ．2 C. 3
D. 2
解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2
sin C ，
∴sin C ＝1
2
.
又∵C 为锐角，那么C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.
9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假设a ＝1，c ＝3，C ＝π
3，那
么A ＝________.
解析：由正弦定理得：a sin A ＝c
sin C ，
所以sin A ＝
a ·sin C c ＝1
2
. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π
6.
答案：π
6
10．在△ABC 中，a ＝43
3
，b ＝4，A ＝30°，那么sin B ＝________.
解析：由正弦定理得
a
sin A ＝
b
sin B
⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝3
2
.
答案：3
2
11．在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，那么a ＋c ＝________.
解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，
由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°
＝43， ∴a ＋c ＝8 3.
答案：8 3
12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，那么△ABC 的形状为________．
解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得
2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，
- -
所以sin A ＝2sin B ·cos C ，
即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0.
∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形
13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，那么a ＋b ＋c
sin A ＋sin B ＋sin C
＝
________，c ＝________.
解析：由正弦定理得
a ＋
b ＋
c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴
1
2
×12×sin60°×c ＝183，
∴c ＝6.
答案：12 6
14．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝1
3
，S △ABC ＝43，那么b ＝________.
解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝1
2ab sin C ＝43，
解得b ＝2 3. 答案：2 3
15．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，假设a ＝23，sin C 2cos C 2＝1
4，sin B sin
C ＝cos 2A
2
，求A 、B 及b 、c .
解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝1
2
，
又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π
6.
由sin B sin C ＝cos 2
A
2
，得 sin B sin C ＝1
2[1－cos(B ＋C )]，
即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，
即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得
- -
cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，
即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π
6
(舍去)，
A ＝π－(
B ＋
C )＝2π3
.
由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C
，得
b ＝
c ＝a sin B
sin A ＝23×123
2＝2.
故A ＝2π3，B ＝π
6，b ＝c ＝2.
＝255×31010－55×1010＝2
2.
又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.
(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝2
2.
由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c
sin C 得 5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b . ∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.
16．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．
解：由S ＝12ab sin C 得，153＝1
2
×603×sin C ，
∴sin C ＝1
2，∴∠C ＝30°或150°.
又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .
当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°. 又∵ab ＝603，a sin A ＝b
sin B ，∴b ＝215.
当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)． 故边b 的长为215.
余弦定理
- -
1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝1
3，那么AC 等于()
A ．6
B ．2 6
C ．3 6
D ．4 6
解析：选A.由余弦定理，得
AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B
＝
42
＋62
－2×4×6×1
3
＝6.
2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，那么c 等于() A. 3
B. 2
C. 5 D ．2
解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.
3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，那么∠A 等于() A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°
解析：选D.cos∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32
，
∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.
4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，假设(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，那么∠B 的值为()
A.π6
B.π3
C.π6或5π6
D.π3或2π3
解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得
cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B
.
显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π
3
.
5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，那么a cos B ＋b cos A 等于()
A ．a
B ．b
C ．c
D ．以上均不对
- -
解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 2
2c ＝c . 6．锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，那么AB →·AC →的
值为()
A ．2
B ．－2
C ．4
D ．－4
解析：选A.S △ABC ＝3＝12
|AB →|·|AC →|·sin A ＝12
×4×1×sin A ， ∴sin A ＝32
，又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12
， ∴AB →·AC →＝4×1×12
＝2. 7．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，那么a 为() A. 3
B ．2 3 C.3或2 3 D ．2
解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.
8．△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，那么边BC 上的中线AD 的长为________．
解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3
. 在△ABD 中， AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B
＝1＋4－2×1×2×12＝ 3. 答案： 3
9．a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，假设a ＝4，b ＝5，S ＝53，那么边c 的值为________．
解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32
，∴C ＝60°或120°. ∴cos C ＝±12
，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，
-
-
∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或61
10．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，那么cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，
设a ＝2k (k ＞0)，那么b ＝3k ，c ＝4k ，
cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2k 2＋4k 2－3k 22×2k ×4k ＝1116
， 同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14
， ∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．
答案：14∶11∶(－4)
11．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13
，S △ABC ＝43，那么b ＝________. 解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223
. 又S △ABC ＝12
ab sin C ＝43， 即12·b ·32·223
＝43， ∴b ＝2 3.
答案：2 3
12．△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝
a 2＋
b 2－
c 24，那么角C ＝________.
解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2
＝12
ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°. 答案：45°
13．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．
解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，
∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12
. 又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，
∴a ＋b ＝23，ab ＝2.
- -
∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C
＝a 2＋b 2－2ab (－12
) ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab
＝(23)2－2＝10， ∴AB ＝10. 14．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .
(1)求AB 的值；
(2)求sin(2A －π4
)的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC
sin A
， 得AB ＝sin C sin A
BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255
， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55
. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45
， cos 2A ＝cos 2A －sin 2
A ＝35.所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.。