广东省天河区普通高中高二数学11月月考试题04

上学期高二数学11月月考试题04
时间120分钟,满分150分
一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的. 1. 不等式
1
01
x x +>-的解集为Ｃ A ．(1,1)- B ．(1,)+∞ C ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞ D ．(1,)-+∞
2. 椭圆
22
1259
x y +=的离心率是Ｂ A ．
35 B ． 45 C ． 25 D ． 54
3．直线1x y
a b
+=在y 轴上的截距是（ B ）
A ．b
B ．b
C ．a
D ．||a
4. 已知向量a=(1,m )，b=(3m,1),且a // b ，则2
m 的值为C A. 13- B. 23-
C. 13
D. 23
5. 若,,a b c R ∈，a b >，则下列不等式成立的是A A. a b -<- B.22
a b > C.
11
a b
< D.22ac bc > 6．直线:10l x y +-=与圆:C 2
2
1x y +=的的位置关系是Ａ Ａ 相交 Ｂ 相切 Ｃ 相离 Ｄ 不确定
7. 椭圆22
143
x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到左准线的距离为 （ D ）
A ． 4 B. 5 C. 7 D 6
8.已知实数,x y 满足20006x y x y y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤≤⎩
，若z x y =+的最大值为m ，则m=D
A. 1
B. 6
C. 10
D.12
9. 若某等差数列{}n a 中，2616a a a ++为一个确定的常数，则下列各个和中也是确定的常数
的是C
A. 8S
B. 10S
C. 15S .
D. 17
S
10. 已知圆2
2
490x y x +--=与y 轴的两个交点,A B 都在某双曲线上，且,A B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为B
A ．
221936y x -= B ．221972y x -= C ．22
11681y x -= D ．221464y x -=
11．已知O 为平面上的一个定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个动点，点P 满足条件
2OB OC OP +=
(),(0,)||cos ||cos AB AC
AB B AC C
λλ++∈+∞，
则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
解析：设线段BC 的中点为D ，则
2
OB OC
OD +=，∴2OB OC OP +=
()||cos ||cos AB AC
AB B AC C
λ++(
)||cos ||cos AB AC
OD AB B AC C
λ=++，
∴(
)||cos ||cos AB AC
OP OD DP AB B AC C
λ-=+=，
∴(
)()||cos ||cos ||cos ||cos AB AC AB BC AC BC
DP BC BC AB B AC C AB B AC C
λλ⋅⋅⋅=+⋅=+
||||cos()||||cos (
)(||||)0||cos ||cos AB BC B AC BC C
BC BC AB B AC C
πλλ-=+=-+=，
∴DP BC ⊥，即点P 一定在线段BC 的垂直平分线上，
即动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的外心，选C ．
答案：C
12．如图，已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右准线分别为1l 、2l ，且分别
交x 轴于C 、D 两点，从1l 上一点A 发出一条光线经过椭圆的左焦点F 被x 轴反射后与2l 交于点B ，若AF BF ⊥，且75ABD ∠=︒，则椭圆的离心率等于
A B 1 C D C 提示：由光学知识易知ΔACF 、ΔBDF 均为等腰直角三角形，
30ABF ∠=︒，,BF DF ∴，
22
)a a c c c c
∴
+=-，即22a c
+22)a c -，
2
2
(11)c a ∴=
，22
2c e a ∴=，
e ∴=
．故选C ．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分
13.双曲线2
214
y x -=的渐近线方程是 x y 2±= 14
．tan ,cos sin ____a a a a 已知则p =
<<-=
15．设,x y R +∈
且
19
1x y
+=,则x y +的最小值为________.16 16．过抛物线2
2y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25
,,12
AB AF BF =
<则AF = .
【答案】
6
5 【解析】抛物线2
2y x =的焦点坐标为)0,21(，准线方程为2
1
-
=x ，设A,B 的坐标分别为的),(),,(2211y x y x ，则41
4221==p x x ，设n BF m AF ==,，则2
1,2121-=-=n x m x ，
所以有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=+=--1225
4
1)21)(21(n m n m ，解得65=m 或45=n ，所以65=AF .
三.解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分10分）求证:1
31
a a +
≥-.(1)a > 证明：
1111121311a a a a +
=-++≥=+=-- 当且仅当1
11
a a -=
-即a=2时,等号成立.
18. （本小题满分12分）双曲线与椭圆
22
13627
x y +=有相同焦点，且经过点，求双曲线的方程
解：由题意知双曲线焦点为12(3,0),(3,0)F F -，
可设双曲线方程为22
22
19x y a a
-=-
点在双曲线上，代入得22
436()a a ==或舍
∴双曲线的方程为22
145
x y -
=
19. （本小题满分12分）设函数21()cos 2sin ,[0,]22
x
f x x x x π=++∈ （I ）求()f x 的值域；
（II ）记ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()1,1,f B b c ===
a
的值。

解：（1）211
()sin cos 2sin cos 1cos 22222
x f x x x x x x =
++=++-
1cos 1sin() 1.226
x x x π
=
-+=-+ ………………2分 5[0,],[,
]6
66x x π
ππ
π∈∴-
∈-
………………4分
1
()[,2]2
f x ∴∈ ………………6分
（II ）由()1,sin()0,6
6
f B B B π
π
=-
==
得故 ………………8分
解法一：由余弦定理222
2cos b a c a B =+-，……………9分
得2
320,1a a a -+==解得或2 ………………12分 解法二：由正弦定理
,sin sin b c
B C
=
得2sin ,233
C C ππ=
=或 ………………8分
当,,232C A a π
π
=
=
==时从而 ……………10分
当2,,,1366
C A B a b πππ=====时又从而
故a 的值为1或2………………12分
20. （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ， 2
2
b S q =． （Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设数列{}n
c 满足n n S c 1=
，求证：{}n c 的前n 项和23
n T < 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，
因为⎪⎩
⎪⎨⎧==+,,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，
q d q d q 6126 解得 3=q 或4-=q （舍），3=d ．
故33(1)3n a n n =+-= ，1
3-=n n b ． ………8分
（Ⅱ）因为2
)
33(n n S n +=
， 所以n c =)1
11(32)33(21+-=+=n n n n S n ． ……11分
故=
n T 211111212
[(1)()()](1)32231313
n n n -+-++-=-<++ ……12分 21. （本小题满分12分）营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水
化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元。

为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？
解：设每天食用，那么，总成本为食物食物z ykg A xkg B ,
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧≥≥≥+≥+≥+0
,006.007.014.006.014.007.0075.0105.005.10y x y x y x y x （1），目标函数为y x z 2128+=
二元一次不等式组（1）等价于⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0
,067146147577y x y x y x y x （2）
做出二元一次不等式组（2）所表示的平面区域，即可行域 由图可见，当直线z=28x+21y 经过可行域上的点M 时，截距
21
z
最小，即z 最小. 解方程组 ⎩⎨
⎧=+=+6
714577y x y x 得点M(71 , 74 )，因此，当71=x , 74
=y 时，z=28x+21y 取最
小值，最小值为16.
由此可知每天食用食物A 约143克，食物B 约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元
.
22.．（本小题满分12分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1
3
，椭圆上的点到
右焦点F 的最近距离为2，若椭圆C 与x 轴交于A 、B 两点，M 是椭圆C 上异于A 、B 的任
意一点，直线MA 交直线:9l x =于G 点，直线MB 交直线l 于H 点。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）试探求以GH 为直径的圆是否恒经过x 轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若
不经过，请说明理由。

解（Ⅰ）由题意得
1
,
32
c a a c ⎧=⎪⎨
⎪-=⎩1,3c a =⎧⇒⎨=⎩82=⇒b . 椭圆C 的方程为：22
1.98x y +=
……………………………………………………4分 （Ⅱ）记直线MA 、MB 的斜率分别为1k 、2k ，设,,M A B 的坐标分别为
00(,)M x y ,)0,3(-A ,)0,3(B ，,3001+=∴x y k 020,3y k x =-2
012209
y k k x ∴=-.
P 在椭圆上，所以)91(81892
02
02
02
0x y y x -=⇒=+，1k 2k ⋅9
8-=， 设),9(1y G ),9(2y H ，则1211y k k AM ==，6
22y
k k MB ==.
722121y y k k =∴，又1k 2k ⋅9
8
-=.
12128
64729
y y y y ∴=-⇒=-.……………………………………………………………8分
因为GH 的中点为)2
,9(2
1y y Q +，12GH y y =-,所以，以GH 为直径的圆的方程为：4)()2()9(2212212
y y y y y x -=+-+-.
令0=y ，得64)9(212
=-=-y y x ，
17,1==∴x x ，将两点)0,1(),0,17(代入检验恒成立.
所以，以GH 为直径的圆恒过x 轴上的定点(17,0),(1,0).…………………………12分。