高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.2.3 直线与平面的位置关系》5

§1.2.3 直线与平面的位置关系（3）
---直线与平面所成的角 教学目标:
1、理解一组概念：平面的斜线、斜足、斜线段定义；
2、直线与平面所成的角；
3、进一步掌握直线与平面垂直的判定定理及性质定理；
4、培养学生的空间想象能力和辨证思维。

教学重点、难点:
重点：直线与平面所成的角。

难点：直线与平面所成的角。

教学过程:
一、问题情境
观察如图所示的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1
1、直线AA 1和平面ABCD 是什么关系
2、直线A 1B 、A 1C 、A 1D 和平面ABCD 的位置关系
3、直线A 1B 、A 1C 、A 1D 与点B 、C 、D 它们又如何命名呢？
二、建构数学
1、_____________________________________________这条直线叫做这个平面的斜线 叫斜线段
__________________________________叫做斜线在这个平面上的正投影简称射影 2、__________________________________________叫做这条直线与这个平面所成的角。

3、____________________________________________，我们说它们所成的角是直角； ____________________________________________，我们说它们所成的角是00
的角。

4、斜线与平面所成角的范围：____________；直线与平面所成角的范围：______________ 说明：1若直线垂直于平面，我们说它们所成角为90︒； 2若直线平行于平面或在平面内，我们说它们所成角为0︒； 3直线和平面所成角的范围为：090θ︒≤≤︒；
Q
P 1
P
α
B
B 1
A
D C D 1
C 1
A 1
B
C
A P
D
4可以证明：PQ 与平面α内经过点Q 的直线所成的所有角中，1PQP ∠最小．即：一条直线和一个平面所成的角是这条直线和这个平面内所有直线所成角中的最小角． 5 求解线面角的关键是找这条直线在这个平面内的射影． 三、数学运用 1．例题
例1如图，已知AC 、AB 分别是平面α的垂线和斜线，C 、B 分别是垂足和斜足，a ⊂α， a ⊥BC 。

求证：a ⊥AB
例2如图，已知AP 是∠ABC 所在平面的斜线，PO 是∠ABC 所在平面的垂线，垂足为O 。

（1）若P 到∠BAC 两边的垂线段PE 、PF 的长相等，求证：AO 是∠BAC 的平分线。

（2）若∠PAB=∠PAC ，求证：AO 是∠BAC 的平分线
且PA =，求
例3．已知正方形ABCD 的边长为a ，P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，
PC 与平面ABCD 所成的角．
例4在正方体1AC 中，（1）求1BC 与平面11ACC A 所成的角．
（2）求A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角，
A
B
C
E
F
O
P
D B 1C 1D 1A 1
A
C B O C B
A
D
P E O
F
例5 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，
PD DC =，E 是
PC 中点，
1求证：P A ∥平面EDB ；
2求EB 与底面ABCD 所成角的正切值．
四、回顾小结
1直线与平面所成角的有关概念；
2直线与平面所成角的作法及求解的基本方法．
求解线面角的关键是找这条直线在这个平面内的射影，找这条直线在这个平面内的射影的关键是找到“垂
足”与“斜足”．
五、课外作业
1、如图，∠BCA ＝900
,PC ⊥平面ABC ，则在△ABC ,△PAC
（１）与PC 垂直的直线_________________________； （２）与PA 垂直的直线_________________________；
2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角_________。

3、若直线与平面不垂直，那么在平面内与直线垂直的直线（）
A只有一条 B有无数条 C是平面内的所有直线D不存在
4、判断下列说法是否正确
（1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线（）
（2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线（）
（3）两条异面直线在同一平面内的射影要么是平行直线，要么是相交直线（）
（4）若斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等（）
（5）两条平行直线和一个平面所成的角一定相等（）
（6）若两条直线和一个平面所成的角相等，则两直线平行（）
（7）若平面α外的直线上有两点到平面α的距离相等，则直线平行于平面α（ ）
5、已知斜线段的长是它在平面β上射影的2倍，则斜线和平面β所成的角为_________
6、点P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则P点在△ABC所在平面上的射影是△ABC的心。

[变1]点P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则P点在△ABC所在平面上的射影是△ABC的心。

[变2]点P是△ABC所在平面外一点，且P点到△ABC三个顶点距离相等，则P点在△ABC所在平面上的射影是△ABC的心。

[变3]点P是△ABC所在平面外一点，且P点到△ABC三条边距离相等，则P点在△ABC所在平面上的射影是△ABC 的心。

7、在四棱锥Ｐ－ABCD中,ABCD是矩形, ＰＡ⊥面ABCD
1指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由．
2 若PA=AD=AB,试求PC与平面ABCD所成角的正切值 A
B C D
P。