线代期中(A类)试卷及答案 (2)

一．计算题（共50分）
1．（6分）设
200
111
313
A
⎡⎤
⎢⎥
=-⎢⎥
⎢⎥
-
⎣⎦
,计算（1）T
AA，（2）T A A.
2. （6分）计算行列式
100 010 000 5432 x
x
x
x+
.
3.（6分）计算行列式12222 22222 22322
22212 2222
n
n
-
.
《线性代数》课程期中考试卷
学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿
主考教师：试卷类型：（A卷）
4. （6分）设123121201
13110420
25k A ⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥
⎢⎥=⎢
⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，()3R A =,求k .
. 5.
（6分）设123,,,,αβγγγ都是4维列向量，矩阵123,,,5,A αγγγ==矩
阵123,,,2B βγγγ==-，求2A B +.
6. （10分）设A,B,C,D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A 是可逆矩阵. 如果分块
矩阵
11
0,,0
E A B E A B P Q R CA E C D E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， （1）计算PQR,（2）证明矩阵Q 可逆的充分必要条件是1
D CA B --是可逆的.
7（10分）已知矩阵
111
011
23
351
A
a
⎡⎤
⎢⎥
-
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
与矩阵
111
010
23
151
B
a
a
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
-
⎣⎦
等价，确定常数a的取值范
围.
二. （10分）证明
cos1
12cos1
cos
12cos1
12cos
n
D n
α
α
α
α
α
=
=.
三.（15分）设A,B,C 为4阶矩阵，满足1
1
32T
A BC A
B --+=，其中
01001
01100101101,000111101
0000111B C ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥
⎣⎦⎣⎦
， 求A .
四. （20分）设
101
2,2,2
11a
αβγ
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
===
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，若,T T
A B
αββα
==，求解方程
22
A x Bxγ
=+.
五.(5分) 设 []12,,
,n A ααα=是n 阶矩阵，满足T A A E =且1A =，又
[]12,,,T
n c c c β=满足1T n βα=，证明[]121,,,,n B αααβ-=可逆，并求B .
二． 计算题（共50分）
1．（6分）设200111313A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）T AA ，（2）T A A . 解（1）T AA =4264228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，
（2）T A A =14484228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

2. （6分）计算行列式
10
001000
0543
2
x x x
x +.
解
10
001000
0543
2
x x x
x +=10
10
1
54532432x x x x
x x x x ⎡⎤
-=+-⎢⎥+⎣⎦+
=4
3
2
2345x x x x +-+-.
7. （6分）计算行列式
122222
222222322222122
222n n
-.
解
12222122222
222210000223221010022212100302
222
10
2
n n n n =--
-
()
()3
222220
1000002001122!000300
02
n n n =-=----
()12!2n n n +⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
8. （6分）设123121201
1311042025k A ⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥
⎢⎥=⎢
⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，()3R A =,求k .
解 12
3112
311
23
1212056001
1301
130113001151104033
30
001220
25044300
015r
r
k k A k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→−−→-⎢
⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
123
11
23
101
1301
130
011500115000120
0010
01500
00r r
k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，
如果()3R A =，则1k =，此时
1
23101130
00100000
000r
A ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
.
9.
（6分）设123,,,,αβγγγ都是4维列向量，矩阵123,,,5,A αγγγ==矩
阵123,,,2B βγγγ=
=-，求2A B +.
解 12312312322,3,3,3,3,3,32,3,3,3A B αβγγγαγγγβγγγ+=
+=+
33331231233,,,23,,,3523227αγγγβγγγ=+⨯=⨯-⨯⨯=
10.
（10分）设A,B,C,D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A 是可逆矩阵. 如果分块
矩阵
11
0,,0E A B E A B P Q R CA E C D E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， （1）计算PQR,（2）证明矩阵Q 可逆的充分必要条件是1
D CA B --是可逆的.
解 （1）11
00E
A B E A B PQR CA E C D E --⎡⎤
-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
1110000A B A E A B D CA B D CA B E ---⎡⎤-⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
⎣⎦. （2）显然1P R ==，故
1100
A Q PQR A D CA
B D CA B
--==
=--，
因为矩阵A 是可逆矩阵，故0A ≠，因此0Q ≠的充分必要条件为10D CA B --≠，即矩阵Q 可逆的充分必要条件是1
D CA B --是可逆的.
7（10分）已知矩阵1
1
10
11233
51A a ⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦与矩阵1
1101023151B a a ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦等价，确定常数a 的取值范围.
解 11
11
1
10
11011230013
510
00r A a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 1
111
11010010230011510
00r B a a ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
. 因为矩阵A 与矩阵B 等价，故矩阵它们的秩相同，因此()()3R A R B ==. 因此常数a 满足的条件是1a ≠.
二. （10分）证明cos 11
2cos 1
cos 1
2cos 11
2cos n D n αα
αα
α
=
=.
证明 用归纳法证明.当n=1时，结论显然成立，假设结论对n-1阶行列式成立，即
()1cos 1n D n α-=-.对n 阶行列式按最后一行展开可得
()
1
11
cos 11
2cos 12cos 111
2cos 11
2cos 1
1n n n n n D D αα
ααα+---=+⨯
-
122cos n n D D α--=-，
将()()12cos 1,cos 2n n D n D n αα--=-=-代入上关系式整理可得
()()122cos 2cos cos 1cos 2n n n D D D n n αααα--=-=---
()()cos cos 2cos 2cos n n n n αααα=+---=， 根据归纳法原理可知结论成立.
三.（15分）设A,B,C 为4阶矩阵，满足1
1
32T
A BC A
B --+=，其中
01001
01100101101,000111101
0000111B C ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥
⎣⎦⎣⎦
， 求A .
解 由0100
0010100011000
B =
=-可知矩阵B 是可逆矩阵. 由已知有1132T A BC A B --+=，
故
()1113232T A B E BC B C ---=+=+.
由
[]010010001
00000010
010010001001000,00010010001001001
000000100010010B E ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=−−→⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥
⎣⎦⎣⎦
行 可知
1
0001100001000
010B -⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭
， 因此
122233
2223223222
232T
A B C -⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=+=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
. 四. （20分）设1012,2,211a αβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若,T T
A B αββα==，求解方程
22A x Bx γ=+.
解 因为
[]102120,2,10421021T A αβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦，
[]000021,2,12421121T B βα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-=-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
，
又()206330126063T T T A αβαβαβ⎡⎤
⎢⎥===⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
，所以方程组2
2A x Bx γ=+，即
123063101262063x x x a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
.
把η代入Ax b =可得a c =. 化增广矩阵(),A b 为阶梯形
06312251225
144102063106312101012610001r r
a a a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-−−→−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
当1a ≠-时, (),3,()2R A b R A ==,方程组无解；
当1a =-时, (),()2R A b R A ==，方程组有无穷多解，其通解是
14310213x k ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
，k R ∈其中.
五.(5分) 设 []12,,
,n A ααα=是n 阶矩阵，满足T A A E =且1A =，又
[]12,,,T
n c c c β=满足1T n βα=，证明[]121,,,,n B αααβ-=可逆，并求B .
证明 利用矩阵分块乘法的法则可得
[]11112
12212
221211
1,,
,T T T T n T T T T
T n n T T T T
n n n n A A αααααααα
αααααααααααααααα⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
，
条件T
A A E =即为0,,
1,.T
i
j i j i j αα≠⎧=⎨=⎩
[]11112
112212
222121
11
00
1,,
,0
1T T T T T T T T T T T T T T T n n n n A B ααααααβαβα
αααααβαβααβααααααβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
===⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
，
两边取行列式得1T A B =，因此矩阵B 是可逆的，再由1A =可知1B =.。