2019-2020学年度最新北师大版高中数学必修四学案：第三章 章末复习课

2019-2020学年度最新北师大版高中数学必修四学案：第三章章末复习课 1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式．对三角函数式进行化简、求值和证明．
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(α－β)＝________________________.
cos(α＋β)＝________________________.
sin(α＋β)＝________________________.
sin(α－β)＝________________________.
tan(α＋β)＝________________________.
tan(α－β)＝________________________.
2．二倍角公式
sin 2α＝________________________.
cos 2α＝__________________＝____________________＝________________________.
tan 2α＝____________________.
3．升幂公式
1＋cos 2α＝____________________.
1－cos 2α＝____________________.
4．降幂公式
sin x cos x＝______________，cos2x＝____________，
sin2x＝____________________.
5．和差角正切公式变形
tan α＋tan β＝________________________，
tan α－tan β＝________________________.
6．辅助角公式
y＝a sin ωx＋b cos ωx＝________________________.
类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用
例1 已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－1
3，求cos β的值．
反思与感悟 给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换
时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·⎝⎛⎭
⎫α2，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，β＝1
2
[(α＋β)－(α－β)]等．
跟踪训练1如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为31010，255.
(1)求tan(α－β)的值； (2)求α＋β的值．
类型二 整体换元思想在三角恒等变换中的应用
例2 求函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，x ∈R 的最值及取到最值时x 的值．
反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来．
跟踪训练2 求函数y ＝sin x ＋sin 2x －cos x (x ∈R)的值域．
类型三 转化与化归思想在三角恒等变换中的应用
例3 已知函数f (x )＝23sin(x －3π)sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋5π
2－1，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π
2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝6
5，x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．
反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．
(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质．
跟踪训练3 已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，17π12<x <7π
4，求sin 2x ＋2sin 2
x 1－tan x 的值．
类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用 例4 已知sin x ＋2cos y ＝2，求2sin x ＋cos y 的取值范围．
反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决．
跟踪训练4 已知关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)上有两个不相等的实数解α，β，求cos(α＋β)的值．
1．若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－5
13，则tan α2等于( )
A ．－5
B ．－
513 C.12
13
D ．5 2．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝5
9，则sin 2θ等于( )
A.223
B ．－
22
3
C.23
D ．－23
3．已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝1
2，则sin(α－β)＝________.
4．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π
12的值为________． 5．已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋3
4，x ∈R.
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在闭区间[－π4，π
4]上的最大值和最小值．
本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质．
答案精析
知识梳理
1．cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β
tan α＋tan β1－tan αtan β tan α－tan β
1＋tan αtan β
2．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2tan α
1－tan 2α
3．2cos 2α 2sin 2α 4.
sin 2x 2 1＋cos 2x 2 1－cos 2x
2
5．tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α－β)(1＋tan αtan β) 6.a 2＋b 2sin(ωx ＋θ) 题型探究
例1 解 ∵α是锐角，cos α＝45，
∴sin α＝35，tan α＝3
4.
∴tan β＝tan[α－(α－β)] ＝
tan α－tan (α－β)
1＋tan αtan (α－β)＝13
9.
∵β是锐角，∴cos β＝910
50
.
跟踪训练1 解 (1)由题可知，cos α＝31010，cos β＝25
5.
由于α，β为锐角，则sin α＝
1010，sin β＝55，故tan α＝13，tan β＝1
2
， 则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13－1
21＋16＝－1
7.
(2)因为tan(α＋β)＝13＋12
1－16＝1，
sin α＝
1010<22，sin β＝55<22
，
即0<α＋β<π2，故α＋β＝π
4.
例2 解 设sin x ＋cos x ＝t ， 则t ＝sin x ＋cos x ＝2
⎝⎛⎭
⎫22sin x ＋22cos x
＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4， ∴t ∈[－2，2]，
∴sin x ·cos x ＝(sin x ＋cos x )2－12＝t 2－1
2.
∵f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，
∴g (t )＝t ＋t 2－12＝1
2(t ＋1)2－1，t ∈[－2，2]．
当t ＝－1，即sin x ＋cos x ＝－1时，f (x )min ＝－1， 此时，由sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22， 解得x ＝2k π－π或x ＝2k π－π
2
，k ∈Z.
当t ＝2，即sin x ＋cos x ＝2时，f (x )max ＝2＋1
2，
此时，由2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4＝1， 解得x ＝2k π＋π
4
，k ∈Z.
综上，当x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，f (x )取得最小值－1；当x ＝2k π＋π
4，k ∈Z 时，
f (x )取得最大值2＋1
2
.
跟踪训练2 解 令sin x －cos x ＝t ， 则由t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π
4知，t ∈[－2，2]． 又sin 2x ＝1－(sin x －cos x )2＝1－t 2，
∴y ＝(sin x －cos x )＋sin 2x ＝t ＋1－t 2 ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54. 当t ＝12时，y max ＝54
；
当t ＝－2时，y min ＝－2－1. ∴函数的值域为⎣
⎡⎦⎤－2－1，5
4. 例3 解 (1)因为f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6， 所以f (x )的最小正周期为π. 又因为x ∈[0，π
2]，
所以2x ＋π6∈[π6，7π
6
]，
所以f (x )的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知， f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6. 又因为f (x 0)＝6
5，
所以sin ⎝
⎛⎭⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎡⎦⎤2π3，7π6， 所以cos ⎝
⎛⎭⎫2x 0＋π
6＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－4
5
， cos 2x 0＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝
⎛⎭⎫2x 0＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6·sin π
6 ＝3－4310
.
跟踪训练3 解 sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x
1－
sin x cos x
＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x
＝
sin 2x (1＋tan x )
1－tan x
＝sin 2x ·tan ⎝⎛⎭⎫
π4＋x . ∵
17π12<x <7π4，∴5π3<x ＋π
4
<2π， 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－4
5. ∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－43
. ∴cos x ＝cos ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin π4 ＝
22×⎝⎛⎭⎫35－45＝－210
. ∴sin x ＝sin ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4
＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4－sin π
4· cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－7210， sin 2x ＝7
25，tan x ＝7.
∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝－2875.
例4 解 设2sin x ＋cos y ＝a .
由⎩⎪⎨⎪⎧
sin x ＋2cos y ＝2，
2sin x ＋cos y ＝a ，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧ sin x ＝2a －2
3，cos y ＝4－a
3，
从而⎩⎪⎨
⎪⎧
－1≤2a －23≤1，－1≤4－a
3
≤1，解得1≤a ≤5
2
.
故2sin x ＋cos y 的取值范围是⎣⎡⎦
⎤1，52. 跟踪训练4 解 设x ＝cos θ，y ＝sin θ，则有⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2
＝1，
3x ＋y ＋a ＝0，
消去y ，并整理得4x 2＋23ax ＋a 2－1＝0.① 由已知得cos α，cos β是①的两个实数解， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪
⎧
cos α＋cos β＝－3
2a ，cos αcos β＝a 2
－1
4.
∴sin αsin β＝(3cos α＋a )(3cos β＋a ) ＝3cos αcos β＋3(cos α＋cos β)a ＋a 2 ＝a 2－3
4
.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝a 2－14－a 2－34＝12.
当堂训练 1．A 2.A 3.－
5972 4.172
50
5．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋3
4
＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋3
4
11 / 11＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34
＝14sin 2x －34
cos 2x ＝12sin(2x －π3
)． 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2
＝π. (2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减少的，在区间[－π12，π4
]上是增加的， f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12
， f (π4)＝14
， 所以函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12
.。