新人教A版高中数学上学期必修一、四检测题(含答案)

上学期
高一数学必修一、四检测题
一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. sin600°的值是（ ） A ．
2
1
B ．21-
C ．23
D ．23-
2. 已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且 // ，则αtan =（ ） A.
43 B.43- C.34 D.3
4
- 3. 把函数y =cos x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移4
π
个单位，则所得图形表示的函数的解析式为（ ）
A.y =2sin2x
B.y =－2sin2x
C.y =2cos(x +
4
π
) D.y =2cos(
4
2π+x ) 4. 函数sin y x =的定义域是[],a b ，值域是11,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，则b a -的最大值与最小值之和是（ ）
A.
43π B.2π C.83
π D.4π 5. ,a b 为实数，集合{},1,,0,:b M P a f x x a ⎧⎫
==→⎨⎬⎩⎭
表示把集合M 中的元素x 映射到集合P
中仍为x ，则a b +的值等于（ ）
A 、1-
B 、0
C 、1
D 、1±
6. 已知函数1)(0
,01),sin()(12=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=-a f x e x x x f x ，若π，则a 的所有可能值组成的集合为（ ）
A ．}2
2,1{-
B ． {1，
2
2
} C ．{－
2
2} D ．{1}
7. 如果a ·b =a ·c 且a ≠0,那么（ ）
A.b =c
B.b =λc
C.b ⊥c
D.b 、c 在a 方向上的投影相等
8. 在平面内有△ABC 和点O ，且OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC 的（ ） A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心
9. 已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ）
A ．6π
B ．3π
C ．32π
D ．6
5π 10. 若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如
下：
220x x x +--= A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5
11. 定义运算a ⊕b=⎩⎨⎧>≤)
()
(b a b b a a ，则函数f(x)=1⊕2x 的图象是（ ）。

12. 函数f (x )=b (1－x
212
+)+a sin x +3(a 、b 为常数),若f (x )在(0,+∞)上有最大值10,则f (x )在(－∞,0)上有（ ） A.最大值10
B.最小值－5
C.最小值－4
D.最大值
二.填空题 （每小题4分，共16分）
(,12),(4,5),(10,)OA k OB OB k ===13.已知平面向量
若A 、B 、C 三点共线，则实数k=_______________。

14. 已知f （x +y ）=f (x )·f (y )对任意的实数x 、y 都成立,且f (1)=2,
则f (1)f (0)+f (2)f (1)+f (3)
f (2)+…
()(
)20092008f f +
(
)
()
20102009f
f +
= ________. 15. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC
＝，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线BC 与地面所成角为θ，矩形周边上最高点离地面的距离为
()
f θ，则()
f θ
A
B
C
x
＝ 。

16.已知集合1
{|
3}2P x x =≤≤，函数22()log (22)f x ax x =-+的定义域为Q. （I ）若12
[,),(2,3]23
P Q P Q ==-，则实数a 的值为 ；
（II ）若P Q φ=，则实数a 的取值范围为 三.解答题 （共74分）
17. (本题满分12分)设b
a
x f x x ++-=+122)(（b a ,为实常数）．
（1） 当1==b a 时，证明：)(x f 不是奇函数； （2） 设)(x f 是奇函数，求a 与b 的值； （3） 求（2）中函数)(x f 的值域．
18、(本题满分12分)已知向量m →=（sinB ，1－cosB)，且与向量n →=（2，0）所成角为3
π
，其
中A, B, C 是△ABC 的内角. （1）求角Ｂ的大小； （2）求sinA+sinC 的取值范围.
19. (本题满分12分):],2
,0[),2
sin ,2
(cos ),2
3sin ,2
3(cos 求已知向量π
∈-==x x x b x x a
|;| )1(+∙及
).(),( ||2)()2(t g t g t t f 求的最小值为若+-∙=
20. (本题满分12分)
已知函数∈++++=a a x a x x f (|2|lg )1()(2R ，且)2-≠a .
（I ）若)(x f 能表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 的和，求)()(x h x g 和的解析式； （II ）若命题P ：函数)(x f 在区间),)1[(2+∞+a 上是增函数与命题Q ：.函数)(x g 是减函数有且
仅有一个是真命题求a 的取值范围；
21. (本题满分12分) 已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1S ，△ABC 的面积为2S ，AP pPB =，AQ qQC =， （注：1
sin 2
S ABC AB AC A ∆=
）
（1）求
pq
p q +；
（2）求12S S 的取值范围
22. (本题满分14分) 一条直角走廊宽1.5米，如图所示，现有一转动灵活的手推车，其平板面的矩形宽为1米，问要想顺利推过直角走廊，平板车的长度不能超过多少米？
上学期
高一数学必修一、四检测题
参考答案
一、选择题：（本大题共12个小题；每小题5分，共60分。

）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

） 13、11或－2； 14、4020； 15、)20)(6
sin(2)(π
θπ
θθ≤
≤+
=f ； 16、（1）3
2
a =- ;（2）(,4]a ∈-∞- 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（1）1212)(1++-=+x x x f ，51
1
212)1(2-=++-=f ，4
121
21
)1(=+-
=
-f ，所以)1()1(f f -≠-，)(x f 不
是奇函数；
（2）)(x f 是奇函数时，)()(x f x f -=-，即b
a b a x x x x ++--=++-++--112222对任意实数x 成立．
化简整理得0)2(2)42(2
)2(2=-+⋅-+⋅-b a ab b a x x
，这是关于x 的恒等式，所以
⎩⎨⎧=-=-042,02ab b a 所以⎩⎨⎧-=-=21b a （舍）或⎩⎨
⎧==2
1
b a ． （3）121212
212)(1++-=++-=+x x x x f ，因为02>x
，
所以112>+x
，11
21
0<+<
x ， 从而21)(21<<-x f ；所以函数)(x f 的值域为)2
1
,21(-．
18.（1）∵m →=（sinB ，1-cosB) ,与向量n →=（2，0）所成角为,3
π
∴
,3sin cos 1=-B
B
……………………………………………………………3分
∴tan
,3
,32,32032π
πππβ=+==∴<<=C A B B B 即又 …………………6分 （2）由（1）可得∴)3
sin(cos 23sin 21)3sin(sin sin sin π
π
+=+=
-+=+A A A A A C A ……………………………………8分 ∵3
0π
<<A ∴
3
23
3
π
π
π
<
+
<A ……………………………………………………………………10分 ∴⎥⎥⎦
⎤ ⎝⎛∈+∴⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+
1,23sin sin ,1,23)3sin(C A A π
当且仅当1sin sin ,6
=+=
=C A C A 时π
…………………………………12分
19. x x
x x x 2cos 2
sin
23sin 2cos 23
cos b a )1(=-=∙ x x
x x x cos 2)2
sin 23(sin )2cos 23(cos
|22=-++=+ (2)f (x )=cos 2x -4tcosx =2(cosx-t )2-1-2t 2 (0≤cosx ≤1)
⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤><=∴1)
t (0 2x -1-1)
(t 4t -10)
(t 1-g(t) 2
20.解：（1）),()(),()(),()()(x h x h x g x g x h x g x f =--=-+=
).()()(x h x g x f +-=-∴ ⎪⎩⎪⎨
⎧+++-=+-++++=+∴).
2lg()1()()(|,2|lg )1()()(2
2a x a x x h x g a x a x x h x g ………2分 解得.|2|lg )(,)1()(2
++=+=a x x h x a x g ………………4分
（2）|2|lg 4
)1()21()(22+++-++=a a a x x f 函数 在区间),)1[(2
+∞+a 上是增函数，
,21)1(2+-
≥+∴a a 解得.22
3
1-≠-≤-≥a a a 且或…………6分 又由函数x a x g )1()(+=是减函数，得.21,01-≠-<∴<+a a a 且…………8分 ∴命题P 为真的条件是：.22
3
1-≠-≤-≥a a a 且或 命题Q 为真的条件是：21-≠-<a a 且.
又∵命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，.2
3->∴a ……………………12分
21. 设AB a =，AC b =，1AP a λ=，2AQ b λ=，因为G 是△ABC 的重心，故
1()3AG a b =+，又111
()33
PG AG AP a b λ=-=-+，21PQ AQ AP b a λλ=-=-，因为PG 与PQ 共
线，所以PQ PG λ=，即11211[()]()033a b λλλλλ-++-=，又a 与b 不共线，所以111
()3
λλλ-=-及
21
3
λλ=，消去λ，得12123λλλλ+=. （ⅰ）
121111(1)(1)321p q λλ+=-+-=-=，故1pq p q
=+； （ⅱ）12111
()313λλλλ=
≠-，那么12||||sin ||||sin S AP AQ BAC S AB AC BAC ⋅⋅∠=⋅⋅∠
21122111
13931()24
λλλλλ===
---+，当P 与B 重合时，11λ=，当P 位于AB 中点时， 11
2
λ=，故11[,1]2
λ∈，故
12S S 41[,].92∈但因为P 与B 不能重合，故12S S 41[,).92
∈ 22. 如图，延长AB 交直角走廊于A 1、B 1，设∠CDE 1＝θ，则∠B 1A 1E 1＝θ，θ∈(0，π
2)，
∵CD ＝AB ＝A 1B 1－AA 1－BB 1，而A 1B 1＝1.5(1sin θ＋1
cos θ)，AA 1＝cot θ，BB 1＝tan θ，
∴CD ＝1.5(1sin θ＋1
cos θ)―cot θ―tan θ＝3(sin θ+cos θ)－22sin θcos θ
…6分
令sin θ＋cos θ＝t ，则t ∈(1，2]。

令f (t )＝3t －2t 2－1＝3t ＋1＋1
t 2－1………………………10分
则当t ＝2时，两项均取得最小值，即θ＝π
4时，f (t )min ＝32－2
即CD min ＝32－2，故平板车的长度不能超过32－2米。