2019-2020人教A版数学必修4模块综合测评

模块综合测评
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若cos α＝1
3，则cos 2α＝( ) A ．42
9 B ．－429 C ．79
D ．－79
D [cos 2α＝2cos 2
α－1＝2×
⎝ ⎛⎭
⎪⎫132
－1＝－79，故选D.] 2．已知扇形的圆心角为2π
3弧度，半径为2，则扇形的面积是( ) A ．8π3 B ．43 C ．2π
D ．4π3
D [扇形的面积S ＝12×2π3×22＝4π
3.]
3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝13，则cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋5π12的值等于( ) A ．1
3 B ．223 C ．－13
D ．－223 C [cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋5π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫α－π12＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝－13，故选C.] 4．设向量a ＝(2tan α，tan β)，向量b ＝(4，－3)，且a ＋b ＝0，则tan(α＋β)＝( )
A ．1
7 B ．－15 C ．15
D ．－17
A [∵a ＋b ＝(2tan α＋4，tan β－3)＝0，
∴⎩⎨⎧2tan α＋4＝0，tan β－3＝0， ∴tan α＝－2，tan β＝3， ∴tan(α＋β)＝
tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋31－（－2）×3
＝1
7.]
5．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，g (x )＝2cos x ，动直线x ＝t 与f (x )和g (x )的图象分别交于A ，B 两点，则|AB |的取值范围是( )
A ．[0，1]
B ．[0，2]
C ．[0，2]
D ．[1，2]
B [题意得|AB |＝|f (t )－g (t )|＝|sin t －cos t | ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4∈[0，2]．故选B.] 6．已知tan θ2＝23，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ的值为( )
A ．23
B ．－23
C ．32
D ．－32
A [1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ
＝
2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ2
2cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2
＝tan θ2＝23.]
7．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6x ＋π3(－2＜x ＜10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的
直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA
→等于( )
A ．－32
B ．－16
C ．16
D ．32
D [由f (x )＝0，解得x ＝4，即A (4，0)，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，根据对称性可知，A 是BC 的中点，所以OB
→＋OC →＝2OA →，所以(OB →＋
OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝2×42＝32.
]
8．已知将函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12的图象向左平移5π
12个单位长度后得到y ＝g (x )的图象，则g (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π12，π3上的值域为( )
A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－12，1
B ．⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－1，12
C ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，12
D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，32
B [因f (x )＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6，
故g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋5π12＋π6＝sin(2x ＋π) ＝－sin 2x ，因－π12≤x ≤π3，故－π6≤2x ≤2π3，则－1
2
≤sin 2x ≤1，所以－1≤g (x )≤1
2.]
9．已知f (x )＝1＋sin 2x
2
，若a ＝f (lg 5)，b ＝f (lg 0.2)，则下列正确的是( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a －b ＝0 C ．a ＋b ＝1
D ．a －b ＝1
C [∵b ＝f (lg 0.2)＝f (－lg 5)， ∴f (x )＋f (－x )＝
1＋sin 2x 2＋1＋sin （－2x ）
2
＝1， ∴a ＋b ＝f (lg 5)＋f (－lg 5)＝1.]
10．如图，设P 为△ABC 内一点，且AP →＝14AB →＋15AC →，BM →＝34BA →，C N →
＝
45CA →，则△PMB 的面积与△ABC 的面积之比等于( )
A ．1∶5
B ．2∶5
C ．3∶20
D ．7∶20
C [由题可知AM →＝14AB →，A N →＝15AC →，则AP →＝AM →＋A N →
，由平行四边形法则
可知N P →∥AB →，A N →∥MP →
，所以S △PMB S △ABC
＝|PM →|·|MB →||AB →|·|AC →|
＝15×
34＝3
20.] 11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
π12对x ∈R 恒成立，则ω的最小值为( )
A ．2
B ．4
C ．10
D ．16
B [函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则：sin φ＝12，结合|φ|＜π2可得：φ＝π6，由：f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π12对x ∈R 恒成立可得：π12×ω＋π6＝2k π＋π
2(k ∈Z )，解得：ω＝24k ＋4(k ∈Z )，令k ＝0，可得：ωmin ＝4.]
12．在△ABC 中，A ，B ，C 是其三个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
π
4－B 2＋cos
2B ，当f (B )－m ＜2恒成立时，实数m 的取值范围是( )
A ．m ＜1
B ．m ＞－3
C ．m ＜3
D ．m ＞1
D [f (B )＝4sin B cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
π
4－B 2＋cos 2B ＝4sin B ·1＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
π2－B 2＋cos 2B
＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B ) ＝2sin B ＋1.
∵f (B )－m ＜2恒成立， ∴2sin B ＋1－m ＜2恒成立，
即m ＞2sin B －1恒成立． ∵0＜B ＜π， ∴0＜sin B ≤1，
∴－1＜2sin B －1≤1，故m ＞1.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知OA →＝(－2，1)，OB →＝(0，2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐
标是 ．
(－2，6) [设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，
BC
→＝(x ，y －2)，AB →＝(2，1)． 由AC
→∥OB →，BC →⊥AB →，得 ⎩⎨⎧2（x ＋2）＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝6， ∴点C 的坐标为(－2，6)．]
14．将函数y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上的所有点向右平移π6个单位，再将图象上
所有点的横坐标变为原来的1
2倍(纵坐标不变)，则所得的图象的函数解析式为 ．
y ＝sin 4x [y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上的所有点向右平移π6个单位得y ＝
sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝sin 2x ， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的1
2倍(纵坐标不变)得y ＝sin 4x .] 15．设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上一点，且cos α＝x
5，则tan 2α＝ ．
24
7 [因为α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，所以x ＜0， 因为cos α＝x
5＝
x
x 2
＋16
，所以x ＝－3，
所以tan α＝y x ＝－4
3， 所以tan 2α＝
2tan α1－tan 2α＝24
7
.]
16．已知向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，若OA →与OB →的夹角为60°
，且OC →⊥AB →
，则实数m n 的值为 ．
16
[OA →·OB →＝3×2×cos 60°＝3，OC →＝mOA →＋nOB →，OC →⊥AB →， ∴(mOA →＋nOB →)·AB →＝(mOA →＋nOB →)·(OB →－OA →)＝(m －n )OA →·OB
→－mOA →2＋nOB →2
＝0，
∴3(m －n )－9m ＋4n ＝0，∴m n ＝16.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4
5，－35.
(1)求sin α的值；
(2)求式子sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2－αsin （α＋π）·tan （α－π）cos （3π－α）的值．
[解] (1)∵|OP |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－352
＝1， ∴点P 在单位圆上，由正弦函数定义得sin α＝－3
5. (2)原式＝
cos α－sin α·tan α
－cos α
＝sin αsin α·
cos α＝1cos α. 由(1)知，P 在单位圆上，
∴由余弦函数定义得cos α＝45，∴原式＝5
4.
18．(本小题满分12分)(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝4
3，cos(α
＋β)＝－5
5.
(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．
[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin α
cos α， 所以sin α＝4
3 cos α.
因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝9
25， 因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－7
25.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝25
5， 因此tan(α＋β)＝－2，
因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－
24
7， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝
tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－2
11.
19．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB
→＝2AD →，AC →＝5AE →.
(1)若BF
→＝－34AB →＋110AC →，求证：点F 为DE 的中点；
(2)在(1)的条件下，求BA →·EF →的值．
[解] (1)证明：因为BF
→＝－34AB →＋110AC →， 所以AF
→＝BF →－BA →＝14AB →＋110
AC →，
又AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，所以AF →＝12AD →＋12AE →
，所以F 为DE 的中点． (2)由(1)可得EF
→＝12ED →＝12(AD →－AE →)，
因为AB
→＝2AD →，AC →＝5AE →， 所以EF
→＝14AB →－110AC →，
所以BA →·EF →＝－AB →·
⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →－110AC → ＝－14AB 2→＋110
AB →·AC →
＝－14×4＋110×2×6×cos 60°＝－25. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝
cos 4x －12cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π2＋2x ＋cos 2x －sin 2
x .
(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；
(2)在所给坐标系中画出函数在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3
8π，118π的图象(只作图不写过程)．
[解] f (x )＝1－2sin 22x －1
－2sin 2x ＋cos 2x
＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4.
(1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π
2＝π，
令2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，则2k π＋π4≤2x ≤2k π＋5π
4，k ∈Z ，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π
8，k ∈Z ，
所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．
(2)图象如下：
21．(本小题满分12分)如图，已知OP →＝(2，1)，OA →＝(1，7)，OB →＝(5，1)，
设Z 是直线OP 上的一动点．
(1)求使Z A →·Z B →取最小值时的O Z →
；
(2)对(1)中求出的点Z ，求cos ∠A Z B 的值． [解] (1)∵Z 是直线OP 上的一点， ∴O Z →∥OP
→. 设实数t ，使O Z →＝tOP →， ∴O Z →＝t (2，1)＝(2t ，t )， 则Z A →＝OA →－O Z →＝(1，7)－(2t ，t ) ＝(1－2t ，7－t )，
Z B →＝OB →－O Z →＝(5，1)－(2t ，t ) ＝(5－2t ，1－t )，
∴Z A →·Z B →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t ) ＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8. 当t ＝2时，Z A →·Z B →有最小值－8， 此时O Z →＝(2t ，t )＝(4，2)．
(2)当t ＝2时，Z A →＝(1－2t ，7－t )＝(－3，5)，
|Z A →|＝34，Z B →＝(5－2t ，1－t )＝(1，－1)，|Z B →
|＝ 2. 故cos ∠A Z B ＝Z A →·Z B
→|Z A →||Z B →|＝－834×2
＝－
417
＝－417
17. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝
3tan ωx ＋1
tan 2ωx ＋1
(ω＞0)．
(1)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π2＝－f (x )，求f (x )的单调增区间；
(2)若f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2π3＋x (0＜ω＜2)，求ω的值．
[解] 原式＝3sin ωx cos ωx ＋1
⎝ ⎛⎭⎪⎫
sin ωx cos ωx 2＋1
＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx
sin 2ωx ＋cos 2ωx
＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝3
2sin 2ωx ＋1＋cos 2ωx 2
＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12 ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12.
(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π2＝－f (x )，
所以f (x ＋π)＝f (x )， 所以T ＝π，2π
|2ω|＝π. 又ω＞0，所以ω＝1.
所以f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，又因当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2时f (x )单调递增，
即f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤k π－π3，k π＋π6k ∈Z .
(2)因为f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3＋x ， 所以函数f (x )关于直线x ＝π3对称，
所以sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3ω＋π6＝±1， 所以ω＝12＋3k 2(k ∈Z )．
又ω∈(0，2)，
所以k ＝0，ω＝12.。