函数的单调性和极值PPT课件

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定理2 拉格朗日中值定 y
y f (x)
理
满足:
(1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导
o a
bx
至少存在一点
使 f ( ) f (b) f (a).
证: 问题转化为证 f() f(bb) af(a) 0
ba
作辅助函数 (x) f((x)) f (b) f (a) x
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
y
不存在的点.
x1 , x4 为极大点
x 2 , x5 为极小点
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4 x5 b x
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定理 5 (极值第一判别法)
设函数 f (x)在 x0 的某邻域内连续, 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时,
在其中当
时,
(1)
则称 为 的极大点 ,
称
为函数的极大值 ;
(2)
则称 为 的极小点 ,
称
为函数的极小值 .
极大点与极小点统称为极值点 .
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例如
y
f (x) 2x3 9x2 12x 3
2
为极大点 ,
是极大值 1
为极小点 ,
是极小值 o 1 2 x
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
一、函数单调性的判别方法
• 罗尔定理 • 拉格郎日定理 • 函数单调性的判别方法
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定理1 罗尔（ Rolle ）定
理
满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续
(2) 在区间 (a , b) 内可导
(3) f ( a ) = f ( b ) 在( a , b ) 内至少存在一点
使 f ( ) 0.
在开区间 I 内可导, 若
( f (x) 0), 则
证: 无妨设
在 I 内单调递增(递减) . 任取
由拉格朗日中值定理得
0
故
这说明
在 I 内单调递增.
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例2. 确定函数
的单调区间.
解: f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2)
令 f (x) 0 , 得 x 1, x 2
自证: arctan x arccot x , x (, )
2
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例6. 证明不等式 x ln(1 x) x (x 0). 1 x
证法1: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
即 因为 故
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二、函数的极值
定义:
例14. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩 问矩形截面
的形高梁h ,和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?
解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为
1 6
b (d
2
b2
),
b (0,d)
令
w
1 6
(d
2
3b2
)
得 从而有
b
1 3
d
h
d 2 b2
2 3
d
dh b
即
d : h :b 3: 2 :1
1 4
1
2
5 2
f
(
x)
6x2 18x 12 6(x 1)(x 2), 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2),
1 4
x
0
0
x
5 2
f (x) x(2x2 9x 12)
x1 0, x2 1, x3 2
(9)2 4 212 81 96 0
故函数在 x
2 x02取 最9 x小值120;0在
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例8. 求函数
的极值 .
解: 1) 求导数
f (x) 6x (x2 1)2, f (x) 6(x2 1)(5x2 1)
2) 求驻点
令 f (x) 0, 得驻点 x1 1, x2 0, x3 1
3) 判别
因 f (0) 6 0, 故
为极小值 ;
又 f (1) f (1) 0, 故需用第一判别法判别.
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求函数极值的一般步骤：
若函数 定理6失效，应运用定理5，其步骤为：
f / (x0) 0且f // (x0) 0或f / (x0) 0但f // (x0)不存在
1、确定定义域并找出所给函数的驻点和导数不存在的点； 2、考察上述点两侧一阶导数的符号，确定极值点； 3、求出极值点处函数值，得到极值。
思考与练习
1.
设 lim
xa
f
(x) f (a) (x a)2
1,
则在点
a
处(
B
).
(A) f (x) 的导数存在 , 且 f (a) 0；
(B) f (x) 取得极大值 ; (C) f (x) 取得极小值;
(D) f (x)的导数不存在.
(L. P500 题4)
提示: 利用极限的保号性 .
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(1) f (x) “左正右负” ,则 f (x)在 x0 取极大值. (2) f (x) “左负右正” ,
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例7. 求函数
的极值 .
解: 1) 求导数
f
(x)
2
x3
(x
1)
2 3
x
1 3
5 3
x
2 5
3x
2) 求极值可疑点
令
f
(x)
0
,
得
x1
2 5
;
令 f (x) , 得 x2 0
x
1及
5 2
取最大值
5.
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例13. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C Km距, AAC处⊥2A0B ,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条
公路,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货
物从B 运到工厂C 的运费最省, 问 A x D
由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个, 故所求
结果就是最好的选择 .
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例16. 设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上 , 受力
作用开始移动, 设摩擦系数
问力 与水平面夹角
为多少时才可使力 的大小最小?
解: 克服摩擦的水平分力
ba
显然 , 在 [ a , b ] 上连续 ,在 ( a , b ) 内可导, 且
(a) b f (a) a f (b) (b), 由罗尔定理知至少存在一点
思路: 利用逆b 向a 思维找即出定一理个结满论足成罗立尔定. 证理毕条件的函数
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推论1: 若函数 在区间 I 上满足
则
F
正压力
P
F cos (5g F sin)
即
F 5 g , cos sin
[0,
2
]
令
() cos sin
则问题转化为求 () 的最大值问题 .
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解:
即
F 5 g , cos sin
[0,
2
]
令 () cos sin
则问题转化为求()的最大值问题 .
柯西(1789 –
1857) 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本《, 柯 西全集》共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 对数学的影 响广泛而深远 .他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展.
在 I 上必为常数.
推论2：如果函数 f (x)和g(x) 在区间(a,b)内可导，
且对于(a,b)中任意x 有f / (x) g/ (x) 则在(a,b)
内f (x)与g(x)仅相差一个常数 即f (x) g(x) c
， ，
其中c为常数。
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函数单调性的判定法
定理 3. 设函数
B
D 点应如何选取?
20
100
C
解: 设AD x (km), 则 CD 202 x2 , 总运费
y k (
5x 400
x
2(
k
3为),某一y常 数5k)(400400x2
)
3 2
令
得
又
所以 x 15 为唯一
极小点 , 从而为最小点 , 故 AD =的15 km 时运费最省 .
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第28页/ห้องสมุดไป่ตู้50页
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三、最大值与最小值问题
在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点
则其最值只能
(2) 最大值
M max
最小值
f (a), f (b)
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特别:
•当 在
内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大 (小) 值 , 则也是最大(小) 值 .
o
x
y
y x3
o
x
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确定函数的单调性的一般步骤：
1、确定函数的定义域；
2、求出使函数
并以这些点为分f /界(x)点 0，和将f / (定x)不义存域在分的点成，若
干
个子区间；
3、确定f / (x) 在各个子区间的符号，
从而判f断(x)出
的单调性。
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内容小结
1. 连续函数的极值
(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点
(2) 第一充分条件
过 由正变负
为极大值
过 由负变正
为极小值
(3) 第二充分条件
为极大值
为极小值
(4) 判别法的推广
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2. 连续函数的最值
最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 .
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例如 , 例2中
y
f (x) 24 x (5x2 3), f (1) 0
所以
不是极值点 .
1
1x
说明: 极值的判别法( 定理5 ~ 定理7 ) 都是充分的.
当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如:
f (0) 2为极大值 , 但不满足定理1
~ 定理3 的条件.
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例4. 证明方程
有且仅有一个小于1 的
正实根 .
证: 1) 存在性 .
设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 ,且
由介值定理知存在 x0 (0,1), 使
f (x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
假设另有
f (x)在以
F
P
() cos sin
令
解得
而 () 0,
因而 F 取最小值 .
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例17. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边
高观于察者的眼睛1.8 m ,问观察者在距墙多远处看图才最
清楚(视角 最大) ?
1.4
解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则
1.8
arctan1.4 1.8 arctan1.8,
•当 在
上单调时,最值必在端点处达到.
• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大 值点或最小值点 .
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例11. 求函 上数的最大值和最小值 .
在闭区间
解: 显然
且
(2x3 9x2 12x),
1 4
x
0
2x3 9x2 12x,
0
x
5 2
x (,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
f (x)
0 0
f (x)
2
1
y
故
的单调增区间为 (, 1), (2, );
2 1
的单调减区间为(1, 2).
o 12 x
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说明: 1) 单调区间的分界点除导数为零的点外,
也可是导数不存在的点.
例如,
y y 3 x2
2) 如果函数在某点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
但
矛盾, 故假设不真!
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例5. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
上成立.
经验: 欲证 x I 时 f (x) C0, 只需证在 I 上 f (x) 0,
且 x0 I , 使 f (x0 ) C0.
y
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1
1x
定理7 (判别法的推
广)
数,且
则: 1) 当n 为偶数时,
为极值点 , 且 是极小点 ; 是极大点 .
2) 当n 为奇数时, 不是极值点 .
f (n) (x0 ) 0,
f
(x)
f
(x0 )
f (x0)(x x0)
f
(
n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
o((x x0 )n )
y
y f (x)
o a
bx
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注意:
1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
y
o 1x
y
y
1 o 1 x
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o 1x
2) 定理条件只是充分 本定理可推广为 的.
在 ( a , b ) 内可导, 且
lim f (x) lim f (x)
xa
xb
在( a , b ) 内至少存在一点 使
x x (0, )
x
x
3.2 x2 3.22
1.8 x2 1.82
(
x
1.4(x2 5.76) 2 3.22 )(x2 1.82
)
令 0, 得驻点 x 2.4(0, )
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 , 驻点又
唯一, 因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .
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3) 列表判别
x (, 0) 0 (0 , 52)
2 5
(52 , )
f (x)
0
f (x)
0
0.33
是极大点，其极大值为
是极小点，其极小值为
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定理6 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且
则 在点 则 在点
取极大值 ; 取极小值 .
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求函数极值的一般步骤：
• 确定定义域，并求出所给函数的全部驻点 • 考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点 • 求出极值点处的函数值，得到极值