基本不等式
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§3.4基本不等式: 3.4基本不等式 基本不等式:
a+b ab ≤ 2
选自人教版高中数学必修5 3.4节第1课时
火眼金睛
请尽可能多地找 出图形中的相等 关系和不等关系
注意图形的特殊情况
七嘴八舌
1.大正方形的面积等于四个全等的直角三角 形与小正方形的面积的和 2.大正方形的面积大于或等于四个全等的直 . 角三角形的面积 3.大正方形的面积大于小正方形的面积 4.直角三角形两条直角边的长之和大于斜边 的长 等等
知识小结： 知识小结：
代数背景） （代数背景）
∀a, b ∈ R, 2 2 a + b ≥ 2ab
基本不等式
a +b ab ≤ (a > 0, b > 0) 2
当且仅当 a = b 时， 等号成立. 等号成立. 基本不等式 的初步应用 几何背景） （几何背景） 圆的半弦长小于 或等于圆的半径长
课后作业： 课后作业：
∵ Rt△ACD ∽ Rt△DCB ∴ CD2 = AC · BC ∴ CD= ab
基本不等式 的几何解释
根据圆的半弦长小于 或等于圆的半径长
a+b ab ≤ (a > 0, b > 0) 2 当且仅当a = b ，等号成立
a
b
牛刀小试： 牛刀小试：
1 1、若 x > 0, 比较 x + 与2的大小关系. x
1、试着用其他方法证明基本不等式. 试着用其他方法证明基本不等式. 预习本节课的两道例题. 2、预习本节课的两道例题 3、写一篇小论文 要求四人为一组， 要求四人为一组，论文 内容要求尽可能全面地 探究赵爽弦图中包含的 相等关系和不等关系， 相等关系和不等关系， 并加以证明④是成立的，当且仅当______时 显然④是成立的，当且仅当______时，等号成立 ______
基本不等式的几何解释
如图，AB是圆的直径 点C是直径上的一点， AC=a, BC=b.过点C做 垂直于AB的弦DE， 连接AD、BD.你能利 用这个图形得出基本 不等式的几何解释吗？
a
b
a
a 2 + b2
b
正方形ABCD的面积是 a + b
2
2
四个直角三角形的面积之和是 2ab
对任意实数
2
a, b,
2
a + b ≥ 2ab
当且仅当 a = b 时，等号成立.
证明：
因为a 2
+ b − 2ab = (a − b)
2
2
显然( a − b) 2 ≥ 0 当且仅当 a
= b ，等号成立.
a +b 下面证明不等式： 下面证明不等式： ab ≤ (a > 0, b > 0) 2
证明： 证明：
要证 只要证 要证② 要证②，只要证
a +b ≥ 2 ab
① ② ③ ④
a +b ≥
2 ab _____
2 ab a + b − _____ ≥ 0 a b (___− ___) ≥ 0
2
要证③，只要证 要证③
≥ 2ab.
所以对 ∀a, b ∈ R, a2 + b2
不等式 a + b ≥ 2 ab
2 2
等号成立） （当且仅当 a = b 时，等号成立）
特别地，如果a>0、b>0,用 特别地，如果a>0、b>0,用 a、 b 分别 a>0 代替a 代替a、b得：
（ a）+（ b） ≥ 2 a b
2 2
即
a + b ≥ 2 ab
b
谢谢！请评委批评指正！ 谢谢！请评委批评指正！
a +b ab ≤ (a > 0, b > 0) 2
写成
基本不等式
a +b (a > 0, b > 0) ab ≤ 2
等号成立。 当且仅当 a = b 时，等号成立。
注意：
不等式的适用范围 ①不等式的适用范围。 称为正数a 几何平均数, ② ab 称为正数a，b的几何平均数,
a+b 称为正数a 算术平均数. 称为正数a，b的算术平均数. 2
变式1 变式1 如果把 x > 0去掉，上式是否 依旧成立？ 为什么？
1 变式2 变式2 比较x + 2 与2的大小关系？ x
2
1 与2的大小关系？ 变式3 变式3 比较 x + 1 + 2 x +1
2
1 x 2、若0 < x < 1，求证： (1 − x ) ≤ 4
3、求证：在周长为L的矩形中，正方 形的面积最大.
a+b ab ≤ 2
选自人教版高中数学必修5 3.4节第1课时
火眼金睛
请尽可能多地找 出图形中的相等 关系和不等关系
注意图形的特殊情况
七嘴八舌
1.大正方形的面积等于四个全等的直角三角 形与小正方形的面积的和 2.大正方形的面积大于或等于四个全等的直 . 角三角形的面积 3.大正方形的面积大于小正方形的面积 4.直角三角形两条直角边的长之和大于斜边 的长 等等
知识小结： 知识小结：
代数背景） （代数背景）
∀a, b ∈ R, 2 2 a + b ≥ 2ab
基本不等式
a +b ab ≤ (a > 0, b > 0) 2
当且仅当 a = b 时， 等号成立. 等号成立. 基本不等式 的初步应用 几何背景） （几何背景） 圆的半弦长小于 或等于圆的半径长
课后作业： 课后作业：
∵ Rt△ACD ∽ Rt△DCB ∴ CD2 = AC · BC ∴ CD= ab
基本不等式 的几何解释
根据圆的半弦长小于 或等于圆的半径长
a+b ab ≤ (a > 0, b > 0) 2 当且仅当a = b ，等号成立
a
b
牛刀小试： 牛刀小试：
1 1、若 x > 0, 比较 x + 与2的大小关系. x
1、试着用其他方法证明基本不等式. 试着用其他方法证明基本不等式. 预习本节课的两道例题. 2、预习本节课的两道例题 3、写一篇小论文 要求四人为一组， 要求四人为一组，论文 内容要求尽可能全面地 探究赵爽弦图中包含的 相等关系和不等关系， 相等关系和不等关系， 并加以证明④是成立的，当且仅当______时 显然④是成立的，当且仅当______时，等号成立 ______
基本不等式的几何解释
如图，AB是圆的直径 点C是直径上的一点， AC=a, BC=b.过点C做 垂直于AB的弦DE， 连接AD、BD.你能利 用这个图形得出基本 不等式的几何解释吗？
a
b
a
a 2 + b2
b
正方形ABCD的面积是 a + b
2
2
四个直角三角形的面积之和是 2ab
对任意实数
2
a, b,
2
a + b ≥ 2ab
当且仅当 a = b 时，等号成立.
证明：
因为a 2
+ b − 2ab = (a − b)
2
2
显然( a − b) 2 ≥ 0 当且仅当 a
= b ，等号成立.
a +b 下面证明不等式： 下面证明不等式： ab ≤ (a > 0, b > 0) 2
证明： 证明：
要证 只要证 要证② 要证②，只要证
a +b ≥ 2 ab
① ② ③ ④
a +b ≥
2 ab _____
2 ab a + b − _____ ≥ 0 a b (___− ___) ≥ 0
2
要证③，只要证 要证③
≥ 2ab.
所以对 ∀a, b ∈ R, a2 + b2
不等式 a + b ≥ 2 ab
2 2
等号成立） （当且仅当 a = b 时，等号成立）
特别地，如果a>0、b>0,用 特别地，如果a>0、b>0,用 a、 b 分别 a>0 代替a 代替a、b得：
（ a）+（ b） ≥ 2 a b
2 2
即
a + b ≥ 2 ab
b
谢谢！请评委批评指正！ 谢谢！请评委批评指正！
a +b ab ≤ (a > 0, b > 0) 2
写成
基本不等式
a +b (a > 0, b > 0) ab ≤ 2
等号成立。 当且仅当 a = b 时，等号成立。
注意：
不等式的适用范围 ①不等式的适用范围。 称为正数a 几何平均数, ② ab 称为正数a，b的几何平均数,
a+b 称为正数a 算术平均数. 称为正数a，b的算术平均数. 2
变式1 变式1 如果把 x > 0去掉，上式是否 依旧成立？ 为什么？
1 变式2 变式2 比较x + 2 与2的大小关系？ x
2
1 与2的大小关系？ 变式3 变式3 比较 x + 1 + 2 x +1
2
1 x 2、若0 < x < 1，求证： (1 − x ) ≤ 4
3、求证：在周长为L的矩形中，正方 形的面积最大.