高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入本章概览素材

第3章 数系的扩充与复数的引入
本章概览
内容提要
本章的主要内容是复数的有关概念，复数代数形式的运算以及数系的扩充等.
1.数集的扩充过程是
自然数集（N ）→整数集（Z ）→有理数集（Q ）→实数集（R ）→复数集（C ）.
数集的每一次扩充，都使数集本身能适合更多种代数运算.
2.形如a+bi 的数叫做复数，其中a 、b ∈R ，i 2=-1.当b=0时为实数，当b ≠0时为虚数，
当b ≠0且a=0时为纯虚数. 全体复数所组成的集合称为复数集，记为C ，即C={z |z =a+bi,a,b ∈R }.
3.任一复数z =a+bi （a 、b ∈R ）和复平面内的一点Z (a,b)对应，且是一一对应；任一复数z =a+bi （a 、b ∈R )与它对应的点所在平面内的一个向量对应（O 是坐标原点），且也是一一对应.
4.引进i 2=-1后，复数的四则运算就可按实数的运算法则同样地进行，并且也满足关于加
法、减法的运算律.复数的加、减、乘、除（除数不为0）运算的结果仍是复数.
5.本章中的常用结论
（1）共轭复数的常用性质：
设z =a+bi （a 、b ∈R ），则
①z +z =2a;②z -z =2bi （纯虚数或零）；③（z ）=z .
（2）共轭复数的代数运算： ①2121z z z z +=+(可推广到任意有限个复数相加的情形)；②2121z z z z -=-；③2121z z z z ⋅=⋅（可推广到任意有限个复数相乘的情形）；④n n )z (z =；⑤2
121z z )z z (
=（z 2≠0）.
（3）共轭复数与模的关系： z z =|z |2=|z |2.
(4)判断一个复数是纯虚数，可以从下面几个方面去思考：
①实部为0且虚部不为0，则z 为纯虚数；②z +z =0且z ≠0,则z 为纯虚数；③若z 为虚数，则z -z 为纯虚数；④若z ≠0且|z -a|=|z +a|(a ∈R +
)，则z 为纯虚数；⑤若z 为纯虚数，则可得z =ki （k ∈R 且k ≠0）.
（5）判断一个复数是实数，可从如下几个方面思考：
①z 的虚部为0，则z ∈R ;②z =z ⇔z ∈R ;③z +z ∈R ;④z z =|z |2
∈R ;⑤z 1、z 2为纯虚数，则z 1·z 2∈R .
学法指导
我们把一个数集连同相应的运算及结构叫作一个数系.本章内容——复数的引入实现了
中学阶段数系的最后一次扩充.
数系扩充的过程体现了数学发现和创造过程，同时体现了数学发生发展的客观需求和背景，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充.在本模块中，将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.
在有关复数内容的学习过程中，切实注意：
1.复数的定义；
2.复数相等的概念及其充要条件；
3.复数的运算法则.。