高三数学一轮复习第3章三角函数第2课时同角三角函数基本关系与诱导公式精品课件文北师大.ppt

方法二(同除转化)： (1)原式＝5ttaannαα－＋42＝5×2－2＋4 2＝－16； (2)原式＝sin2α＋2sinαcosα＝sin2sαin＋2α2＋sincoαsc2αos α ＝tant2aαn＋2α＋2ta1n α＝85.
【变式训练】
1.若3sin
α＋cos
α＝0，则
1 cos2 α＋sin 2α
∴2sin
αcos α－cos 1－tan α
α＋1＝cos
α2sin αcos α－cos cos α－sin α
α＋1
＝
5545－ －
55＋1＝ 5 5
55－95.
1．在利用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简、证明时：
(1)如果函数种类比较多，可考虑切化弦；
(2)要特别注意平方关系的使用，如“1”的代换技巧和消去等．
解析： ∵sin(3π＋α)＝2sin32π＋α， ∴－sin α＝－2cos α， ∴sin α＝2cos α，即tan α＝2. 方法一(直接代入)： (1)原式＝5×2c2ocsoαs－α＋4c2ocsoαs α＝－16； (2)原式＝sins2iαn＋2α2＋sicnoαsc2oαs α＝ssiinn22αα＋＋14ssiinn22αα＝85.
π 2
±α是高考的热
点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题；主要是
诱导公式在三角式求值、化简的过程中与同角三角函数的关系式、和差
角公式及倍角公式的综合应用，一般不单独命题，在考查基本运算的同
时，注重考查等价转化的思想方法．
(2010·全国卷Ⅰ)记cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝( )
2．诱导公式的记忆
记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角“
kπ 2
±α，k∈
Z”的三角函数值：当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶
数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时，原函
数值的符号．
3．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本 步骤是：
从近两年的高考试题来看，诱导公式中的π±α，
可知cos A<0，∴A为钝角，
∴△ABC是钝角三角形．
(3)∵(sin A－cos A)2 ＝1－2sin A·cos A ＝1＋2245＝4295， 又sin A>0，cos A<0，∴sin A－cos A>0， ∴sin A－cos A＝75 ② ∴由①，②可得sin A＝45，cos A＝－35，
对于sin xcos x，sin x＋cos x，sin x－cos x借助平方关系可知一求 二，如(sin x±cos x)2＝1±2sin xcos x；若令sin x＋cos x＝t，则sin xcos x＝ t2－2 1，(sin α－cos α)2＝2－t2等．
已知在△ABC中，sin A＋cos A＝15，
答案： B
4．如果cos α＝15，且α是第四象限的角，那么cosα＋π2＝______.
解析： α是第四象限的角且cos α＝15，
∴sin α＝－ 1－cos2α＝－2 5 6，
于是cosα＋2π＝－sin
α＝2
5
6 .
答案：
26 5
5．tan 300°＋sin 450°＝________.
1－k2 A. k
B．－
1－k2 k
k C. 1－k2
D．－
k 1－k2
【全解全析】 方法一：∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k.
∴sin 80°＝ 1－k2.
∴tan 80°＝
1－k k2.∴tan 100°＝－tan 80°＝－
1－k2 k.
方法二：由cos(－80°)＝k，得cos 80°＝k＞0，∴0＜k＜1.
1．(2009·全国卷Ⅰ)sin 585°的值为( )
A．－
2 2
2 B. 2
C．－
3 2
3 D. 2
解析：
sin
585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－
2 2.
答案： A
2．已知sin(π－α)＝13，α∈π2，π，则tan α＝(
)
A．－
2 4
B．－23 2
22 C. 3
2．使用诱导公式要注意三角函数值在各个象限的符号，如果出现 kπ±α的形式时，需要对k的值进行分类讨论，以确定三角函数值的符 号．
化简：
(1)cos θ[ccoossππ＋－θθ－1]＋
cosθ－2π sinθ－32πcosθ－π－sin32π＋θ (2)ssiinn[kkπ＋－1απc＋osα[]kc－os1kππ－ ＋αα]，k∈Z. 解析： (1)原式＝cos θ－－ccoossθθ－1＋
D.3
解析： cos(π＋x)＝－cos x＝35， ∴cos x＝－35＜0.∴x∈π，32π. 此时sin x＝－45，∴tan x＝43.故选D.
答案： D
3．已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx－β)，其中α、β、a、b均为非零 实数，若f(2 010)＝－1，则f(2 011)等于( )
【变式训练】 2.求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.
解析： 原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋ tan 945°
＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝ 23× 23＋12×12＋1＝2.
α＝
sin cos
α α
的逆用也很重要，若分式的分子、分母是关于
同角的弦函数的齐次式的形式，可将分子、分母同除以弦函数的最高次
数，从而转化成正切函数的形式来求值．
已知sin(3π＋α)＝2sin32π＋α，求下列各式的值： (1)5ssiinnαα－＋42ccoossαα；(2)sin2α＋sin 2α.
cos θ cos θ－cos θ＋cos θ
＝1＋c1os θ＋1－c1os θ＝sin22θ.
(2)当k为偶数时，记k＝2n(n∈Z)， 原式＝ssiinn[22nnπ＋－1απc＋osα[]2cno－s21nππ－＋αα] ＝sins－inαπ＋coαs－cosπ－α α＝－－sinsiαnα－cocsosαα＝－1； 当k为奇数时，记k＝2n＋1(n∈Z)， 原式＝ssiinn[[22nn＋ ＋11＋π－1απ＋]coαs][co2sn[＋21n－ ＋11ππ－ ＋αα]] ＝ssiinnαπc－osαπc＋osαα＝sinsiαnα－cocsosαα＝－1. 综上，原式＝－1.
正切
口诀
函数名不变 符号看象限
五 π2－α
六 π2＋α
cosα
cosα
sinα －思考探究】 “符号看象限”中，符号是否与α的大小有关？
提示： 无关．只是把α从形式上看作锐角，从而2kπ＋α，π＋α， －α，π－α，π2－α，π2＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限的角．
的值为
()
10
5
A. 3
B.3
2 C.3
D．－2
解析：
3sin
α＋cos
α＝0，则tan
α＝－
1 3
，
cos2
1 α＋sin
2α
＝
sin2 α＋cos2α cos2 α＋2sin αcos
α＝1ta＋n22αta＋n 1α＝1＋－213×2＋－113＝130.
答案： A
1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判 断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角 函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．
2 D. 4
解析： 由题可得sin α＝13，cos α＝－2 3 2，
∴tan α＝－ 42，选A.
答案： A
3．若 tan α＝2，则2sisninαα＋－2ccooss αα的值为(
)
A．0
3 B.4
C．1
5 D.4
解析：
2sin α－cos sin α＋2cos
αα＝2ttaannαα＋－21＝2×2＋2－2 1＝34.
解析： tan 300°＋sin 450° ＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°) ＝－tan 60°＋sin 90°＝－ 3＋1.
答案： － 3＋1
同角三角函数的关系是由任意角的三角函数的定义得出，利用平方
关系开方时要注意“±”的选取，商数关系常用于“切化弦”，其实，
其商数关系tan
(1)求sin A·cos A；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值．
解析： (1)∵sin A＋cos A＝15
①
∴两边平方得1＋2sin A·cos A＝215，
∴sin A·cos A＝－2152.
(2)由(1)sin A·cos A＝－1225<0，且0<A<π，
A．－
5 3
B．－19
1 C.9
5 D. 3
解析： 由诱导公式，得cos(π－2α)＝－cos 2α. ∵cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×49＝19，∴cos(π－2α)＝－19.
答案： B
2．已知cos(π＋x)＝35，x∈(π，2π)，则tan x等于( )
A．－34
B．－43
3
4
C.4
又sin280°＋cos280°＝1，∴tan280°＋1＝cos1280°.
∴tan280°＝k12－1＝1－k2k2.∴tan 80°＝
1－k2 k.
∴tan 100°＝－tan 80°＝－
1－k2 k.
答案： B
【阅后报告】 本题的难点一是确定k的正负，二是同角三角函数
关系的转化．
1．(2010·全国卷Ⅱ)已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析： 由诱导公式知f(2 010)＝asin α＋bcos β＝－1，
∴f(2 011)＝asin(π＋α)＋bcos(π－β)
＝－(asin α＋bcos β)＝1.
答案： C
练规范、练技能、练速度
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系： sin2 α＋cos2α＝1
(2)商数关系：
tan
α＝csoins
α α
2．诱导公式
组数
一
二
三
四
角 2kπ＋sinα(αk∈Z) －πs＋inαα －s－in_αα
sπin－α α
正弦
cos α
－cosα cosα
－cosα
余弦
tan α
tanα －tanα －tanα
4 ∴tan A＝csoins AA＝－553＝－43.
【变式训练】 3.已知0＜α＜π2，若cos α－sin α＝－ 55，
试求：2sin
αcos α－cos 1－tan α
α＋1的值．
解析： ∵cos α－sin α＝－ 55，∴1－2sin α·cos α＝15， ∴2sin α·cos α＝45， ∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95. ∵0＜α＜π2，∴sin α＋cos α＝35 5， 与cos α－sin α＝－ 55联立解得：cos α＝ 55，sin α＝25 5.