新人教版初中数学八年级数学上册第三单元《轴对称》测试(含答案解析)(3)

一、选择题
1．如图所示，已知ABC 和DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，则下列结论中：
①AE BD =； ②AG BF =； ③FG//BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，AD AE =，若40BAD ∠=︒，则CDE ∠的度数为（ ）
A ．10︒
B ．20︒
C ．30
D ．40︒
3．如图，在ABC 中，AB AC =，108BAC ∠=︒，72ADB ∠=︒，DE 平分ADB ∠，图中等腰三角形的个数是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
4．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD 平分∠BAC ；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④2ABD ACD S S =．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．如图，ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线DE 分别交AB 、AC 于点E 、D ，若52BAC ∠=︒，则DBC ∠=（ ）．
A ．12︒
B ．14︒
C ．16︒
D ．18︒
6．如图，△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，则sin B 的值为（ ）
A ．58
B ．45
C ．35
D ．12
7．如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB ＝AC ＝BD ，则图中∠1 与∠2 的关系是（ ）
A ．∠1＝2∠2
B ．∠1+∠2＝180°
C ．∠1+3∠2＝180°
D ．3∠2﹣∠1＝180° 8．已知一个等腰三角形ABC 的两边长为5，7，另一个等腰三角形ABC 的两边为23x -，35x -，若两个三角形全等，则x 的值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．4或5
D ．103
9．如图，AEC BED △△≌，点D 在AC 边上，AE 和BD 相交于点O ，若
30AED ∠=︒，120∠=︒BEC ，则ADB ∠的度数为（ ）
A ．45°
B ．40°
C ．35°
D ．30°
10．如图所示，在△ABC 中，内角∠BAC 与外角∠CBE 的平分线相交于点P ，BE ＝BC ，PB 与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，连接CP ．下列结论：①∠ACB ＝2∠APB ；②BP 垂直平分CE ；③PG ＝AG ；④CP 平分∠DCB ；其中，其中说法正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
11．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ACB ＝45°，点D 是AB 中点，AF ⊥CD 于点H ，交BC 于点F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于点E ，给出下列结论：①∠BAE ＝∠ACD ，②△ADC ≌△BEA ，③AC ＝AF ，④∠BDE ＝∠EDC ，⑤BC ⊥DE ．上述结论正确的序号是（ ）
A ．①②⑤
B ．②④⑤
C ．①②④
D ．①②③ 12．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，
E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（ ）
A ．6cm
B ．6.5cm
C ．7cm
D ．8cm
二、填空题
13．如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线DE 分别与,AB BC 交于点,D E ，AC 的垂直平分线FG 分别与,BC AC 交于点,F G ，10,3BC EF ==，则AEF 的周长是________．
14．若等腰三角形的顶角为30°，腰长为10，则此等腰三角形的面积为_________． 15．如图，在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，其中点C ，D ，E 在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：
①ACE DBC ∠=∠；②45ACE DBC ∠+∠=︒；③BD CE ⊥；④BD CE =．一定正确的是______．
16．如图，在ABC 中，AB AC =，40B ∠=︒，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于点E ，在点D 从B 向C 运动过程中，如果ADE 是等腰三角形，则BDA ∠的度数是____________
17．嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用()1,1-表示，右下角的圆形棋子用()0,0表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置是__________．
18．若等腰三角形的一条边长为5cm ，另一条边长为10cm ，则此三角形第三条边长为__________cm ．
19．如图，ABC 中，AB AC =，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交AC 于E ．若11AB cm =，BCE 的周长为17cm ，则BC=________cm ．
20．已知等边三角形ABC ．如图，
（1）分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点； （2）作直线MN 交AB 于点D ；
（3）分别以点A ，C 为圆心，大于
12
AB 的长为半径作弧，两弧相交于H ，L 两点； （4）作直线HL 交AC 于点E ； （5）直线MN 与直线HL 相交于点O ；
（6）连接OA ，OB ，OC ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论：
①2OC OD =；②2AB OA =；③OA OB OC ==；④120DOE ∠=︒，正确的是____________．
三、解答题
21．如图1，点C 在线段AB 上，∠A =∠B ，AD =BC ，AC =BE ．
（1）判断△CDE 的形状并说明理由；
（2）若∠A=58°，求∠DCE 的度数；
（3）根据解决问题（1）（2）的经验，请你继续解答下列问题：
如图2，在如图所示的正方形网格中，点P 是BC 边上的一个格点（小正方形的顶点），请你在AB 边上作一点M ，在CD 边上作一点N ，使△MPN 是等腰直角三角形，并说明理由．（不写作法，保留作图痕迹）
22．如图，在△ABC 中， AB =AC ．过点A 作BC 的平行线交∠ABC 的角平分线于点D ，连接CD ．
(1)求证：△ACD 为等腰三角形．
(2)若∠BAD =140°，求∠BDC 的度数．
23．已知：如图，MON ∠为锐角，点A 在射线OM 上．
求作：射线AC ，使得//AC ON ．
小静的作图思路如下：
①以点A 为圆心，AO 为半径作弧，交射线ON 于点B ，连接AB ；
②作MAB ∠的角平分线AC ．
射线AC 即为所求的射线．
（1）使用直尺和圆规，按照小静的作图思路补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：OA AB =，
O ABO ∴∠=∠（__________）．
MAB ∠是AOB 的一个外角，
MAB ∴∠=∠_________+∠__________．
12
ABO MAB ∴∠=∠． AC 平分MAB ∠，
12
BAC MAB ∴∠=∠． ABO BAC ∴∠=∠．
//AC ON ∴（__________）．
24．如图，,ABC AEF ∆∆均为等边三角形，连接BE ，连接并延长CF 交BE 于点D ． （1）求证：CAF BAE ∆≅∆;
（2）连接AD ，求证DA 平分CDE ∠.
∆中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且
25．如图，在ABC
BD CE BAD CDE
=∠=∠ADE C
,,
∠=∠．
∆是等腰三角形，
（1）如图1，求证：ADE
∠，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与（2）如图2，若DE平分ADC
∠除外）．
∠相等的角（CDE
CDE
26．如图，在12×10的正方形网格中，△ABC是格点三角形，点B的坐标为（﹣5，1），点C的坐标为（﹣4，5）．
（1）请在方格纸中画出x轴、y轴，并标出原点O；
（2）画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；C1的坐标为
（3）若点P（a，b）在△ABC内，其关于直线l的对称点是P1，则P1的坐标是．
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1．D
解析：D
【分析】
首先根据等边三角形性质得出BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，即可证明△BCD与
△ACE全等、△BCF与△ACG全等以及△DFC与△EGC全等，最后利用全等三角形性质以及等边三角形性质证明即可．
【详解】
∵△ABC与△CDE为等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，
即：∠ACE=∠BCD，
在△BCD与△ACE中，
∵BC=AC，∠ACE=∠BCD，CD=CE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴AE=BD，即①正确；
在△BCF与△ACG中，
由①可知∠CBF=∠CAG，
又∵AC=BC，∠BCF=∠ACG=60°，
∴△BCF≌△ACG(ASA)，
∴AG=BF，即②正确；
在△DFC与△EGC中，
∵△BCF≌△ACG，
∴CF=CG．即④正确；
∵∠GCF =60°，
∴△CFG为等边三角形，
∴∠CFG=∠FCB=60°，
∴FG∥BE，即③正确；
综上，①②③④都正确．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，．
2．B
解析：B
【分析】
根据AB AC =，D 为BC 的中点，∠CAD=40BAD ∠=︒，∠C=50︒，由AD AE =，得到∠AED =70︒，再根据∠AED=∠C+∠CDE 求得答案．
【详解】
∵AB AC =，D 为BC 的中点，
∴∠CAD=40BAD ∠=︒，∠BAC=802BAD ∠=︒，
∴∠B=∠C=50︒，
∵AD AE =，
∴∠AED=∠ADE=70︒，
∵∠AED=∠C+∠CDE ，
∴CDE ∠=20︒，
故选：B ．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质：等边对等角求角的度数以及三线合一，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟记并熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
利用等腰三角形的性质“等边对等角”，求出角的度数，再根据“等角对等边”证明三角形是等腰三角形．
【详解】
解：∵AB AC =，
∴ABC 是等腰三角形， ∵
108BAC ∠=︒， ∴
180108362B C ︒-︒∠=∠==︒， ∵
72ADB ∠=︒， ∴
18072BAD B ADB ∠=︒-∠-∠=︒， ∴
ADB BAD ∠=∠， ∴
AB BD =， ∴ABD △是等腰三角形，
∵1087236DAC BAC BAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
∴DAC C ∠=∠，
∴AD CD =，
∴ACD △是等腰三角形，
∵DE 平分ADB ∠， ∴1362ADE BDE ADB ∠=∠=
∠=︒， ∴
18072AED ADE DAE ∠=︒-∠-∠=︒， ∴
AED DAE ∠=∠， ∴
DE DA =， ∴ADE 是等腰三角形， ∵
BDE B ∠=∠， ∴BE DE =， ∴BED 是等腰三角形，
一共有5个等腰三角形．
故选：C ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定． 4．D
解析：D
【分析】
先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；
利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；
利用∠B=∠BAD 得到DA=DB ，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断． 利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
【详解】
解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，
∴∠BAC ＝60°，
由作法得AD 平分∠BAC ，所以①正确；
∴∠BAD ＝∠CAD ＝30°，
∴∠ADC ＝90°﹣∠CAD ＝60°，所以②正确；
∵∠B ＝∠BAD ，
∴DA ＝DB ，
∴点D 在AB 的垂直平分线上，所以③正确；
∵如图，在直角△ACD 中，∠CAD ＝30°，
∴CD ＝12AD ，
∴BC ＝CD+BD ＝
12AD+AD ＝32AD ，S △DAC ＝12AC•CD ＝14AC•AD ． ∴S △ABC ＝12AC•BC ＝12AC•32AD ＝34
AC•AD ， ∴S △DAC ：S △ABC ＝14AC•AD ：34
AC•AD ＝1：3， ∴S △DAC ：S △ABD ＝1：2．即S △ABD ＝2S △ACD ，故④正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
5．A
解析：A
【分析】
由在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝52°，又由DE 是AB 的垂直平分线，即可求得∠ABD 的度数，继而求得答案．
【详解】
在ABC 中，AB AC =，52BAC ∠=︒，
()11802
ABC ACB BAC ∴∠=∠=⨯︒-∠ ()1180522
=⨯︒-︒64=︒， DE 为AB 的中垂线，
AD BD ∴=，
52ABD BAC ∴∠=∠=︒，
12DBC ABC ABD ∴∠=∠-∠=︒．
故选A ．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
6．C
解析：C
【分析】
过A 点作AD BC ⊥交BC 于点D ，利用等腰三角形的三线合一求出BD ，利用勾股定理求出AD 即可解决问题．
【详解】
过A 点作AD BC ⊥交BC 于点D ，如图
∵5AB AC ==，8BC =，
∴4BD CD ==， ∴2222543AD AB BD =
--=， ∴3sin 5
AD B AB ==． 故选：C ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
7．D
解析：D
【分析】
根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠，再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠，2BAD ∠=∠，由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系．
【详解】
解：∵2∠是ACD △的外角，
∴12C ∠+∠=∠，
∴∠C=∠2-∠1，
∵AB AC =，
∴B C ∠=∠，
∵AB BD =，
∴2BAD ∠=∠，
∴112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠，
∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，
∴122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒，即321180∠-∠=︒．
故选：D ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角． 8．B
解析：B
【分析】
根据等腰ABC 的两边长为5，7，得到ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；之后根据全等分2x-3=5，2x-3=7，3x-5=5，3x-5=7四种情况分类讨论，舍去不合题意的即可求解．
【详解】
解：∵等腰ABC 的两边长为5，7，
∴ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；
由题意得另一个等腰三角形的两边为23x -，35x -，且与等腰ABC 全等
（1）当2x-3=5时，解得x=4，则3x-5=7，符合题意；
（2）当2x-3=7时，解得x=5，则3x-5=10，不合题意；
（3）当3x-5=5时，解得103
x =
，则2x-3=113，不合题意； （4）当3x-5=7时，解得x=4，则2x-3=5，符合题意；
综上所述：x 的值为4．
故答案为：B
【点睛】 本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的性质，根据题意分类讨论是解题关键． 9．A
解析：A
【分析】
由△AEC ≌△BED 可知：EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，根据等腰三角形的性质即可知∠C 的度数，从而可求出∠ADB 的度数．
【详解】
解：∵△AEC ≌△BED ，
∴EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，
∴∠BEO+∠AED=∠CED+∠AED ，
∴∠BEO=∠CED,
∵∠AED=30°，∠BEC=120°，
∴∠BEO=∠CED=
120302
︒-︒=45°， 在△EDC 中，
∵EC=ED ，∠CED=45°，
∴∠C=∠EDC=67.5°，
∴∠BDE=∠C=67.5°，
∴∠ADB=180°-∠BDE-∠EDC=180°-67.5°-67.5°=45°，
故选A ．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质． 10．D
解析：D
【分析】
①根据角平分线的定义与三角形外角的性质可证此结论；
②利用等腰三角形“三线合一”可证明此结论；
③根据角平分线定义与平行线性质可得∠APG＝∠BAP，再利用等腰三角形的判定可证此结论；
④如下图，由角平分线的性质定理可得PM=PN，PM=PO，则PN =PO，即可证明结论．【详解】
解：∵AP平分∠BAC，PB平分∠CBE，
∴∠CAB＝2∠PAB，∠CBE＝2∠PBE，
∵∠CBE＝∠CAB＋∠ACB，
∠PBE＝∠PAB＋∠APB，
即∠CBE＝∠CAB＋2∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB．
故①正确；
∵BE＝BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE（三线合一）．
故②正确；
∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP＝∠BAP，
∵PG∥AD，
∴∠APG＝∠CAP，
∴∠APG＝∠BAP，
∴PG＝AG．
故③正确；
如图，过点P作PM⊥AE于点M，PN⊥AD于点N，PO⊥BC于点O，
∵AP平分∠BAC，PB平分∠CBE，
∴PM=PN，PM=PO，
∴PN =PO，
∴CP平分∠DCB．
故④正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识并能灵活运用所学知识进行论证是解题的关键．
11．A
解析：A
【分析】
由90BAE FAC ∠+∠=︒，90ACD FAC ，得出BAE ACD ∠=∠，①正确；由ASA 证明ADC BEA ∆≅∆，②正确；由AC AB AF ，得出③不正确；由全等三角形的性质得出AD BE =，由AD BD =，得出BE BD =，45BDE EDC ，④不正确；由等腰直角三角形的三线合一性质得出⑤正确；即可得出结论．
【详解】
90BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，
ABC ∴是等腰直角三角形，90BAE FAC ∠+∠=︒，
AB AC ∴=，45CBA ACB ，
AF CD ⊥，
90AHC ∴∠=︒，
90ACD FAC ，
BAE ACD ∴∠=∠，①正确；
//BE AC ，
180ABE BAC ，
90ABE ∴∠=︒，
在ADC ∆和BEA ∆中，
90CAD
ABE AC
AB ACD BAE
()ADC
BEA ASA ，②正确； AC AB AF ，
∴③不正确； ADC BEA ， AD BE ∴=，
点D 是AB 中点，
AD BD ∴=，
BE BD ∴=，
45BDE EDC ，④不正确；
90ABE ∠=︒，BE BD =，45CBA ∠=︒，
45EBP ，即BP 平分ABE ∠，△BDE 为等腰直角三角形，
∴根据“三线合一”可得BC ⊥DE ，⑤正确．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．
【详解】
延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，
AB AC =，AD 平分BAC ∠，
∴AN BC ⊥，BN CN =，
∴90ANB ANC ∠=∠=，
60EBC E ∠=∠=，
∴EBM △是等边三角形，
6BE cm =，
∴6EB EM BM cm ===，
//DF BC ，
∴60EFD EBM ∠=∠=，
∴EFD △是等边三角形，
2DE cm =，
∴2EF FD ED cm ===，
∴4DM cm =，
EBM △是等边三角形，
∴60EMB ∠=，
∴30NDM ∠=，
∴2NM cm =，
∴4BN BM NM cm =-=，
∴28BC BN cm ==．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN 的长度是解决问题的关键．
二、填空题
13．16【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EAAF＝FC根据三角形的周长公式计算得到答案【详解】解：∵DE是AB边的垂直平分线∴EB＝
EA∵FG是AC边的垂直平分线∴AF＝FC∴△AEF的周长
解析：16
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA、AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
解：∵DE是AB边的垂直平分线，
∴EB＝EA，
∵FG是AC边的垂直平分线，
∴AF＝FC，
∴△AEF的周长=AF+AE+EF
=FC+BE+EF=EC+EF+BE+EF
=BC+2EF
=10+6
=16，
故答案为：16．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．25【分析】依据含30°角的直角三角形的性质即可得到该等腰三角形腰上的高再根据三角形面积计算公式进行计算即可【详解】解：如图所示
AB=AC=10∠A＝30°过B作BD⊥AC于D∵∠A＝30°AB＝1
解析：25
【分析】
依据含30°角的直角三角形的性质，即可得到该等腰三角形腰上的高，再根据三角形面积计算公式进行计算即可．
【详解】
解：如图所示，AB=AC=10，∠A＝30°，过B作BD⊥AC于D，
∵∠A＝30°，AB＝10，
∴BD＝1
2
AB＝5，
∴S△ABC＝1
2AC×BD＝
1
2
×10×5＝25，
故答案为：25．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，作出腰上的高并根据30°角求出高是解题关键．
15．②③④【分析】根据题意易证△ABD ≌△ACE 根据三角形全等的性质及余角的性质角的和差关系可进行判断进而得出正确答案【详解】解：
∠DAC=∠DAC △ABD ≌△ACEBD=CE ∠ABD=∠ACE④正确；
解析：②③④
【分析】
根据题意易证△ABD ≌△ACE ，根据三角形全等的性质及余角的性质、角的和差关系可进行判断，进而得出正确答案．
【详解】 解：90BAC DAE ∠=∠=︒，∠DAC=∠DAC ，
∴BAD CAE ∠=∠，
AB AC =，AD AE =，
∴△ABD ≌△ACE ，
∴BD=CE ，∠ABD=∠ACE ，④正确；
∵AB AC =，90BAC ∠=︒，
∴∠ABC=∠ACB=45°，即∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，
∴45ACE DBC ∠+∠=︒，②正确；
∵90BAC ∠=︒，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴BD ⊥CE ，③正确；
∴由题意可知ACE DBC ∠=∠不一定成立，
综上所述：②③④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键．
16．110°或80°【分析】根据等腰三角形的性质先求出∠BAC 的度数然后分3种情况：①AD ＝AE 时②AD ＝ED 时③当AE ＝DE 时分别求解即可【详解】∵在△ABC 中AB ＝AC ∠B ＝40°∴∠B ＝∠C=40
解析：110°或80°
【分析】
根据等腰三角形的性质，先求出∠BAC 的度数，然后分3种情况：①AD ＝AE 时，②AD ＝ED 时，③当AE ＝DE 时，分别求解，即可．
【详解】
∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝40°，
∴∠B ＝∠C=40°
∴∠BAC ＝100°，
①AD ＝AE 时，∠AED ＝∠ADE ＝40°，
∴∠DAE ＝100°，此时，点D 与点B 重合，不符合题意舍去，
②AD ＝ED 时，∠DAE ＝∠DEA ，
∴∠DAE ＝12
（180°−40°）＝70°， ∴∠BAD ＝∠BAC−∠DAE ＝100°−70°＝30°，
∴∠BDA ＝180°−∠B−∠BAD ＝110°，
③当AE ＝DE 时，∠DAE ＝∠ADE ＝40°，
∴∠BAD ＝100°−40°＝60°，
∴∠BDA ＝180°−40°−60°＝80°，
综上所述：∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形，
故答案是：110°或80°
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的性质，三角形内角和定理的理解和掌握，解本题的关键是分类讨论，是一道基础题目．
17．【分析】首先确定平面直角坐标系再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置即可解决问题【详解】解：平面直角坐标系如图所示淇淇放的方形棋子的位置如图坐标为（-12）故答案为（-12）【点睛】本题考 解析：()1,2-
【分析】
首先确定平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置，即可解决问题．
【详解】
解：平面直角坐标系如图所示，淇淇放的方形棋子的位置如图，坐标为（-1，2），
故答案为（-1，2）．
【点睛】
本题考查坐标与图形的性质，坐标位置的确定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18．10【分析】因为等腰三角形的两边分别为5cm和10cm但没有明确哪是底边哪是腰所以有两种情况需要分类讨论【详解】当5cm为底时其它两边都为10cm5cm10cm10cm可以构成三角形；当5cm为腰时
解析：10
【分析】
因为等腰三角形的两边分别为5cm和10cm，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【详解】
当5cm为底时，其它两边都为10cm，
5cm、10cm、10cm可以构成三角形；
当5cm为腰时，其它两边为5cm和10cm，因为5+5=10，所以不能构成三角形，故舍去．所以三角形三边长只能是5cm、10cm、10cm，所以第三边是10cm．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
19．6【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=BE即可得出AC=BE+CE根据
△BCE的周长即可得答案【详解】∵DE是AB的垂直平分线
∴AE=BE∵AB=ACAC=AE+CEAB=11∴BE+CE=AC=
解析：6
【分析】
根据垂直平分线的性质可得AE=BE，即可得出AC=BE+CE，根据△BCE的周长即可得答案．【详解】
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵AB=AC，AC=AE+CE，AB=11，
∴BE+CE=AC=11，
∵BCE的周长为17cm，
∴BC+CE+BE=17，即BC+11=17，
解得：BC=6．
故答案为：6
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线性质，熟练掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题关键．
20．①③④【分析】根据题意可得点O是三边中垂线的交点从而结合等边三角形的性质以及中垂线的性质进行逐项分析即可【详解】由题可得点O为等边三角形ABC三边中垂线的交点即：MN⊥ABHL⊥AC∴根据等边三角形
解析：①③④
【分析】
根据题意可得点O是三边中垂线的交点，从而结合等边三角形的性质以及中垂线的性质进行逐项分析即可．
【详解】
由题可得点O为等边三角形ABC三边中垂线的交点，即：MN⊥AB，HL⊥AC，
∴根据等边三角形的性质可得：∠DAO=∠EAO=30°，AD=AE，
∴△ADO≌△AEO，
∴OD=OE，
又根据中垂线的性质得∠EAO=∠ECO=30°，
∴在Rt△COE中，OC=2OE，
∴OC=2OD，故①正确；
在Rt△ABE中，显然AB=2AE，而OA＞AE，
∴AB≠2OA，故②错误；
根据中垂线性质可得OA=OB，OA=OC，
∴OA=OB=OC，故③正确；
在四边形ADOE中，∠ADO=∠AEO=90°，∠DAE=60°，
∴∠DOE=360°-90°×2-60°=120°，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质以及垂直平分线的画法和性质，以及全等三角形判定与性质，理解题意中所作图形的本质是解题关键．
三、解答题
21．（1）等腰三角形，理由见解析；（2）58°；（3）见解析
【分析】
(1)利用SAS判定△ADC≌△BCE即可判定结论；
(2)利用三角形内角和定理，平角的定义，推理得证；
(3)构造一对全等的直角三角形，利用上面的结论即可.
【详解】
（1）∵AD =BC ，∠A=∠B ，AC=BE ，
∴△ADC ≌△BCE ，
∴CD=CE ，
∴△CDE 是等腰三角形；
（2）∵△ADC ≌△BCE ，
∴∠ADC=∠BCE ，
∵∠ADC+∠ACD+∠A=180°，
∠ADC+∠BCE+∠DCE=180°，
∴∠A=∠DCE ，
∵∠A=58°，
∴∠DCE=58°；
（3）如图，根据作图，得△PBM ≌△NCP ，
∴PM=PN ，
∴△PMN 是等腰三角形；
∵∠B=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN 是等腰直角三角形.
【点睛】
本题考查了三角形的全等，等腰三角形的判定，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理，平角的定义，熟记三角形全等原理，基本作图是解题的关键.
22．（1）证明见解析；（2）50BDC ∠=︒．
【分析】
（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠ADB=∠ABD ，从而可得AB=AD ，再依据等量代换即可得出结论；
（2）根据等腰三角形等边对等角可求得∠ADB=20°，再依据角平分线的性质、平行线的性质和等腰三角形等边对等角求得70ADC ∠=︒，最后利用角的和差即可求得结论．
【详解】
解：（1）证明：∵AD ∥BC ，
∴∠ADB=∠DBC ，
∵BD 为∠ABC 的平分线，
∴∠ABD=∠DBC ，
∴∠ADB=∠ABD ，
∴AB=AD ，
∵AB =AC ，
∴AC=AD ，即△ACD 为等腰三角形；
（2）∵AB=AD ，∠BAD =140°，
∴∠ADB=∠ABD=1802
BAD ︒-∠=20°， ∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=2∠ABD=40°，
∵AB =AC ，
∴∠ACB=∠ABC=40°,
∵AD ∥BC ，
∴∠DAC=∠ACB=40°,
∵AC=AD ， ∴180702DAC ADC ACD ︒-∠∠=∠=
=︒, ∴50AD DC AD C B B ∠-∠=∠=︒． 【点睛】
本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的有关证明．（1）中需正确识别角平分线与平行线所构成的等腰三角形；（2）中能根据等边对等角依次计算角度是解题关键．
23．（1）见解析；（2）等边对等角；O ；ABO ；内错角相等，两直线平行
【分析】
（1）按照步骤作图即可；
（2）由作法知，OA=AB ，AC 是∠MAB 的平分线，然后根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及角平分线的定义说明即可．
【详解】
解：（1）作图如下：
（2）证明：OA AB =，
O ABO ∴∠=∠（等边对等角）．
MAB ∠是AOB 的一个外角，
MAB O ABO ∴∠=∠+∠
12
ABO MAB ∴∠=∠． AC 平分MAB ∠，
12
BAC MAB ∴∠=∠.
ABO BAC ∴∠=∠.
//AC ON ∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：等边对等角；O ；ABO ；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查了作一条线段等于已知线段，作角的角平分线，以及等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及角平分线的定义等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 24．（1）见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）利用SAS 证明即可；
（2）逆用角的平分线性质定理证明.
【详解】
(1)∵△ABC,△AEF 是等边三角形,
∴AC=AB,AF=AE,∠CAB=∠EAF,
∴∠CAB-∠FAB =∠EAF-∠FAB,
∴∠CAF=∠BAE,
∴△CAF ≌△BAE;
(2)过点A 分别作AH ⊥CD 于点H,AG ⊥BE,交BE 的延长线于点G,
由（1）知，△CAF ≌△BAE ，
∴CF=BE ，CAF BAE S
S =, ∴1122
CE AH BE AG ⨯⨯=⨯⨯， ∴AH=AG ，
∴DA 平分∠CDE.
【点睛】
本题考查了三角形的全等，等边三角形的性质，角平分线性质定理的逆定理，准确选择全等判定方法，活用角的平分线的逆定理是解题的关键.
25．（1）详见解析；（2）与CDE ∠相等的角有：∠B ，∠BAD ，∠ADE ，∠C
【分析】
（1）证明△ABD ≌△DCE ，推出AD=DE ，即可得到结论；
（2）根据DE 平分∠ADC ，推出∠ADE=∠CDE=12
∠ADC ，利用BAD CDE ∠=∠，
∠ADC=∠B+∠BAD ，得到∠B=∠BAD=∠ADE=∠CDE ，再由ADE C ∠=∠，得到∠C=CDE ∠．
【详解】
（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD ，∠BAD=∠CDE ，
∴∠B=∠ADE ，
∵∠ADE=∠C ，
∴∠B=∠C ，
在△ABD 和△DCE 中，
BAD CDE B C
BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABD ≌△DCE ，
∴AD=DE ，
∴ADE ∆是等腰三角形；
（2）∵DE 平分∠ADC ，
∴∠ADE=∠CDE=12
∠ADC ， ∵BAD CDE ∠=∠，∠ADC=∠B+∠BAD ，
∴∠B=∠BAD=∠ADE=∠CDE ，
∵ADE C ∠=∠，
∴∠C=CDE ∠，
∴与CDE ∠相等的角有：∠B ，∠BAD ，∠ADE ，∠C ．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定定理，角平分线的性质，三角形外角性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）见解析；（0，5）；（3）（﹣a ﹣4，b ）
【分析】
（1）利用A 、C 点的坐标画出直角坐标系；
（2）利用网格点和对称的性质画出A 、B 、C 关于直线l 的对称点A 1、B 1、C 1即可； （3）先把P 点向右平移2个单位（a+2，b ）（相当于把直线l 右平移2个单位），点（a+2，b ）关于y 轴的对称点为（-a-2，b ），然后把（-a-2，b ）向左平移2个单位，相当于把直线l 向左平移2个单位回到原来位置，于是得到P 1的坐标为（-a-2-2，b ）．
【详解】
解：（1）如图，就是所求作的坐标轴与原点；
（2）如图，△A1B1C1为所作的三角形；
C1的坐标为：（0，5）；
（3）先把P点向右平移2个单位（a+2，b）（相当于把直线l右平移2个单位），点
（a+2，b）关于y轴的对称点为（-a-2，b），然后把（-a-2，b）向左平移2个单位，相当于把直线l向左平移2个单位回到原来位置，于是得到P1的坐标为（-a-2-2，b）．
∴P1的坐标是（﹣a﹣4，b）．
【点睛】
本题考查了作图——轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，。