广东高考理科数学最后冲刺试卷.5.29

1o
y
x
12
C 1
B 1
A 1
C
B
A
广东高考理科数学最后冲刺试卷-5-29
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．特称命题“∃实数x ，使012
<+x ”的否定可以写成 A ．若01,2
<+∈x R x 则 B ．01,2
≥+∈∃x R x
C ．01,2
<+∈∀x R x
D ．01,2
≥+∈∀x R x
2．已知函数(),0
(),0.f x x y g x x >⎧=⎨<⎩
是偶函数，()log a f x x =对应的图象如右
图示，则()g x ＝
A.2x
B.12
()log x - C. 2log ()x - D. 2log ()x --
3. 对于任意的两个数对(,)a b 和(,)c d ，定义运算(,)(,)a b c d ad bc *=-，若
(1,1)(,)1z zi i -*=-，则复数z 为
A ．2i +
B ． 2i -
C ．i
D ．i -
4．设数列{}n a 的通项公式为204n a n =-，前n 项和为n S ，则n S 中最大的是 A.3S B.4S 或5S C. 5S D. 6S 5．如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，
1111AA A B C ⊥面，正视图是边长为2的正方形，则左视图的面积为
A. 4
B. 32
C. 22
D. 3
6．已知点P (x ,y)满足条件3),(02,
,
0+=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤++≤≥x z k k y x x y x 若为常数y 的最大值为8，则k 的值 A.－6 B.6 C. 8 D.不确定
7．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间
t （分）的函数关系表示的图象只可能是．
A ．
B ．
C ．
D ．
A B
C
O
D
序号 (i )
分组 睡眠时间
组中值
（i m ）
频数
（人
数） 频率 （i f ）
1 [)45，
4.5 8 0.04 2
[)5,6
5.5 52 0.26 3
[)67， 6.5 60 0.30 4 [)78， 7.5
56 0.28 5
[)89，
8.5
20
0.10
6 []910， 9.5 4 0.02 开始
0S =
1i =
输入,i
i m f
i i S S m f =+
6?i ≥
1i i =+
是 否
输出S 结束
8．若关于x 的不等式2
2||x a x -->至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是： A.924a -
<< B.524a -<< C.724a -<< D.7
33
a -<< 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9~12题）
9．以椭圆22
143
x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 . 10．在ABC ∆中,,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且6
A π
=
.现给出三个条件：①2a =；
②45B =︒；③3c b =.试从中选出两个可以确定ABC ∆的条件，并以此为依据求ABC ∆的面
积.(只需写出一个选定方案即可)你选择的条件是 ；(用序号填写)由此得到的ABC ∆的面积为 .
11．对于x R +
∀∈，用()F x 表示2log x 的整数部分，则(1)(2)(1023)F F F ++
+＝
__________．
12． “世界睡眠日”定在每年的3月21日．的世界睡眠日主题是“科学管理睡眠”，以提高公众对健康睡眠的自我管理能力和科学认识．为此某网站3月13日到3月20日持续一周的在线调查，共有200人参加调查，现将数据整理分组如题中表格所示. 为了对数据进行分析，采用了计算机辅助计算。

分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 值为 ， S 的统计意义是
（二）选做题（13～15题，考生只能从中选做两题）
13．(不等式选讲选做题)已知实数c b a ,,满足21,a b c +-=则2
2
2
a b c ++的最小值是 . 14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AC 和AB 分别是圆O 的切线， 且OC = 3，AB = 4，延长AO 到D 点，则△ABD 的面积是___________．
15．(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程是sin 2
cos y x θθ
=-⎧⎨
=⎩
图乙
图甲
D
N
C
B
A
D
C
M （θ是参数），若以o 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为 ________________.
三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知函数2
1
()cos ,()1sin 22
f x x
g x x ==+. （1）若点A (,)y α([0,
]4
π
α∈)为函数()f x 与()g x 的图象的公共点，试求实数α的值；
（2）设0x x =是函数()y f x =的图象的一条对称轴，求0(2)g x 的值； （3）求函数()()(),[0,
]4
h x f x g x x π
=+∈的值域.
17．（本小题满分12分）
如图甲，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，2
DAB π
∠=，点M 、N 分别在AB ，CD 上，且
MN AB ⊥，MC CB ⊥，2BC =，4MB =，现将梯形ABCD 沿MN 折起，使平面AMND 与
平面MNCB 垂直（如图乙）.
（1）求证：//AB 平面DNC ；
（2）当DN 的长为何值时， 二面角D BC N --的大小为30︒
？
O
P
C
B
A
x
y 18．（本小题满分14分）
甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负 者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局 时停止．设甲在每局中获胜的概率为p )2
1
(>
p ，且各 局胜负相互．已知第二局比赛结束时比赛停止的概 率为
9
5
．若右图为统计这次比赛的局数n 和甲、乙的总 得分数S 、T 的程序框图．其中如果甲获胜则输入1=a ， 0=b ；如果乙获胜，则输入1,0==b a ． （1）在右图中，第一、第二两个判断框应分别填 写什么条件？ （2）求p 的值；
（3）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量
ξ的分布列和数学期望E ξ．
19．（本题满分14分）
有三个生活小区，分别位于,,A B C 三点处，且207AB AC ==，3BC =．今计划合建一个变电站，为同时方便三个小区，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处，建立坐标系如图，且27
ABO π∠≈
. (1) 若希望变电站P 到三个小区的距离和最小， 点P 应位于何处？
(2) 若希望点P 到三个小区的最远距离为最小， 点P 应位于何处？
第19题
输入 b a ,开始
b T T a S S +=+=, 0,0,0==
=T S n 结束
输出 T S n ,,Y
T S M -= 1+=n
n ?
Y
N
N ?
20．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的各项均为正数，且满足111
122,(),1n n
n n a a a n N a a *++-==∈-记2n n n b a a =-，数
列{}n b 的前n 项和为n x ，且1
()2
n n f x x =． （1）数列{}n b 和{}n a 的通项公式； （2）求证： 12231()()()
1()2()()
()2
n n f x f x f x n n
n N f x f x f x *+-<+++
<∈．
21．(本小题满分14分)．
如图，设抛物线214c y mx =：（0m >）的准线与x 轴交于1F ，焦点为2F ；以1F 、2F 为焦点，离心率1
2
e =
的椭圆2c 与抛物线1c 在x 轴上方的一个交点为P ． （1）当1m =时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l 经过椭圆2c 的右焦点2F ，与抛物线1c 交于1A 、2A ，如果以线段
12A A 为直径作圆，试判断点P 与圆的位置关系，并说明理由；
（3）是否存在实数m ，使得12PF F ∆的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m ；若不存在，请说明理由．
2
-94
2
o
y 高考数学（理科）模拟试题参考答案-5-29
DCDB BABA
9．2
2
13
y x -=；10．①②,31S =（或①③,3S =11．8194； 12．6.70. S 的统计意义是指参加调查者的平均睡眠时间，从统计量的角度来看，即是睡眠时间
的期望值。

（第二空填“参加调查者的平均睡眠时间”“参加调查者的睡眠时间期望值”的一个即可） 13．
16；14．485
；15．24sin 30ρρθ++=. 2.由图象可得2()log f x x =（0x >）因函数的图象关于y 轴对称，可得2()log ()g x x =-（0x <）,选C
3.由(1,1)(,)1z zi i -*=-得2
1(1)112
i i zi z i z i i --+=-⇒===-+，选D. 4.由204n a n =-≥0得n ≤5，所以4S 或5S 最大,选B. 5．左视图是长为２，宽为3的长方形，故面积为32,选B
6．画图，联立方程20y x x y k =⎧⎨++=⎩得3
3k x k
y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，代入3()8,633k k k -+⨯-=∴=-，选A.
8．解法１：取2a =-，得不等式2
2|2|x x -+>有负数解12x =-，排除选项B 、C ，取5
2
a =，不等式25
2||2
x x --
>无负数解，排除D,故选A 解法２：将原不等式变形为2
||2x a x -<-+
22y x =-+和||y x a =-的图象，函数||y x a =-的图象是从点(,0)a 出
发的两条射线，如图，当射线()y x a x a =-+≤过点(0,2)时，2a =，当射线
()y x a x a =-≥与抛物线22y x =-+相切时，94a =-，结合图象易得9
24
a -<<
10．方案一：选择①② ，由正弦定理sin sin a b A B =，得sin 22sin a
b B A
==26
,sin sin()sin cos cos sin A B C C A B A B A B π+++=∴=+=+=1126sin 22231224
S ab C ∴==⨯⨯=.
方案二：选择①③, 由余弦定理2222cos b c bc A a +-=,有222
334b b b +-=,则2b =,23c =,
E D
O
C
B
A
∴111
sin 2233222
S bc A =
=⨯⨯=说明:若选择②③,由3c b =得，6
sin 312
C B ==>不成立,这样的三角形不存在. 11．令(1)(2)(1023)F F F S ++
+=,23912223292S =⨯+⨯+⨯++⨯
23491021222328292S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯,101092228194S =⨯-+=.
12．首先要理解直到型循环结构图的含义,输入11,m f 的值后, 由赋值语句:i i S S m f =+⋅可知,流程图进入一个求和状态. 令(1,2,
,6)i i i a m f i =⋅=，数列{}i a 的前i 项和为i T ，
即：6 4.50.04 5.50.26 6.50.307.50.28T =⨯+⨯+⨯+⨯8.50.109.50.02 6.70+⨯+⨯=，则输出的
S 为6.70.
S 的统计意义即是指参加调查者的平均睡眠时间，从统计量的角度来看,即是睡眠时间的期望
值。

13．由柯西不等式得2
2
2
2
2
2
2
(2)(121)(),a b c a b c +-≤++++ 222
16
a b c ∴++≥
14．过点D 作DE ⊥AE,由OB ∥DE 得
3824
55
OB AO DE DE AD ⨯=⇒==
∴148
25
ABD S AB DE ∆=⋅=
15．在直角坐标系xoy 中，曲线C 是以点(0,2)-为圆心，以１为 半径的圆，如图
可得2
4sin 30ρρθ++= 16．解(1)∵点A (,)y α(04
π
α≤≤
)为函数()f x 与()g x 的图象的公共点
∴2
1
cos
1sin 22
αα
=+111
cos 21sin 2222
αα⇒
+=+ cos2sin 21αα⇒-=-----------------------------------------------------------------2分
⇒22cos 2sin 22sin 2cos 21αααα+-=sin 40α⇒=
∴4,k k Z απ=∈,4k k Z πα⇒=
∈ ∵[0,]4
πα∈ ∴0α=--------------------------------------------------------4分 (2)∵2
11
()cos cos 222
f x x x ==
+ ∴02,x k k Z π=∈ ∴0(2)g x =011
1sin 41sin 2122
x k π+
=+=--------------7分 5
2
-2
-4
(3) ∵()()()h x f x g x =+ ∴2
1()cos 1sin 22h x x x =++
111
cos 21sin 2222
x x =+++ 113
cos 2sin 2222
x x =++2223(cos 22)2222x x =
++ 23
)42
x π=
++------------------------------------------10分
∵[0,
]4
x π
∈ ∴
324
4
4
x π
π
π
≤+
≤
∴
2sin(2)124x π≤+≤ ∴23322)2422
x π+≤++≤. 即函数()h x 的值域为32
[2,
2
+.-------------------------------------------12分
17．解（1）程序框图中的第一个条件框应填2=M ，第二个应填6=n ．… 4分 注意：答案不唯一．
如：第一个条件框填1>M ，第二个条件框填5>n ，或者第一、第二条件互换．都可以． （2）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．
∴有9
5
)1(22=
-+p p ． 解得32=
p 或31
=p ． ………………………6分 21>p ， 3
2
=∴p ． ………… 7分
（3）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6． ………… 8分
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为
9
5
． 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有5
(2)9
P ξ==， 8120)95)(951()4(=-==ξP ， 81161)951)(951()6(=⋅--==ξP ．
∴随机变量ξ的分布列为： ………… 12分
ξ
2
4
6
z
C
B
M
A N x
y
D
故52016266246.9818181
E ξ=⨯
+⨯+⨯=． …………… 14分 18．解法一（1） MB//NC ，MB ⊄平面DNC ，NC ⊂平面DNC ，
∴MB //平面DNC .
同理MA //平面DNC ，又MA MB=M, 且MA,MB ⊂平面MAB.
∴
MAB //NCD AB //DNC AB MAB ⎫
⇒⎬⊂⎭
平面平面平面平面. (6分)
（2）过N 作NH BC ⊥交BC 延长线于H ，连HN ， 平面AMND ⊥平面MNCB ，DN ⊥MN,
∴DN ⊥平面MBCN ，从而DH BC ⊥,
DHN ∴∠为二面角D-BC-N 的平面角. (9分)
由MB=4，BC=2，MCB 90∠=知MBC ∠=60º，
42cos603CN =-=.NH 3∴=⋅sin60º =2
33 (10分)
由条件知：DN 333333
tan NHD ,DN NH .NH 33232
∠==∴=⋅=⋅=
（12分）
解法二 如图，以点N 为坐标原点，以NM ，NC ，ND 所在直线分别作
为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系.N xyz -易得NC=3，MN=3， 设DN a =，则D(0,0,a),C(0,3,0),B(3,4,0),M(3,0,0),A(3,0,a). （1）(0,0,),(0,3,0),(0,4,)ND a NC AB a ===-. ∴44
(0,0,)(0,3,0)33
AB a ND NC =-+=-+，
∵,ND NC DNC ND NC N ⊂⋂=平面，且，
∴AB 与平面DNC 共面，又AB DNC ⊄平面，//AB DNC ∴平面. (6分) （2）设平面DBC 的法向量1n (,,)x y z =，(0,3,),(3,1,0)DC a CB =-=
P
95 8120 81
16 A
M
D
B
H
N
C
O
P
C
B
A
x
y 则113030
DC n y az CB n x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =-，则3y =33
z =
∴1n 33
(3,
=-. （8分） 又平面NBC 的法向量2n (0,0,1)=. （9分）
cos ∴1212
12=n n n ,n |n ||n |233
3a 27
131
a
=
=++⨯ 即：22627
9
13,
a ,a 4
a =++∴= 又3a 0,a .2>∴=即3DN .2=
19．解 在Rt AOB ∆中,7,03AB B ==则
22||(207)(203)40OA =-= ……1分
（1）法一 设PBO α∠=(2
07
απ≤≤),
点P 到,,A B C 的距离之和为
2032sin 24020340203cos cos y α
ααα
-=⨯
+-=+…5分 22sin 1203cos y αα-'=,令0
y '=即1sin 2α=,又207απ≤≤,从而6π
α= 当06πα≤<时,0y '<;当267ππ
α<≤时, 0y '>.
∴当6πα=时,2sin 40203cos y α
α
-=+取得最小值
此时3
203203206
3
OP π
===,即点P 为OA 的中点. ……8分 法二 设点(0,)(040)P b b ≤≤,则P 到,,A B C 的距离之和为
2()4021200(040)f b b b b =-++≤≤,求导得2
()11200
f b b '=
+ ……5分
由()0f b '=即221200b b =+,解得20b =
当020b ≤<时,()0f b '<;当2040b <≤时, ()0f b '>
∴当20b =时,()f b 取得最小值,此时点P 为OA 的中点. ……8分 （2）设点(0,)(040)P b b ≤≤,则||40PA b =-,2||||1200PB PC b ==+
点P 到,,A B C 三点的最远距离为()g b
①若||||PA PB ≥即240120005b b b -≥+≤≤,则()40g b b =-;
②若||||PA PB <即2401200540b b b -<+<≤,则2()1200g b b =+∴240(05)()1200
(540)b b g b b b -≤≤⎧=+<≤ ……11分 当05b ≤≤时,()40g b b =-在[0,5]上是减函数,∴min ()(5)35g b g ==
当540b <≤时,2()1200g b b =+(5,40]上是增函数,∴()(5)35g b g >= ∴当5b =时, min ()35g b =,这时点P 在OA 上距O 点5km . ……14分
20．解 （1）221111
122()1n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=⇒-=--，………………1分 212220b =-=≠
∴数列{}n b 是公比和首项均为2的等比数列，2n n b ∴=，……………2分 即2
2
11220)n n
n n n n a a a a +++-=⇒=>，………………4分 （2）等比数列{}n b 的前n 项和12(21)2221
n n n x +-==--，()21n n f x ∴=-。

………6分 故11()21211, 1,2,3,.1()221
2(2)2k k k k k k f x k n f x ++--==<=--………………8分 12231()()()()()()2n n f x f x f x n f x f x f x +∴+++<．………………………9分 另一方面
111111()211111()22212(21)2(22)
11 , 1,2,3,.22k k k k k k k k f x f x k n ++++++-==-=---+->
-= 12231231()()()111()()()()222
2111 =(1)2222
n n n n f x f x f x n f x f x f x n n ++∴+++>-+++---> ∴12231()()()12()()()2
n n f x f x f x n n f x f x f x +-<+++<．…………………………14分 ………11分 ……………13分
21．解∵214c y mx =：的右焦点()2,0F m
∴椭圆的半焦距c m =，又12
e =， ∴椭圆的长半轴的长2a m =，短半轴的长3b m =. 椭圆方程为22
22143x y m m
+=. （1）当1m =时，故椭圆方程为22
143
x y +=，……（3分） （2）依题意设直线l 的方程为：1x ky =+，k R ∈ 联立222414
3y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 得点P 的坐标为2263P ⎛ ⎝⎭. 将1x ky =+代入24y x =得2440y ky --=.
设()111,A x y 、()222,A x y ，
由韦达定理得124y y k +=，124y y =-. 又111226,3PA x y ⎛=-- ⎝⎭，222226,3PA x y ⎛=- ⎝⎭. ())1212121212242624399
PA PA x x x x y y y y ⋅=-+++-++ 226242524246119
k k k ⎛- ++⎝
⎭==- ∵k R ∈，于是12PA PA ⋅的值可能小于零，等于零，大于零。

即点P 可在圆内，圆上或圆外………………………………………………（8分）
（3）假设存在满足条件的实数m ， 由222224143y mx x y m
m ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得：2263P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. ∴22533PF m m m =+=，12743PF m PF m =-=，又12623
F F m m ==. 即12PF F ∆的边长分别是5
3m 、63m 、73m .
∴3m =时，能使12
PF F ∆的边长是连续的自然数。

……（14分）。