(完整word版)高二数学导数大题练习题

(完整word 版)高二数学导数大题练习题
一、解答题
1．已知函数()()2
e 1=-+x
f x ax x （a ∈R ，e 为自然对数的底数）． (1)若()f x 在x=0处的切线与直线y=ax 垂直，求a 的值； (2)讨论函数()f x 的单调性； (3)当21
e
a ≥
时，求证：()2ln 2x x f x x ---≥． 2．已知()2,1
3,1x x x f x x x ⎧-≥-=⎨+<-⎩
，()()ln g x x a =+．
(1)存在0x 满足：()()00f x g x =，()()00f x g x ''=，求a 的值； (2)当4a ≤时，讨论()()()h x f x g x =-的零点个数． 3．已知函数()ln .f x x x ax a =-+
(1)若1≥x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；
(2)当1a =，01b <<时，方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12 1.x x <
4．已知()2e
x x a
f x -=．
(1)若()f x 在3x =处取得极值，求()f x 的最小值； (2)若()1f x x ≤-对[)1,x ∞∈+恒成立，求a 的取值范围． 5．已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；
(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．
6．已知函数()ln f x x x =-，322()436ln 1g x x x x x =---. (1)若()1x f ax ≥+恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)若121322
x x <<<，且()()120g x g x +=，试比较()1f x 与()2f x 的大小，并说明理由.
7．设函数()1e
ln 1x a
f x a x -=--，其中0a >
(1)当1a =时，讨论()f x 单调性；
(2)证明：()f x 有唯一极值点0x ，且()00f x ≥.
8．已知函数()ln (1a
f x x a x =+-为常数)，且函数()f x 的图象在2x =处的切线斜率小于1.2
-
(1)求实数a 的取值范围;
(2)试判断(1)ln e a -与(e 1)ln a -的大小，并说明理由. 9．已知函数()()32131.3
f x x a x x =-++ (1)若1a =，求函数()f x 的单调区间; (2)证明：函数()2y f x a =-至多有一个零点. 10．已知函数()()e x f x x m =+⋅.
(1)若()f x 在(],1-∞上是减函数，求实数m 的取值范围；
(2)当0m =时，若对任意的0x ≥，不等式()2e x ax f x ⋅≤恒成立，求实数a 的取值范围.
【参考答案】
一、解答题
1．(1)1a = (2)答案见解析 (3)证明见解析 【解析】 【分析】
（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，再由直线的位置关系可求解；
（2）由于()()(1)e 2x
f x x a =+-'，令()0f x '=，得1x =-或2ln x a
=，通过比较两个
值分类讨论得到单调区间；
（3）方法一：通过单调性，根据求最值证明；方法二：运用放缩及同构的方法证明. (1)
()
()(1)e 2x f x x a =+-'，则(0)2f a '=-，
由已知(2)1a a -=-，解得1a = (2)
()
()(1)e 2x f x x a =+-'
（ⅰ）当0a ≤时，e 20x a -<，
所以()01f x x '>⇒<-，()01f x x '<⇒>-，
则()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减；
（ⅱ）当0a >时，令e 20x a -=，得2ln x a
=， ①02e a <<时，2ln 1a
>-，
所以()01f x x '>⇒<-或2ln x a >，()012ln a
f x x <⇒-<<'，
则()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在21,ln a
⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
上单调递减，在2
ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝
⎭
上单调递
增；
②2e a =时，()1
()2(1)e 10x f x x +=+'-≥，则()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；
③2e a >时，2ln 1a
<-，
所以2ln ()0x a f x >⇒<'或1x >-，2ln ()01f x a
x <⇒<<-'，
则()f x 在2,ln a ⎛
⎫
-∞ ⎪⎝
⎭
上单调递增，在2
ln ,1a
⎛⎫- ⎪⎝
⎭
上单调递减，在(1,)-+∞上单调递
增．
综上，0a ≤时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减；
02e a <<时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在21,ln a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭上单调递减，在2ln ,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上
单调递增；
2e a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；
2e a >时，()f x 在2,ln a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2ln ,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递减，在(1,)-+∞上单
调递增． (3) 方法一：
2()ln 2(0)f x x x x x ≥--->等价于e ln 10(0)x ax x x x --+≥>
当21
e
a ≥
时，2e ln 1e ln 1(0)x x ax x x x x x x ---+≥--+> 令2
21()e ln 1,()(1)e x x g x x x x g x x x --⎛
⎫=--+=+- ⎝
'⎪⎭
令2
1
()e
x h x x
-=-
，则()h x 在区间(0,)+∞上单调递增 ∵11(1)10,(2)02
h h e
=-<=>， ∴存在0(1,2)x ∈，使得()00h x =，即02
000
1
e
,2ln x x x x -=
-=- 当()00,x x ∈时，()0g x '<，则()g x 在()00,x 上单调递减，
当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()0,x +∞上单调递增
∴()0
2
min 00000000
1
()e ln 1210x g x g x x x x x x x x -==--+=⋅+--+=
∴()0g x ≥，故2()ln 2f x x x x ≥--- 方法二： 当21
a e
≥
时，2e ln 1e ln 1(0)x x ax x x x x x x ---+≥--+> 2ln 2()e ln 1e (ln 2)1x x x g x x x x x x -+-=--+=-+--
令ln 2t x x =+-，则t R ∈， 令()e 1t k t t =--，则()e 1t k t =-'
当0t <时，()0k t '<；当0t >时，()0k t '>
∴()k t 在区间(,0)-∞上单调递减，(0,)+∞上单调递增． ∴()(0)0k t k ≥=，即()0g x ≥ ∴2()ln 2f x x x x ≥---， 【关键点点睛】
解决本题的关键：一是导数几何意义的运用，二是通过导函数等于零，比较方程的根对问题分类讨论，三是隐零点的运用及放缩法的运用. 2．(1)0a =或4； (2)答案见解析. 【解析】 【分析】
（1）在1x ≥-有()2
000ln 21x x x -=--，构造中间函数并利用导数研究单调性和零
点情况，求参数a ，在1x <-上根据已知列方程组求参数a ，即可得结果. （2）讨论a 的范围，利用导数研究()h x 的单调性，结合零点存在性定理判断各情况下零点的个数. (1)
1x ≥-时()2
f x x x =-，原条件等价于2
00000ln()1210x x x a x x a ⎧-=+⎪⎨-=>⎪+⎩
，
∴()2
000ln 21x x x -=--，
令()()2
ln 21x x x x ϕ=-+-，则()2
21021
x x x ϕ'=-+
>-， ∴()ϕx 为增函数，由()10ϕ=，则()0x ϕ=有唯一解01x =，所以0a =，
1x <-时，()000311x ln x a x a ⎧+=+⎪
⎨=⎪+⎩
，解得：4a =．
综上，0a =或4． (2)
ⅰ.0a <时0x a +>，则0x a >->，()()()22
ln ln h x x x x a x x x x ϕ=--+>--=，
而()121x x x ϕ'=--，()2
1
20x x ϕ''=+
>，即()x ϕ'为增函数，又()01ϕ'=， 当()0,1∈x 时()0ϕ'<x ；当()1,x ∈+∞时()0ϕ'>x ，故()()10x ϕϕ≥=， ∴()0h x >恒成立，故0a <时零点个数为0；
ⅱ.0a =时，()2
ln h x x x x =--，由①知：仅当1x =时()0h x =，此时零点个数为
1．
ⅲ.01a <≤时，()()()2
ln h x x x x a x a =--+>-，则()1
21h x x x a
'=--
+，()()
2
1
20h x x a ''=+
>+，
∴()h x '为增函数，2
102a h a a
⎛⎫'-=---< ⎪⎝⎭
，()1
1101h a
'=->+， ∴()0h x '=仅有一解，设为0(,1)2a
x ∈-，则在()0,a x -上()0h x '<，在()0,x +∞上
()0h x '>，
所以()h x 最小值为()0h x ，故()()010h x h ≤<．
又2
ln 0242
2a a
a a h ⎛⎫-=+-> ⎪⎝⎭，()()22ln 20h a =-+>，故0,2a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()0,2x 上()h x 各有
一零点，即()h x 有2个零点．
ⅳ.14a <<时，(),1a --上()()()()3ln 3ln 4h x x x a x x p x =+-+>+-+=，
()()()1
103304
p x x p x p x '=-
=⇒=-⇒≥-=+， ∴()h x 无零点，则[)1,-+∞上()()2
ln h x x x x a =--+，()1
21h x x x a
'=--
+，()()
2
1
20h x x a ''=+
>+，
∴()h x '为增函数，()11301h a '-=--
<-+，()1
1101h a
'=->+， ∴()0h x '=有唯一解，设为x '，则()()10h x h '≤<，
又()()12ln 10h a -=--+>，()()22ln 20h a =-+>，故()1,x '-、(),2x '上，()h x 各有一个零点，即()h x 有2个零点．
ⅴ.4a =时，由（1）知：(]4,1--上()h x 有唯一零点：3x =-；
在()1,-+∞上()()2
ln 4h x x x x =--+，则()1214
h x x x '=--
+，()2120(4)h x x ''=+>+，
所以()h x '为增函数，()11301h a '-=--
<-+，()4
105
h '=>，故1(1,1)x ∃∈-使1()0h x '=，
则1(1,)x -上()0h x '<，()h x 递减；1(,)x +∞上()0h x '>，()h x 递增； 故1()()h x h x ≥，而1()(1)ln 50h x h <=-<，
又(1)2ln30h -=->，(2)2ln 60h =->，故在1(1,)x -、1(),2x 上()h x 各有一个零点， 所以()h x 共有3个零点．
综上：0a <时()h x 零点个数为0；0a =时()h x 零点个数为1；04a <<时()h x 零点个数为2；4a =时()h x 零点个数为3． 【点睛】 关键点点睛：
（1）根据分段函数的定义域讨论x ，结合函数、方程思想求参数.
（2）讨论参数a ，利用二阶导数研究()h x '的单调性，进而判断其符号研究()h x 单调性，并结合零点存在性定理判断区间零点的个数. 3．(1)(,1].-∞ (2)证明见解析 【解析】 【分析】
(1)1x ≥，()0ln 0a f x x a x ≥⇔-+
≥，设()ln (1)a
g x x a x x
=-+≥，求导得221()a x a
g x x x x
-'=
-=，分1a ≤与1a >两类讨论，即可求得a 的取值范围；(2)当1
a =时，方程()f x
b =有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设12x x <，则1201x x <<<，要证121x x ⋅<，只需证2111x x <<，而12()()f x f x =，只需证明111
()()f x f x <，再构造
函数，设1
()()()(01)F x f x f x x
=-<<，通过求导分析即可证得结论成立． (1)
1x ≥，()0f x ∴≥，即ln 0a
x a x
-+
≥， 设()ln (1)a
g x x a x x
=-+≥，2
2
1
()a x a
g x x x x -'=-=
，当1a ≤时，()0g x '≥， ()g x ∴在[1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ∴≥=，满足条件；
当1a >时，令()0g x '=，得x a =，当1x a <≤时，()0g x '<；
当x a >时，()0g x '>，()g x ∴在区间[1,]a 上单调递减，在区间[,)a +∞上单调递增，
min ()()ln 1g x g a a a ∴==-+，()(1)0g a g ∴<=，与已知矛盾．
综上所述，a 的取值范围是(,1].-∞
(2)
证明：当1a =时，()ln f x x '=，则()f x 在区间(0,1]上单调递减，
在区间[1,)+∞上单调递增，由方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ， 不妨设12x x <，则1201x x <<<，要证121x x ⋅<，只需证21
1
1x x <<，
()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，只需证1
21()(
)f x f x < 又()()12f x f x =，∴只需证明111
()()f x f x <，设1()()()(01)F x f x f x x
=-<<， 则22211
()ln ln ln 0x F x x x x x x
-'=-=>，()F x ∴在区间(0,1)上单调递增，
()(1)0F x F ∴<=，1
()()0f x f x
∴-<，即11
1
()(
)f x f x <成立， ∴原不等式成立，即121x x ⋅<成立．
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用． 4．(1)2e - (2)[)1,+∞ 【解析】 【分析】
（1）先求得函数的导函数，然后利用极值的必要条件求得a 的值，进而判定导数的正负区间，得到函数的单调性，然后结合左右两端的极限值与极小值，求得函数的最小值；
（2）分离参数得到2(1)e x a x x ≥--对于任意[)1,x ∞∈+恒成立.构造函数，利用导数求得不等号右侧的最大值，进而根据不等式恒成立的意义得到实数a 的取值范围. (1)
∵()2
e
x x a
f x -=，∴()()()
222
2e e 2e e x x
x
x x x a x x a f x ⋅--⋅--'=
=-， ∵()f x 在3x =处取得极值，()23
32330e a
f -⨯-'=-
=，∴3a =，
∴()23e x x f x -=，()223(1)(3)
e e x x
x x x x f x --+-'=-=-，
当1x <-时，()’0f x <；当13x 时，()’0f x >；当3x >时，()’0f x <. ∴()f x 在(],1-∞-上单调递减，在[]1,3-上单调递增，在[)3,+∞上单调递减. 又∵当3x >时，()0f x >，()12e 0f -=-<， ∴()f x 的最小值为2e -. (2)
由已知得221(1)e e
x x x a
x a x x -≤-⇔≥--对于任意[)1,x ∞∈+恒成立.
令2()(1)e x g x x x =--，则()2e (2e )x x g x x x x '=-=-，
在1≥x 时，()(2e )0x g x x '=-<，所以函数()g x 在1≥x 时上单调递减， 所以max ()(1)1g x g ==， 所以a 的取值范围是[)1,+∞． 5．(1)详见解析； (2)详见解析； 【解析】 【分析】
（1）由2a =-，得到2()2ln f x x x =-，然后求导2
()2f x x x
'=-求解； （2）令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，求导()()
21()--'=
x a x g x x
，分0a ≤，
012a <
<，12a =，122
a
<<讨论求解. (1)
解：当2a =-时，2()2ln f x x x =-， 所以2()2f x x x
'=-，令()0f x '=，得1x =， 当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>， 所以1x =是函数()f x 的极小值点； (2)
当2(]0,x ∈时，令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，
则()()2212(2)()2(2)---++'=+-+==x a x a x a x a g x x a x x x
， 当0a ≤时，01x <<时，()0g x '<，12x <≤时，()0g x '>， 所以当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x ∞→+，
当()110g a =+>，即10a -<≤，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无
当()110g a =+=，即1a =-时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点；
当()()
110
22ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+≥⎪⎩，即21ln 2-
≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点；
当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+<⎪⎩
，即2ln 2a <-，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图
象有1个公共点； 当012a <
<，即02a <<时，02a
x <<或1x >时，()0g x '>，12
a x <<时，()0g x '<，
所以当2
a
x =时，()g x 取得极大值，当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，
()g x →-∞，
因为()110g a =+>恒成立，
所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点； 当12
a =，即2a =时，()0g x '≥恒成立，
所以()g x 在(0,2]上递增，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当122a <
<，即24a <<时，01x <<或22a x <<时，()0g x '>，12a
x <<时，()0g x '<，
所以当1x =时，()g x 取得极大值，当2
a
x =时，()g x 取得极小值，且0x →，
()g x →-∞，
因为()110g a =+>，()22ln 20=+<g a ，2ln 20242⎛
⎫=-+++> ⎪⎝⎭
a a a g a a 恒成立，
所以()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点.
综上： 当10a -<≤时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；
当1a =-或 2
ln 2
a <-或04a <<时，()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点； 当2
1ln 2
-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点.
(2)()()21f x f x <，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）分离参变量，得到ln 1
,(0)x x a x x
--≤>恒成立，构造函数，将问题转化为求函数的最值问题；
（2）由（1）可得1ln x x -≥，从而判断()g x 的单调性，确定121312
2
x x <<<<，再通过构造函数，利用导数判断其单调性，最终推出122x x +<；再次构造函数
1ln ()12
t t
F t t -=
-+，判断其单调性，由此推出2211ln ln x x x x -<-，可得结论. (1)
()1x f ax ≥+恒成立，即ln 1
,(0)x x a x x
--≤
>恒成立， 令ln 1()x x h x x --=
，2ln ()x
h x x
'=， 当(0,1)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 递增， 故min ()(1)0h x h ==， 所以0a ≤. (2)
2()121212ln 12(1ln )g x x x x x x x x '=--=--，
由（1）知1ln x x -≥，所以在13
,22
⎛⎫
⎪⎝
⎭
上()0g x '≥，
所以()g x 在13
,22⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调递增，且(1)0g =.所以121
3
122
x x <<<<，
设()12(1ln )m x x x x =--，()12(22ln )m x x x '=--， 设()12(22ln )n x x x =--，则12(21)()x n x x -'=
，13,22x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()0n x '>， 所以()m x '在13
,22
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递增，且(1)0m '
=，
所以()m x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，
令()()(2)H x g x g x =+-，()()(2)12[22ln (2)ln(2)]H x g x g x x x x x x '''=--=--+--， 令()()G x H x '=，()2
()12ln 2G x x x '=--，31,2
x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()0G x '>，
所以()H x '在31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，所以()(1)0H x H ''>=，
所以()H x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()(1)0H x H >=，
所以()()()22220H x g x g x =+->，()()()2212g x g x g x ->-=，
而()g x 在13
,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，所以212x x ->，122x x +<； 设1ln ()12t t F t t -=-+，()()()221021t F t t t '--=≤+， 所以()F t 单调递减，且(1)0F =，1t >，()0F t <， 所以210x F x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即221121
ln 121x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，即212121ln 2ln x x x x x x -<+-， 所以212121
ln ln 12x x x x x x -+<-<， 所以2121ln ln x x x x -<-，即2211ln ln x x x x -<-.
所以()()21f x f x <.
【点睛】
本题考查了利用导数解决不等式恒成立时求参数范围问题以及利用导数比较函数值大小问题，综合性较强，难度较大，解答的关键是要合理地构造函数，利用导数判断函数单调性以及确定极值或最值，其中要注意解答问题的思路要清晰明确.
7．(1)()f x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）首先确定()f x 定义域，再应用二阶导数的符号判断f x 的单调性，进而分区间判断f x 的符号，即可确定()f x 的单调性.
（2）求()f x 的二阶导，根据其符号知f x 在()0,+∞上单调递增，令0f x 得到ln 1x x a +=，构造()ln 1x h x x a =+-结合其单调性，注意利用导数研究()ln 1x x x ϕ=-+的符号，再用放缩法判断1a h a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭、()
1e a h +的符号，即可判断零点0x 的唯一性，进而得到
000
11ln ln x x a x -==-，结合基本不等式求证()00f x ≥. (1) 当1a =时，()1e ln 1x f x x -=--，定义域为()0,+∞，
则()11
e x
f x x -'=-，()12
1e 0x f x x -+'=>'， 所以f x 在()0,+∞上单调递增，又()10f '=，
当01x <<时，0f x
，所以()f x 在区间0,1上单调递减； 当1x >时，0f x ，所以()f x 在区间()1,+∞上单调递增.
综上，()f x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.
(2)
由题意，()11e x a f x x -='-，()1211e 0x a f x a x -=⋅+'>'，则f x 在()0,+∞上单调递增，至多有一个零点，
令()ln 1x x x ϕ=-+，其中1x >，则()111x x x x
ϕ-'=-=
， 当()0,1x ∈时，()0ϕ'>x ，()ϕx 单调递增.
当()1,x ∈+∞时，()0ϕ'<x ，()ϕx 单调递减，
所以()()10x ϕϕ≤=，即ln 10x x -+≤，于是ln 1≤-x x ，
令0f x ，则e e x a x ⋅=，两边取自然对数可得ln 1x x a +=， 令()ln 1x h x x a =+-，则()h x 在()0,+∞上单调递增. 故11ln 1111011111a a a h a a a a a ⎛⎫=+-≤-+-=-<
⎪+++++⎝⎭，又()1
1111e e ln e e 10a a a a h a a a
++++=+⋅-=+>， 所以()h x 在()0,+∞上有唯一零点0x ，则f x 有唯一零点0x ，即()f x 有唯一极值
点0x .
下证()00f x ≥：
因为()01001e 0x a f x x -'=-=，所以010
1e x a x -=，可得00011ln ln x x a x -==-， 所以(
)010000e
ln 11120x a x a f x a x x a -=--=+--≥=，当且仅当0x a =时等号成立， 综上，()f x 有唯一极值点0x 且()00f x ≥，得证.
【点睛】
关键点点睛：第二问，利用二阶导数研究一阶导数的单调性，根据零点所得的等量关系构造()ln 1x h x x a
=+-，结合单调性、零点存在性定理判断f x 零点的唯一性，进而利用基本不等式证明不等式.
8．(1)(1,)+∞
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）求导后根据题意解不等式
（2）化为相同形式，构造函数根据单调性判断
(1) 由22(2)1()(1)x a x f x x x '
-++=-，且函数()f x 在2x =处的切线斜率小于12-， 知2222(2)11(2)2(21)2
a f -++'=<--，解得 1.a > 故a 的取值范围为(1,)+∞
(2)
由(1)可知(1)ln e a -与(e 1)ln a -均为正数.
要比较(1)ln e a -与(e 1)ln a -的大小，可转化为比较ln e e 1-与ln 1
a a -的大小. 构造函数ln ()(1)1x x x x ϕ=>-，则2
11ln ()(1)x x x x ϕ--'=-，再设1()1ln m x x x =--，则2
1()x m x x -'=， 从而()m x 在(1,)+∞上单调递减，此时()()10m x m <=，
故()0x ϕ'<在(1,)+∞上恒成立，则ln ()1
x x x ϕ=
-在(1,)+∞上单调递减. 综上可得，
当(1,e)a ∈时，(1)lne (e 1)ln a a -<-
当e a =时，(1)lne (e 1)ln a a -=-
当(e,)a ∈+∞时，(1)lne (e 1)ln a a ->-
9．(1)()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）直接求导后判断单调性即可；
（2）先变形得到3
23033x a x x -=++，构造函数，求导后说明单调性即可证明. (1)
当1a =时，()()321
313
f x x x x =-++，2()23f x x x '=--.
令()0f x '=，解得1x =-或3x =，
当()(),13,x ∞∞∈--⋃+时，()0f x '>；当(1,3)x ∈-时，()0f x '<， 故
()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减.
(2)
()
321()2333y f x a x a x x =-=-++，由于2330x x ++>，所以()20f x a -=等价于3
230.33
x a x x -=++ 设()3
2333
x g x a x x =-++， 则()g x '()
()222269033x x x x x ++=++，当且仅当0x =或3x =-时，()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，
故()g x 至多有一个零点，从而()2y f x a =-至多有一个零点. 10．(1)(],2-∞- (2)2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，得到11m --≥，即可求出m 的取值范围； （2）把题意转化为2x ax e ≤，分类讨论：当0x =时，求出R a ∈；当0x >时，转化为2x
e a x
≤，令2()x e g x x =，利用导数求出min ()g x ，即可求出实数a 的取值范围. (1)
因为()()e x f x x m =+⋅，所以()(1)e x f x x m '=++⋅，
令()0f x '≤，得1x m ≤--，则()f x 的单调递减区间为(,1]m -∞--， 因为()f x 在(,1]-∞上是减函数，所以11m --≥，即2m ≤-， 故m 的取值范围是(],2-∞-；
(2)
由题知：()e x f x x =⋅，则22e 0,e x x x ax ∀≥⋅≤，即2e x ax ≤， 当0x =时，01≤恒成立，则a R ∈，
当0x >时，2e x a x
≤，令2(e )x g x x =，则2432e e e (2)()x x x x x x g x x x ⋅-⋅⋅-'==， 则当02x <<时，()0g x '<，()g x 递减；当2x >时，()0g x '>，()g x 递增，
故2min e ()(2)4g x g ==，则2e 4
a ≤， 综上所述，实数a 的取值范围是2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．。