多目标最优化方法

多目标最优化方法
解决优化问题时，如果只考虑单一目标最优，称为单目标最优化问题(Single-Objective optimization problem, SOP)，若考虑的最优目标不仅一个，而是多个，我们称为多目标最优化问题(Multi-objective optimization problem, MOP)。

多目标最优化是最优化方法领域中重要的研究方向之一。

多目标最优化问题起源于实际生活中复杂系统的规划设计、模型建立等。

在工程设计、工农业规划、经济规划、金融决策城、市运输、水库管理和能量分配等社会活动中，经常遇多目标最优化问题，可以说多目标优化问题是无处不有、无处不在的.正是由于这种多目标最优化问题的重要性以及普遍性才使得人们要去研究多目标最优化问题的解法。

目前，国内、外许多学者致力于这方面的研究.
1.1多目标最优化问题的简史
多目标最优化问题的出现，应追溯到1772年，当时Franklin提出了多目标矛盾如何协调解决的问题。

但国际上大都认为多目标最优化问题最早是由法国经济学家V. Pareto于1896年提出的。

当时，他从政治经济学的角度，把不好比较的目标归纳成多日标最优化问题。

1944年，V on.neumann和J. Morgenstern从对策论的角度，提出多个决策者彼此又互相矛盾的多目标决策问题。

1951年，T. C. Koopmans从生产和分配的活动分析中提到了多目标最优化问题，并且第一次提出了Pareto最优解的定义。

同年，H. W. Kuhn和A. W. Tucker从数学归纳的角度，给出了向量极值问题的Pareto最优解，并研究了这种解的充分必要条件。

1953年，Arron等学者对凸集提出了有效解的概念，从此多目标最优化逐渐受到人们的关注。

1963年，L. A. Zadeh从控制论角度提出多目标控制问题。

这期间Charnes, Klinger, Keeney, Geoffrion等人先后都做了有效的工作。

1968年，Z. Johnson系统地提出了关于多目标决策模型的研究报告，这是多目标优化这门学科，开始大发展的一个转折点。

多目标最优化问题自从Pareto正式提出到Johnson系统总结，先后经过了六、七十年的时间。

但是，多目标优化的真正兴旺发达并且正式作为一个数学分支进行系统地研究，是本上个世纪七十年代以后的事情。

1975年，M. Zeleny写了一本关于多目标最优化的论文集，从1972年开始，以多目标决策为主题的国际学术会议召开了十多次。

到现在为止，多目标最优化问题不仅在理论上取得很多重要成果，而且一套平行于单目标优化的理论正在形成和完善，而且其应用范围也越来越广泛，多目标决策作为一个工具在解决工程技术、经济、军事和系统工程等众多方面也越来越显示出它强大的生命力。

在我国，多目标最优化问题的研究是从二十世纪七十年代后期开始的并且研究的人越来越多.十多年以来，不论在多目标最优化的理论上还是应用方面都取得了许多重要成果.1987年，全国第三次多目标决策学术会议在哈尔滨召开，来自全国80多位学术代表提交了50多篇论文和报告，内容十分丰富和广泛.说明了我国在多目标最优化方面的研究正向世界先进水平发展。

1.2多目标最优化问题的研究现状
多目标决策及其最优化在今天已有不少应用领域。

他们的根源是经济理论，但现在却已应用于数理心理学、人类行为学以及许多环保问题、社会学间题、技术间题、工程中利用计算机帮助的许多问题、控制问题等等。

多目标最优化理论
现在已是数学规划中的一个独立生长的部分；但是，它的各种应用仍然引起一些令人伤脑筋的方法论间题和理论问题。

虽然有一个多目标最优化的抽象问题是定义得不错的，但对于实用的目的来说并不恰当。

因为它的解是一个集合而不是一个单一的点。

要从这个集合中选出一个，就要求有另外的讯息。

假若这一讯息是明白无误而又是可资利用的，则此问题就不会是一个多目标何题。

在多目标最优化中最重要的问题是：在何处、如何、以及以何种方式得到这一另外的讯息。

关于“在何处”这一问题，一个普遍接受的答案是:从“决策者”那里，就是说，从一个人，一个有经验的人，一个经理，或其中一群人，或者甚至是与决策有关的一个机构。

至于问题“如何”以及“以何种形式”，其答案则往往是参照现有的理论途径，以及由此而得出的方法，并不是按应该所作的那样，参照所给的特殊问题，参照决策者或决策机构的需要。

1.3多目标决策与最优化问题
有三个概念对于多目标问题来说是很基本的:供选方案(alternative的、它的属性及有关目标，以及供选方案和属性的一种自然偏序。

供选方案就是可能采取的行动;供选方案是与只选取一个方案或者选取一组通过附加限制来规定的方案有关。

供选方案的产生往往是问题最困难的部分，它要求另外的讯息，要求知识和才智。

属性是属于供选方案的各种共性。

有时，几种共性可能密切关联，因而可以把它们集成一个复合属性;有些属性可能与手中的间题无关，有些属性可能在开始描述间题时被忽略掉。

选择一组尽可能最小的适当的属性又是问题的一个最困难部分，要求有高度的判断力和依靠于充分的讯息。

通常假定属性是可度量化的，就是说，它们可以用某些自然的或人为的，数量的或描述性的尺度来衡量。

度量化的属性，以及在必要时所作的集成属性要同目标相称。

通常，关于目标以及基本属性和供选方案，有一个自然偏序是显然的。

比如说，我们可以对有关的属性选取某些尺度以表示多目标极大化这一概念，就是说，使得对于给定的两个方案A和B，若在方案A之下，所有的目标达到的值不小于而且其中有些是大于在B之下所达到的值，则A即优于B;目标可以是:收益、利润、赢得等等。

属性的度量化以及合理尺度的选择大大依赖于可资利用的讯息。

但是，在进一步要引出与间题有关的讯息过程中，最重要的一步是建立数学模型这一阶段，就是说，要通过函数关系来描述目标对于供选方案的依赖关系。

存在着许多的多目标问题，对于这些问题，我们做不到这一点，在这些问题中，属性以及在供选方案之下目标达到的水平只能由专家来估计，比如说，对于包含有审美或政治性质的属性就是如此。

这类间题将称之为多目标决策问题，因为在此种情况，真正的最优化只能含蓄地做到J但是，假若存在于供选方案与各目标之间的关系的数学模型已经能够作出，则可依据适当的形式聚积可资利用的讯息以供进一步分析之用，其结果，不仅可能做到多目标最优化，而且还有可能自动产生别的供选方案，等等。

当然，对于所给的问题作出一个适当而又可靠的数学模型这一间题在这里是极为重要的。

所有上述问题以及随之而来的分类虽然是很基本的，但并没有表达出与多目标最优化或决策有关的困难的本质。

即使我们通过某些手法消除掉所有的受控方案(也就是指我们可以得到一个在目标的自然偏序的意义之下比之更好的方案的那种方案)，留下来的非受控方案作成的集合通常都很大，而且它的元素在自然
偏序的意义下相互不能比较。

要在它们之间进行选择，要在一组供选方案中引入一个偏爱序(Preference orderingX一个完全的预序，等价类的一个完全序)，就必须从专家或决策者那里得到另外的讯息。

多目标最优化的中心问题就是如何以及以何种方式去得到这一另外的讯息。

这些问题的正确解答应大大依赖于问题的性质以及决策者的态度，而不要受可供利用的数学途径和方法的影响而产生偏见。

现在我们作下面的分类来表达这些性质和看法:
（1）聚集偏爱
经济理论中基本问题之一就是如何描述出许许多多的决策者(“经济代理人”，他们独立地但在某种意义上又是相似地作出决策。

另外一个在数理心理学中具有典型性的问题是描绘单个的决策人，他在不变的偏爱模式这一假定下，反复地作出相似的决策。

于是，强烈要求研究的基本问题是:如何以一种聚集的形式描述出通过大量实际决策所显示出来的偏爱模式，以便于未来的分析。

关于效用和价值理论的大量工作中大多是涉及这一问题。

（2）单一决策中未知的偏爱
一些重要而又新颖的决策，比如说为原子能工厂找位置，或者是为某些新型的污染订出标准，常常是由这样的一群决策人来作出的，他们对于真正喜欢那种类型的方案并没有完全形成一个确定的意见，由于各种不确定因素，或者甚至是由于一些可能出现的与这类真正重要而又难逢难遇的决定有关的心理上的偏见，他们对于各种属性是否贴切并没有明确的意见。

对于这种情况，多目标决策理论的主要任务就是要帮助决策者下决心。

要做到这一点，可由决策者构造出一系列假想的供选方案，并对之加以评估;在作真正的决定时，已经显示出来的偏爱模式是有帮助的。

大量的研究工作都是关于这类问题的，而且由此产生了几个成功的应用例子。

（3）单个或反复的决定中的自觉偏爱
其偏爱模式可能是变化不定的。

常常会出现这样的情况:决策者对于他想要达到什么样的成就是有清楚的见解的，他具有自觉的但可能是变化不定的偏爱。

比如说，一个计划室中计划员每年都在变化着的经济状况之下完成其工作。

在这种情形，数学模型往往可以构造出来，多目标最优化可能是有帮助的，假若有某种适当的方法来处理决策人与模型之间的相互作用的话。

模型可以通过产生新的非受控方案以适应新的要求来给与决策人以帮助。

但是，对于这种情况，多目标最优化很少应用得成功。

出现这种现象，原因可能很多，但其中有一个是:常常把在（1）类和（2）类中有用的途径和方法用来解决（3）类中的间题，而在这里，这些途径和方法是不行的。

当决策者认为，假若有了许多合理的方案向他们提出时他们就有把握能从其中挑选出最好的，这时他们就不愿浪费时间去研究暴露出他们那些随时改变的偏爱模式的假设性问题;他们就只愿意去搞到一些接近于他们的常规变动的要求的新方案。

这就是作出下述假设的一个原因:每天，单个决定的作出不是基于使效用函数极大化，而是对目标建立某些参考水平再设法去满足它们。

这也就推动人们去研究多目标最优化的新途径、新工具，不能墨守旧的一套。

1.4历史观点
Pareto在1896年的创造性工作是受经济间题的激发而作出的。

他不仅引入了多目标最优化的基本概念，而且还引入了偏爱这一概念;很明显，他所考虑的问题属于聚集偏爱这一类。

他也是首先使用加权系数于多目标最优化的人。

在多目
标最优化的古典基本理论中，加权系数起了核心的作用:多目标最优化的充要条件，平衡与权衡，效用极大化等皆与加权系数有根本性关系。

经济理论方面的进一步工作与偏爱这一概念及利用效用函数来表示它这两者密切相关。

在一般的经济平衡理论的基础中，总是假定消费者要使得表示他对于一堆商品的偏爱顺序的那个效用函数达到极大。

但他显然是一个平均的消费者，因而大量消费者的聚集偏爱在这里真正受到注意。

单个的消费者并不是根据使效用达到极大这一点来作出他日常的决定，而是根据目的，即他准备要买的东西的清单。

聚集偏爱和效用函数的研究已经达到了高度的数学水平，它具有深刻的公理基础，它在基数效用函数和序数效用函数之间作了仔细的区分，它已有一些精致的关于利用效用函数来表示偏爱的定理，关于将许多效用函数分成类集的定理，关于许多决定中显示出偏爱模式的定理。

这种发展对于单个决策者的行为激起了广泛的数理心理学上的研究。

在不变偏爱(因而在聚集偏爱，依时间平均)之下作反复决定这一课题只要还有人研究，效用函数的应用就已经被证明是成功的。

但是已经发现某些行为现象并不与效用这条途径十分合拍(可参考Bell, Keeney和Raiffa中的Trevsky 1977的结果)。

给定某种现状或参考目标水平，个人对于损失的可能性所采取的态度和就现状而言对于获益所采取的态度两相比较是不同的，不对称的。

这是作出下述假定的另一个论据:个人并不是根据使效用达到极大这一点作出他日常的决定，而是根据目的，参考目标水平。

但是，使个人效用达到极大这一假设也导致另外的有关个人和集体作出决策方面的广泛研究。

人与人之间的效用比较，在出现不定因素或随机选择的情况下变换效用函数，基于效用识别所作的集体决策的交互作用方法，等等，已经得到广泛的研究，甚至得到成功的应用。

但是，这一广阔理论的成功的应用是关于未知偏爱这类情况的，在这种情形，决策者为了明白他们自己的偏爱，很乐于参加一些度量心理学的实验。

在别的情况，即决策者比较了解他们自己的偏爱，应用这一理论的企图已经失败。

1.5结论和可能出现的扩展
不基于权系数或效用函数而基于参考目标水平来处理多目标最优化的这一条途径具有多方面的性质.其一，它是一条实用主义的途径:为了对决策人可能有的经常变动的偏爱方式构造一些粗略的特有近似模型，我们利用了从他们那里很可能得到的讯息.这条途径也与实际观察到的决策人的某些行为的性质是一致的，也即是与对于达不到或超过所说的目标的希望的不对称态度是一致的.其二，这条途径已有了良好的数学基础:多目标最优化的所有基本定理，包括Pareto最优解的充分必要条件，等等，比之利用加权系数和效用函数去表达来说，用参考目标水平和惩罚标量化函数同样也可表达，或者甚至比之要广泛得多.
虽然这条途径必然不是“最适于”解决所有各类多目标决策和最优化间题的，但是，某些间题，它们与决策人的经常变动的偏爱有关，而且是基于数学模型反复作出决策的间题，通过这条途径比之通过别的已知途径要好解决得多.但是，要广泛地检验这条途径在许多应用领域中的情况，还有许多工作要做.也还有一些重要的数学间题需要作进一步的研究.比如说，参考目标水平有随机最优化方面的应用，在不确定的情况下的应用，这条途径是否可以用来处理风险问题。