福建省龙岩市2011届高三上学期期末考试数学(文、一级校)试题

龙岩市2010~2011学年度高三第一次教学质量检查
一级达标校数学（文）试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
参考公式：
柱体体积公式：,V Sh =其中S 为底面面积、h 为高；
锥体体积公式：1
,3
V Sh =
其中S 为底面面积、h 为高； 球的表面积、体积公式：,3
4,432
R V R S ππ==其中R 为球的半径．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. i 是虚数单位，复数1i
i
+＝
（ ） A ．1i -
B ．1i +
C ．1i -+
D ．i
2
．已知集合{
}
|0M x =≥，集合{}2|20N x x x =+-<，则M N ⋂=
（ ）
A ．{}|1x x ≥-
B ． {}|1x x <
C ．{}|11x x -<<
D ． {}|11x x -≤<
3．已知等差数列}{n a 满足2816a a +=，则5a 等于
（ ） A ．10
B ．8
C ．6
D ．4 4．下列命题的说法错误．．的是
（ ）
A ．命题“若2
320,x x -+= 则 1=x ”的逆否命题为：“若1≠x , 则2320x x -+≠”.
B ．“1=x ”是 “2320x x -+=”的充分不必要条件.
C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题.
D ．对于命题p ：x R ∀∈， 均有2
10x x ++>. 则⌝p ：x R ∃∈，
≤5. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸， 可得这个几何体的侧面积是
（ ）
（第5题图）
x
x
x
（第7题图）
A
B ．
3
π C ．
23
π
D
6．函数1
()log 2f x x x
=-+的一个零点落在下列哪个区间（ ）
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
7. 已知函数()f x 的导函数的图象如图所示，给出下列四个结论： ①函数()f x 在区间(3,1)-内单调递减； ②函数()f x 在区间(1,7)内单调递减； ③当3x =-时，函数()f x 有极大值； ④当7x =时，函数()f x 有极小值. 则其中正确的是
（ ）
A ．②④
B. ①④
C ．①③
D ．②③
8．已知变量x 、y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥≤+-082
42y x x y x ，则2
2
y x +的取值范围为
（ ） A ．[13,40]
B ．(][),1340,-∞⋃
+∞ C ．(
[)6,-∞⋃+∞
D ．⎡⎤⎣⎦
9．以抛物线2
14
y x =的焦点为圆心，3为半径的圆与直线4320x y ++=相交所得的弦长为（ ）
A
B.
C ．
D ．8
10. 已知直线l α⊥平面，直线m ⊂平面β，下列四个命题：
①//l m αβ⇒⊥； ②//l m αβ⊥⇒；③//l m αβ⇒⊥；④//l m αβ⊥⇒. 其中正确的是
（ ） A ．①②
B ．③④
C ．②④
D ．①③
11．定义行列式运算
1234
a a a a =3241a a a a -.
将函数sin 2()cos 2x f x x
=
6π
个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是
（ ） A ．,04π⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．,02π⎛⎫
⎪⎝⎭ C ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,3π
D ．,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
12. 现有四个函数：①x x y sin ⋅= ②x x y cos ⋅= ③x x y cos ⋅= ④x
x y 2⋅=的图象
（
A ．①④③②
B ．④①②③ C. ①④②③ D ．③④②①
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡相应位置．）
13. 已知向量(2,1),(,1)a b m m ==+r r
，若//a b r r ，则实数m 的值为 .
14. 在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C
，3,45a b C ===，
则边c = .
15. 中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线的实轴长与虚轴长相等，并且焦点到渐近线的距离 为2，则双曲线方程为 .
16. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”， 则在区间[]1,200内的所有“神秘数”之和为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本题满分12分）
已知函数2()2cos cos 1f x x x x =++. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）当[0,]4
x π
∈时，求函数()y f x =的值域.
18. （本题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =- ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ） 记n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
19. （本题满分12分）
如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直
角梯形，//AB DC ，
45=∠ABC ，1DC =，
2=AB ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ．
（Ⅰ）求证：//AB 平面PCD ； （Ⅱ）求证：⊥BC 平面PAC ；
（Ⅲ）若M 是PC 的中点，求三棱锥M ACD -的体积.
A
B
C
D
P
M
（第19题图）
（第20题图）
20．（本题满分12分）
某县畜牧水产局连续6年对该县农村鳗鱼养殖业的规模（总产量）进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图.
甲图调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只. 乙图调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年30个减少到第6年10个. 请你根据提供的信息说明：
(Ⅰ)第5年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数； (Ⅱ)哪一年的规模（即总产量）最大？说明理由.
21．（本题满分12分）
已知椭圆C :22221x y a b += (0)a b >>的左、右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)已知一直线l 过椭圆C 的右焦点2F ，交椭圆于点A 、B .
(ⅰ)若满足2
tan OA OB AOB
⋅=
∠uu r uu u r
（O 为坐标原点），求AOB ∆的面积；
(ⅱ)当直线l 与两坐标轴都不垂直时，在x 轴上是否总存在一点P ，使得直线PA PB 、的倾斜角互为补角？若存在,求出P 坐标；若不存在，请说明理由.
22. （本题满分14分）
已知函数()2ln p
f x px x x
=-
-． (Ⅰ)若3p =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；
(Ⅱ)若0p >且函数()f x 在其定义域内为增函数，求实数p 的取值范围； (Ⅲ)若函数()y f x =在(0,3)x ∈存在极值，求实数p 的取值范围．
龙岩市2010~2011学年度高三第一次教学质量检查
一级达标校数学（文）试题参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.【命题意图】本小题考查复数基本运算； 【解析】
2
1(1)1i i i
i i i ++==- .故选A
5.【命题意图】本小题考查立体几何中的三视图，考查识图的能力、空间想象能力等基本能
力；
1，其侧面积为
1
22
π⨯=.故选D 6．【命题意图】本小题考查函数零点的求法； 【解析】∵(1)(2)0f f ⋅<.故选B 7.【命题意图】本小题考查导数的运用；
【解析】由图象可知函数()f x 在(3,1)-内单调递增，在(1,7)内单调递减，所以①是错误的；②正确的；③错误的；④正确的.故选A
8．【命题意图】本小题考查不等式的线性规划，考查了转化与化归能力；
【解析】当2,6x y ==时，22max ()40x y +=；当2,3x y ==时，22min ()13x y +=. 故选A
9．【命题意图】本小题考查抛物线、直线与圆的相关知识； 【解析】由题可知圆心(0,1)，∴圆心到直线的距离32
15
d +=
=，所以该弦长为
=故选C
10.【命题意图】本小题考查空间中直线与直线、平面与平面、平行和垂直的判定与性质，考查空间想象力和逻辑推理能力；
【解析】由线面位置、面面位置关系判断①③正确.故选D
11．【命题意图】本小题考查三角函数图象与性质及图象变换等基础知识； 【解析】2sin(2)3
y x π
=-
，向左平移
6
π
后得到2sin 2y x =. 所以函数2sin 2y x =图象的对称中心为(),02k k Z π⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，令1k =时，得到,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭ .故选
B
14.【命题意图】本小题考查余弦定理；
【解析】由余弦定理得2
2
2
2cos 292cos455c a b ab C c ︒
=+-∠=+-=∴=
15.【命题意图】本小题考查待定系数法求双曲线的方程；
【解析】设双曲线方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
，由已知条件得a b ==所求方程
为
22122x y -=.故填22
122
x y -= （也可填222x y -=） 16.【命题意图】本小题考查数列求和的相关知识； 【解析】2222222222(31)(53)(75)(5149)5112600-+-+-++-=-=.故填2600
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）
【命题意图】本小题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值； 【解析】
2()2cos cos 1f x x x x =++
cos 2222sin(2)2
6
x x x π
=+=++
………… 3分
（Ⅱ）∵04
x π
≤≤
，∴
226
6
3
x π
π
π
≤+
≤
， ………… 8分 1sin(2)126
x π
∴≤+≤；
………… 9分
12sin(2)26
x π
∴≤+≤
………… 10分 32sin(2)246
x π
∴≤++≤
………… 11分 ∴函数()y f x =的值域为[3,4]
………… 12分
18. （本小题满分12分）
【命题意图】本小题主要考查等比数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力； 【解析】(Ⅰ)当1n =时， 1122S a =- ，1122a a =-，∴12
3
a =
； …………… 1分 当2n ≥时，11
2222n n
n n S a S a --=-⎧⎨
=-⎩ ，
…………… 2分
两式相减得12n n n a a a -=-(2)n ≥ ，
即13(2)n n a a n -=≥，又10n a -≠
11
3
n n a a -∴
=(2)n ≥ ， …………… 4分 ∴数列{}n a 是以
23为首项，1
3
为公比的等比数列． …………… 5分 ∴1211()2()333
n n
n a -=⋅=⋅ .
…………… 6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知12()3
n
n b n =⋅+ ，
…………… 7分 ∴2
3
11
1
12()()()(123)33
33n n T n ⎡⎤
=+++
++++++⎢⎥⎣⎦
…………… 9分
111()(1)3321213
n n n
⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦=⨯+
- 211()32
n n n +=-+
…………… 12分
19.（本小题满分12分）
【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归转化思想、必然与或然思想；
【解析】证明：（Ⅰ）错误！未找到引用源。

AB CD ，
…………… 1分
又AB ⊄平面PCD
…………… 2分 CD ⊂平面PCD
…………… 3分 ∴AB ∥平面PCD
…………… 4分
(Ⅱ)在直角梯形ABCD 中，过C 作CE AB ⊥于点E ，
………… 5分
∴BC ⊥平面PAC
(9)
分
（Ⅲ）∵M 是PC 中点，
∴M 到面ADC 的距离是P 到面ADC 距离的一半
(10)
分
111111
()(11).3232212
M ACD ACD V S PA -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=
(12)
分
20．（本小题满分12分）
【命题意图】本小题考查利用函数知识解决实际问题的能力，考查运算与处理数据能力； 【解析】（Ⅰ）解：甲图象经过(1,1)和(6,2)两点，
从而求得其解析式为5
4
51+=
x y 甲 …………… 2分
乙图象经过(1,30)和(6,10)两点， 从而求得其解析式为434y x =-+乙
…………… 4分
当5x =时，149
5555
y =
⨯+=甲，453414y =-⨯+=乙，
9
1425.25
y y ⨯=⨯=乙甲
21．（本小题满分12分）
【命题意图】本小题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力； 【解析】（Ⅰ）1c =
，又c e a =
=
∴a =∴2
2
2
312b a c =-=-=
……………2分
所以，椭圆C 的方程是22132x y +=
……………3分
（Ⅱ）（ⅰ）∵2tan OA OB AOB ⋅=
∠，∴2
cos tan OA OB AOB AOB
⋅⋅∠=∠， ……4分
∴sin 2OA OB AOB ⋅⋅∠=，∴11
sin 2122
AOB S OA OB AOB ∆=⋅⋅⋅∠=⨯=. ……5分
（ⅱ）假设存在一点P ，使得直线PA PB 、的倾斜角互为补角，
依题意可知直线l 、PA PB 、斜率存在且不为零.
不妨设(,0)P m ，直线l 的方程为(1)y k x =-，0k ≠
由22(1)132
y k x x y =-⎧⎪⎨+
=⎪⎩消去y 得()2222326360k x k x k +-+-=
……………7分
设1122(,),(,)A x y B x y 则22121222636
,3232
k k x x x x k k -+=⋅=++
………………8分
∵直线PA PB 、的倾斜角互为补角， ∴0PA PB k k +=对一切k 恒成立，即022
11=-+-m
x y m x y 对一切k 恒成立 ……………9分
又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-，
代入上式可得121222(1)()0x x m m x x +-++=对一切k 恒成立
∴22
2
236622(1)03232
k k m m k k -⨯+-+⨯=++对一切k 恒成立， ……………10分 即260m -=，∴3m =，
……………11分 ∴存在(3,0)P 使得直线PA PB 、的倾斜角互为补角.
……………12分
（Ⅱ）222
22()p px x p f x p x x x
-+'=+-=， …………4分
要使()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数，只需()0f x '≥在(0,)+∞内恒成立
即220px x p -+≥在(0,)+∞上恒成立，
…………5分
（法一）即221x p x ≥+在(0,)+∞上恒成立， ∴2
max
21x p x ⎛⎫
≥ ⎪+⎝⎭ ， 设22(),(0)1x
M x x x =
>+
…………6分
则222
()1
1x M x x x x ==
++ ∵0x >，∴1
2x x
+≥ ，当且仅当1x =时取等号
…………7分
∴()1M x ≤ ，即[]max ()1M x =，∴1p ≥ 所以实数p 的取值范围是[)1,+∞
…………8分
（法二）令2()2h x px x p =-+，
要使()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数，只需()0h x ≥在(0,)+∞内恒成立． ………5分 由题意0p >，2()2h x px x p =-+的图象为开口向上的抛物线， 对称轴方程为1(0,)x p =∈+∞，∴min 1()h x p p
=-， …………6分
∴1
0p p
-
≥，解得1p ≥
…………7分
∴实数p 的取值范围是[1,)+∞．
…………8分 （Ⅲ）∵222()px x p f x x
-+'=，令()0f x '=，即220()px x p -+=* …………9分 设2()2,(0,3)h x px x p x =-+∈
当0p =时，方程（*）的解为0x =，此时()f x 在(0,3)x ∈无极值，所以0p ≠； 当0p ≠时，2()2h x px x p =-+的对称轴方程为1x p
=
①若()f x 在(0,3)x ∈恰好有一个极值 则00(3)1060(3)0
p p M p M ><⎧⎧⎨⎨=-≤≥⎩⎩或 ，解得305p <≤ 此时()f x 在(0,3)x ∈存在一个极大值；……………………11分
②若()f x 在(0,3)x ∈恰好两个极值，即()0h x =在(0,3)x ∈有两个不等实根
则20440103(3)p p p M o >⎧⎪∆=->⎪⎪⎨<<⎪⎪>⎪⎩ 或20440103
(3)p p p M o
<⎧⎪∆=->⎪⎪⎨<<⎪⎪>⎪⎩ ，解得315p <<……………………13分 01p ∴<<．
综上所述，当01p <<时，()y f x =在(0,3)x ∈存在极值. ……………………14分。