江苏省海安高级中学2020～2021学年度高一第一学期期中考试数学试卷(含答案)

江苏省海安高级中学2020-2021学年度第一学期期中考试
高一数学
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．命题“2,10x R x x ∀∈++≥”的否定是（） A ．2,10x R x x ∀∈++< B ．2,10x R x x ∀∈++≤ C ．2
000,10x R x x ∃∈++≤
D ．2
000,10x R x x ∃∈++<
2．已知{}0,1
2M =，，{}1,2,34N =，，则M N ⋂是（） A ．{}1,2 B ．{}0,1,2,3,4 C ．{}3,4 D ．{}0 3．若0,0,a b c d >><<则一定有（） A ．
a b c d
> B ．
a b c d
< C ．
a b d c
> D ．
a b d c
< 4．函数(01)||
x
xa y a x =<<的图像的大致形状是（） A ． B ．
C ．
D ．
5．设00a ,b ,>>且1a b ,+=则12
a b
+的最小值为（） A ．322+B ．5
C ．6
D ．32
6．已知25
35a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，35
25b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，25
25c ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，则a ，b ，c 的大小关系为（）
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
7．已知函数1
(2)12
()2x a x x f x a x --+<⎧=⎨
≥⎩
在()∞+∞－，上对任意的12x x ≠都有1212
()()
0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．5(1,]3
B ．5[,2)3
C ．(1,2)
D ．(0,)+∞
8．已知函数()2423x
f x x =-()12f x ->-，则实数x 的取值范围是（）
A ．[]1,3-
B ．[]22-,
C ．()(),02,-∞+∞
D ．(0,2)
二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分。

9．若函数y x α=的定义域为R 且为奇函数，则α可能的值为（） A ．
23
B ．1
C ．
12
D ．3
10．一元二次方程240x x n ++=有正数根的充分不必要条件是（） A ．4n =
B ．5n =-
C ．1n =-
D ．0n <
11．已知0,1a b a b <<+=,则下列不等式中,正确的是( ) A ．2log 0a <B ．12
2
a b
-<
C ．24b a a b +<
D ．22log log 2a b +<-
12．函数()()()10x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩
为有理数为无理数，则下列结论正确的是( )
A ．()f x 是偶函数
B ．()f x 的值域是{}0,1
C ．方程()()()f
f x f x =的解只有1x =
D ．方程()()f f x x =的解只有1x =
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.
幂函数图像过点
(2，则()9f =_______.
14.已知函数()2
2
110f x x x x x ⎛⎫+
=+≠ ⎪⎝
⎭，，则函数()f x 的解析式是_______________. 15.设集合11{|()8}22
x
A x =<<，{|||1}
B x x a =+<．设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是
q 成立的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 16．设函数10()20x
x x f x x +≤⎧=⎨
>⎩
，，，，则满足1
()()12f x f x +->的x 的取值范围是________. 四．解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）
请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数m 存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由. 已知集合{
}{
}
2
22
|4120,|210,0A x x x B x x x m m =--≤=-+-≤>. （1）求集合,A B ；
（2）若x A ∈是x B ∈成立的______条件，判断实数m 是否存在？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（本小题满分12分） （1）证明对数的换底公式：log log log N
N
c a
a
c =，其中0,1,0,0, 1.a a N c c >≠>>≠ （2）利用对数的换底公式，计算11
125
89
235log log log .⨯⨯
19．（本小题满分12分）
已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万元，且
24006,040
()740040000,40x x R x x x
x -<⎧⎪
=⎨->⎪⎩，
（1）写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式；
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 20．（本小题满分12分）
已知函数(1)x
y a a =>在[1,2]上的最大值与最小值之和为20,记()2
x
x a f x a =+.
(1)求a 的值.
(2)证明:()(1)1f x f x +-=. (3)求1232019202020212021202120212021f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
+++++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值.
21．（本小题满分12分）
已知()f x 定义域为R ,对任意x ,y R ∈都有()()()1f x y f x f y +=+-,当0x >时,
()1f x <,(1)0f =.
（1）求(1)f -;
（2）试判断()f x 在R 上的单调性,并证明; （3）解不等式:2
(232)2()4f x x f x --+>.
22．（本小题满分12分）
设函数()()21x x
a t f x a
--=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数. （1）求t 的值；
（2）若()10f >，求使不等式(
)()2
10f kx x
f x -+-<对一切x ∈R 恒成立的实数k 的取值范
围；
（3）若函数()f x 的图象过点31,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
是否存在实数m ，使函数()22()x x
g x a a mf x -=+-在[]21,log 3上的最大值为1，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
2020年6月18日高中数学作业
一、 单选题
1．命题“2,10x R x x ∀∈++≥”的否定是（） A ．2
,10x R x x ∀∈++< B ．2
,10x R x x ∀∈++≤ C ．2000,10x R x x ∃∈++≤ D ．2
000,10x R x x ∃∈++<
【答案】D
2．已知{}0,1
2M =，，{}1,2,34N =，，则M N ⋂是（） A ．{}1,2 B ．{}0,1,2,3,4 C ．{}3,4 D ．{}0 【答案】A
3．若0,0,a b c d >><<则一定有（） A ．
a b
c d
> B ．
a b c d < C ．
a b d c
> D ．
a b d c
< 【答案】D 4．函数(01)||
x
xa
y a x =
<<的图像的大致形状是（） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B
5．设00a ,b ,>>且 1a b ,+=则12
a b
+的最小值为（） A ．322+B ．5
C ．6
D ．32
【答案】A
6．已知2
5
35a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，35
25b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，25
25c ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，则a ，b ，c 的大小关系为（）
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
【答案】C
7．已知函数1(2)12
()2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩
在()∞+∞－，
上对任意的12x x ≠都有1212
()()
0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．5(1,]3
B ．5[,2)3
C ．(1,2)
D ．(0,)+∞
【答案】B
8．已知函数()2423x
f x x =-()12f x ->-，则实数x 的取值范围是（）
A ．[]1,3-
B ．[]22-,
C ．()(),02,-∞+∞
D ．(0,2)
【答案】D
二、 多选题
9．若函数y x α
=的定义域为R 且为奇函数，则α可能的值为（）
A ．23
B ．1
C ．12
D ．3
【答案】BD
10．一元二次方程240x x n ++=有正数根的充分不必要条件是（ ） A ．4n = B ．5n =- C ．1n =- D ．0n <
【答案】BC
11．已知0,1a b a b <<+=,则下列不等式中,正确的是( ) A ．2log 0a < B ．12
2
a b
-< C ．
2
4b a
a b
+<
D ．22log log 2a b +<-
【答案】AD
12．函数()()()
10x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为有理数为无理数，则下列结论正确的是( ABD ) A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 的值域是{}0,1
C ．方程()()()f f x f x =的解只有1x =
D ．方程()()f f x x =的解只有1x =
【答案】ABD
三、 填空题 13.幂函数图像过点(
22，，则()9f =_______.
【答案】3
14.已知函数()2
2110f x x x x x ⎛⎫+=+≠ ⎪⎝⎭
，
，则函数()f x 的解析式是_______________. 【答案】()()
222f x x x x =≤-≥-2，
或 15.设集合11{|
()8}22
x
A x =<<，{|||1}
B x x a =+<．设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．
【答案】[]02，
16．设函数10()20x
x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，
则满足1
()()12f x f x +->的x 的取值范围是________. 【答案】1
(,)4
-+∞ 四、解答题
17．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数m 存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由. 已知集合{
}{
}
2
22
|4120,|210,0A x x x B x x x m m =--≤=-+-≤>. （1）求集合,A B ；
（2）若x A ∈是x B ∈成立的______条件，判断实数m 是否存在？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）{|26}A x x =-≤≤，{|11}B x m x m =-≤≤+（2）答案不唯一 【详解】
解：（1）由24120x x --≤得26x -≤≤，故集合{|26}A x x =-≤≤， 由22210x x m -+-=得121,1x m x m =-=+，
因为0m >，故集合{|11}B x m x m =-≤≤+；
（2）若选择条件①，即x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件，集合A 是集合B 的真子集， 则有12
16
m m -≤-⎧⎨
+≥⎩，解得5m ≥，
所以，实数m 的取值范围是[5,)+∞．
若选择条件②，即x A ∈是x B ∈成立的必要不充分条件，集合B 是集合A 的真子集，
则有1216
m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得03m <≤，
所以，实数m 的取值范围是(0,3]．
若选择条件③，即x A ∈是x B ∈成立的充要条件，则集合A 等于集合B
则有12
16
m m -=-⎧⎨+=⎩，方程组无解，
所以，不存在满足条件的实数m ．
18.（1）证明对数的换底公式：log log log N
N
c a
a
c =，其中0,1,0,0, 1.a a N c c >≠>>≠ （2）利用对数的换底公式，计算11125
89
2
35log
log log .⨯⨯
19．已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万元，且
24006,040()740040000,40x x R x x x
x -<⎧⎪
=⎨->⎪⎩，
（1）写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式；
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）2638440,040
40000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<⎪
=⎨--+>⎪⎩
；（2）当x ＝32时，W 取得最大值为6104万元.
【解析】
（1）利用利润等于收入减去成本，可得
当040x <时，2()(1640)638440W xR x x x x =-+=-+-； 当40x >时，40000
()(1640)167360W xR x x x x
=-+=-
-+ 2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<⎪
∴=⎨--+>⎪⎩
；
（2）当040x <时，226384406(32)6104W x x x =-+-=--+，
32x ∴=时，(32)6104max W W ==；
当40x >时，4000040000
16736027360W x x x
=--+-， 当且仅当
40000
16x x
=，即50x =时，(50)5760max W W == 61045760>
32x ∴=时，W 的最大值为6104万元．
20．已知函数(1)x
y a a =>在[1,2]上的最大值与最小值之和为20,记()2
x
x a f x a =+.
(1)求a 的值.
(2)证明:()(1)1f x f x +-=. (3)求1232019202020212021202120212021f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
+++++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值. 【答案】（1）4；（2）证明见解析；（3）2020 【详解】 （1）
x y a =为单调增函数2max min 20y y a a ∴+=+=，解得：4a =
（2）由（1）知：()442x
x f x =+()114
442414424242424
x
x x x x x f x --∴-====++⨯++ ()()42
114224
x x x
f x f x ∴+-=+=++ （3）令1232019202020212021202120212021S f f f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
=+++⋅⋅⋅++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
则2019120212021202120212020202011282S f f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+
++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
两式相加，由（2）可得：2220204040S =⨯=2020S ∴=
即12320192020202020212021202120212021f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
++⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
21．已知()f x 定义域为R ,对任意x ,y R ∈都有()()()1f x y f x f y +=+-,当0x >时,
()1f x <,(1)0f =.
（1）求(1)f -;
（2）试判断()f x 在R 上的单调性,并证明;
（3）解不等式:2
(232)2()4f x x f x --+>.
【答案】（1）(1)2f -=（2）()f x 在R 上单调递减，证明见解析；（3）1|12x x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩⎭
【详解】
（1）由题意，令x y 0==，得()()()f 0f 0f 01=+-，解得()f 01= 令x 1,y 1==-，得()()()f 0f 1f 11=+--，所以()f 12-=. （2）函数()f x 在R 上单调递减，证明如下： 任取12x ,x R ∈，且12x x <，
可得()()()()()()()1212111211f x f x f x f x x x f x f x x f x 1⎡⎤-=--+=--+-⎣⎦
()211f x x =--，
因为21x x 0->，所以()21f x x 1-<，所以()()12f x f x 0-> 即()()12f x f x >，所以()f x 在R 上单调递减.
（3）令y x =，得()()()f 2x f x f x 1=+-，∴()()2f x f 2x 1=+
∴()()()()()
2
2
2
f 2x 3x 22f x f 2x 3x 2f 2x 1f 2x 3x 22x 24--+=--++=--++>
∴(
)
2
f 2x x 22-->，又()f x 在R 上的单调且()f 12-=
∴()
()2
f 2x x 2f 1-->-，∴22x x 21--<-.
∴1x 12-
<<，即不等式解集为1x |x 12⎧⎫
-<<⎨⎬⎩⎭
22．设函数()()21x x
a t f x a
--=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数. （1）求t 的值；
（2）若()10f >，求使不等式(
)()2
10f kx x f x -+-<对一切x ∈R 恒成立的实数k 的取值范
围；
（3）若函数()f x 的图象过点31,2
⎛⎤ ⎥⎝⎦
，是否存在实数m ，使函数()22()x x
g x a a mf x -=+-在[]
21,log 3上的最大值为1，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）2t =，（2）31k -<<，（3）不存在，理由见解析 【详解】 （1）
()f x 是定义域为R 的奇函数，
()()f x f x ∴-=-对定义域内任意x 恒成立.
令x =0,则()00f =
2t ∴=；经检验知符合题意.
（2）由（1）得()x
x
f x a a -=-，
()10f >得1
0a a
-
>，又0a > 1a ∴>，
由(
)()2
10f kx x
f x -+-<得()()2
1f kx x f x -<--，
()f x 为奇函数，
()()21f kx x f x ∴-<-，
1a >，()x x
f x a a -∴=-为R 上的增函数，
21kx x x ∴-<-对一切x ∈R 恒成立，即()2
110x k x -++>对一切x ∈R 恒成立，
故()2
140k ∆=+-<解得31k -<<. （3）函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，
2a ∴=，假设存在实数m 符合题意，
由2a =得
()2222(22)x x x x g x m --=+--，
设22x x t -=-则()
()2
2222222x x
x x m t mt -----+=-+，
[]21,log 3x ∈，
38,23t ⎡⎤
∴∈⎢⎥⎣⎦
，记()22h t t mt =-+，
∴则函数()2
2h t t mt =-+在38,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
有最大值为1，
（i ）若对称轴25
212
m t =
>， ()max 3173
131242
6h t h m m ⎛⎫∴==-=⇒= ⎪⎝⎭，不合题意.
（ii ）若对称轴25
212
m t =
≤， ()max
2525212736
873241324m m m h t h m ⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨
⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩
，，
综上所述：故存在实数73
24
m =，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为1. .。