北师大版九下数学二次函数压轴题分类训练
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二次函数压轴题分类训练
类型1二次函数与相似三角形的存在性问题
1.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)P为线段BC上的一个动点,过P作PE垂直于x轴与抛物线交于点E,设P点横坐标为m,PE长度为y,请写出y与m的函数关系式,并求出PE的最大值;
(3)D为抛物线上一动点,是否存在点D使以A、B、D为顶点的三角形与△COB相似?若存在,试求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A,B两点,过A,B两点的抛物线为y=-x2+bx+c.点D为线段AB上一动点,过点D作CD⊥x轴于点C,交抛物线于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当DE=4时,求四边形CAEB的面积;
(3)连接BE,是否存在点D,使得△DBE和△DAC相似?若存在,求出D点坐标;若不存在,说明理由.
3.边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点D是边OA的中点,连接CD,点E在第一象限,且DE⊥DC,DE=DC.以直线AB为对称轴的抛物线过C,E两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从点C出发,沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动,运动时间为t秒.过点P作PF⊥CD 于点F.当t为何值时,以点P,F,D为顶点的三角形与△COD相似?
(3)点M为直线AB上一动点,点N为抛物线上一动点,是否存在点M,N,使得以点M,N,D,E 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
类型2 二次函数与平行四边形的存在性问题
1.如图,抛物线y =ax 2+bx +c 与坐标轴分别交于A (-3,0),B (1,0),C (0,3)三点,D 是抛物线顶点,E 是对称轴与x 轴的交点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)F 是抛物线对称轴上一点,且tan ∠AFE =12
,求点O 到直线AF 的距离; (3)点P 是x 轴上的一个动点,过P 作PQ ∥OF 交抛物线于点Q ,是否存在以点O ,F ,P ,Q 为顶点的平行四边形?若存在,求出P 点坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图,矩形OABC在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA =4,OC=3,若抛物线的顶点在BC边上,且抛物线经过O,A两点,直线AC交抛物线于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)若点M在抛物线上,点N在x轴上,是否存在以点A,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
3.如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C 两点,其中C点的横坐标为2.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)在抛物线的对称轴上找到点P,使得△PBC的周长最小,并求出点P的坐标;
(3)点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.
类型3二次函数与直角三角形的存在性问题
1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,直线y=kx+n(k≠0)经过B、C两点,已知A(1,0),C(0,3),且BC=5.
(1)分别求直线BC和抛物线的解析式(关系式);
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 的对称轴为x=-1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求线段BC所在直线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出此点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
3.已知抛物线E1:y=x2经过点A(1,m),以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2),点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′,B′.
(1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式;
(2)如图,在第一象限内,抛物线E1上是否存在点Q,使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图,P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点,连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′,求△P AA′与△P′BB′的面积之比.
类型4 二次函数与等腰三角形的存在性问题
1.如图,已知二次函数y 1=-x 2+134
x +c 的图象与x 轴的一个交点为A (4,0),与y 轴的交点为B ,过A 、B 的直线为y 2=kx +b .
(1)求二次函数y 1的解析式及点B 的坐标;
(2)由图象写出满足y 1<y 2的自变量x 的取值范围;
(3)在两坐标轴上是否存在点P ,使得△ABP 是以AB 为底边的等腰三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.
2.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,直线y=kx-1与抛物线交于A,C两点,其中A(-1,0),B(3,0),点C的纵坐标为-3.
(1)求k值;
(2)求抛物线的解析式;
(3)抛物线上是否存在点P,使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形?如果存在,写出所有满足条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
3.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交于x轴于A(-1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C(0,2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为抛物线的顶点,连接BC、CM、BM,求△BCM的面积;
(3)连接AC,在x轴上是否存在点P,使△ACP为等腰三角形;若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
类型5二次函数与图形面积问题
1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动.其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.当△PBQ存在时,求运动多少秒使△PBQ的面积最大,最大面积是多少?
(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使S△CBK∶S△PBQ=5∶2,求K点坐标.
2.如图所示,抛物线y =ax 2+bx (a <0)与双曲线y =k x
相交于点A 、B ,点A 的坐标为(-2,2),点B 在第四象限内,过点B 作直线BC ∥x 轴,直线BC 与抛物线的另一交点为点C ,已知直线BC 与x 轴之间的距离是点B 到y 轴的距离的4倍,记抛物线的顶点为E .
(1)求双曲线和抛物线的解析式;
(2)计算△ABC 与△ABE 的面积;
(3)在抛物线上是否存在点D ,使△ABD 的面积等于△ABE 的面积的8倍?若存在,请求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.
类型6二次函数与最值问题
1.如图,对称轴为直线x=2的抛物线经过A(-1,0),C(0,5)两点,与x轴另一交点为B,已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),点P是第一象限内的抛物线上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当a=1时,求四边形MEFP的面积最大值,并求此时点P的坐标;
(3)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形,求a为何值时,四边形PMEF周长最小?请说明理由.
2.如图,顶点为A的抛物线y=a(x+2)2-4交x轴于点B(1,0),连接AB,过原点O作射线OM∥AB,过点A作AD∥x轴交OM于点D,点C为抛物线与x轴的另一个交点,连接CD.
(1)求抛物线的解析式(关系式);
(2)求点A,B所在的直线的解析式(关系式);
(3)若动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿着射线OM运动,设点P运动的时间为t秒,问:当t为何值时,四边形ABOP分别为平行四边形?
(4)若动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段OD向点D运动,同时动点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动时间为t秒,连接PQ.问:当t为何值时,四边形CDPQ的面积最小?并求此时PQ的长.
类型7二次函数与根的判别式问题
1.如图,顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为2,连接AM、BM.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)判断△ABM的形状,并说明理由;
(3)把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点.若将(1)中抛物线平移,使其顶点为(m,2m),当m满足什么条件时,平移后的抛物线总有不动点?
类型8二次函数与圆
1.如图,已知以E(3,0)为圆心,以5为半径的⊙E与x轴交于点A,B两点,与y轴交于C点,抛物线y=ax2+bx+c经过A,B,C三点,顶点为F.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)求抛物线的解析式及顶点F的坐标;
(3)已知M为抛物线上一动点(不与C点重合).试探究:
①使得以A,B,M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等,求所有符合条件的点M的坐标;
②若探究①中的M点位于第四象限,连接M点与抛物线顶点F,试判断直线MF与⊙E的位置关系,并说明理由.
2.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l⊥y轴于点B(0,-2),A为OB的中点,以A为顶点的抛物线y=ax2+c(a≠0)与x轴分别交于C、D两点,且CD=4.点P为抛物线上的一个动点,以P为圆心,PO 为半径画圆.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若⊙P与y轴的另一交点为E,且OE=2,求点P的坐标;
(3)判断直线l与⊙P的位置关系,并说明理由.。