1.2.2复合函数的求导法则

y'x yu' u'x (eu )' 0.05x 1'
eu (0.05) 0.05e0.05x1.
例2 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ;
3 y sin x 其中 ,均为常数 .
(3)函数 y sin x 可以看作函数 y sin u
100 x
100 x
5284’(100－x) －5284 (100－x)’
=
(100－x)2
0 =
－5284× (－1) (100－x)2
5284 (100 x)2
c' x
(1)Q
c ' 90
5284
100 902
=52.84,
2Q
c'
98
5284
100 982
1321,
所以,纯净度为900/0时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨. 解: 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
如果通过变量u, y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数. 记作y=f(g(x)).
2.复合函数的求导法则:
复合函数y=f(g(x))的导数与y=f(u)和u=g(x)
的导数间的关系为
y
' x
yu'
u'x
y
' x
表示y对x的导数
例2 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ;
复习回顾
1. 基本初等函数的导数公式:
1. c ' 0
2. x ' x 1
3. (sin x)' cos x
4. (cos x)' sin x
5. (a x )' a x ln a ;
7.
(loga
x)'
1; x ln a
6. (e x )' e x ;
8. (ln x)' 1 . x
3 y sin x 其中 ,均为常数 .
解1函数y 2x 32 可以看作函数y u2
和u 2x 3的复合函数. 由复合函数求导法则有:
y
' x
yu'
u'x
(u2 )'(2x 3)'
=2u ×2
=4u 8x 12.
(2)函数y=e－0.05x＋1可以看作函数y=eu
和u=－0.05x＋1的复合函数. 由复合函数求导法则有:
Q c x 5284 , c ' x ( 5284 )'
100 x
100 x
5284’(100－x) －5284 (100－x)’
=
(100－x)2
0 =
－5284× (－1) (100－x)2
百度文库
5284 (100 x)2
c' x
(1)Q
c ' 90
5284
100 902
=52.84,
例5.设抛物线C1 : y x2 - 2x 2与抛物线 C2 : y - x2 ax b在它们的交点处的切线互相垂直. (1)求a, b之间的关系.
(2)若a 0, b 0,求ab的最大值.
解(1): 设C1与C2交点P(m,n),
nymx22--22mx 2
ky1' 22mx - 2
经过净化的.随着水纯净度的提高 , 所需净化费用不断增加.已知将1吨水 净化到纯净度为x%时所需费用
单位 :元为c x 5284 80 x 100 .
100 x 求净化到下列纯度时,所需净化费用
的瞬时变化率 :
1 90% ; 2 98%.
解: 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
Q c x 5284 , c ' x ( 5284 )'
2Q
c'
98
5284
100 982
1321,
所以,纯净度为900/0时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨. 所以,纯净度为980/0时,费用的瞬时变化率是1321元/吨. 纯净度为980/0时,费用的瞬时变化率约是
纯净度为900/0时的25倍.
复合函数的求导法则
1.复合函数的定义: 一般的, 对于两个函数y=f(u)和u=g(x),
2. 导数的运算法则:
1. f x g x ' f ' x g' x; 2. f x g x ' f ' x g x f x g' x;
推论: [c f ( x)]' c f ' x
3. [ f ( x)]' g( x)
f
'
x
g
x g x
f 2
x
g
'
x
g
x
0
.
例1 日常生活中的饮用水通常是
1 u
2
2. 2x 1
4 y 2x 3 ; 5 y ln(2x 1);
(6) y ( x 2)3(3 x 1)2 (6)函数 y ( x 2)3(3x 1)2 ,由复合函数求导法则有:
y ' [( x 2)3(3 x 1)2 ]' [( x 2)3 ]' (3 x 1)2 ( x 2)3 [(3x 1)2 ]' 3( x 2)2 (3x 1)2 ( x 2)3 2(3 x 1) 3 3( x 2)2 (3x 1)2 6( x 2)3(3x 1)
和 u x 的复合函数. 由复合函数求导法则有:
y
' x
yu' u'x
(sin u)' x '
cos u cos x .
4 y 2x 3 ; 5 y ln(2x 1);
(6) y ( x 2)3(3 x 1)2
1
1
(4)函数 y (2x 1)2 可以看作函数 y u2
例4.求过点P(－2,0)且与曲线y=x2＋x＋1相切的直线方程.
b=a2＋a＋1 …………(1)
y' 2x 1
kPA 2a 1 b
kPA a 2
b
P(－2,0)
2a 1
a2
b=2a2＋5a＋2 …………(2)
A(a,b)
2a2＋5a＋2 =a2＋a＋1 a2＋4a＋1=0
解出a即可。
和 u 2x 3 的复合函数. 由复合函数求导法则有:
y
' x
yu' u'x
1
(u2 )'
2x 3
'
1
1
u2
2
1
u2
2
1 2x 3
(5)函数 y ln(2 x 1) 可以看作函数 y ln u
和 u 2x 1 的复合函数. 由复合函数求导法则有:
y'x
yu' u'x
(ln u)'2x 1'
nymx2 amx bb ky2' 22xmaa
P(m,n)
(2m - 2)(2m a) 1
4m2－ 2(a＋2)m= 1 － 2a
m2 - 2m 2 m2 am b 42mm22－－2((aa＋＋22))mm==b2 －b －2 4