1.2.2复合函数的求导法则
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则1.基本公式：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的复合函数为$h(x)=f(g(x))$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$\frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{df}}{{dg}} \cdot\frac{{dg}}{{dx}}$$或者可以写成简洁的形式：$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$这个公式是复合函数导数的基本公式，也是后续运算法则的基础。
2.反函数法则：设有函数$y=f(x)$，如果$f(x)$的反函数存在且可导，那么反函数$f^{-1}(x)$的导数可以表示为：$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{{f'(f^{-1}(x))}}$$3.乘积法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的乘积为$h(x) = f(x) \cdot g(x)$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$这个公式可以直接应用于两个或多个函数的乘积的导数运算。
4.商法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的商为$h(x) =\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = \frac{{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}}{{(g(x))^2}}$$这个公式可以用于计算两个函数的商的导数。
5.复合函数的高阶导数：复合函数的高阶导数是指对复合函数进行多次求导的结果。
根据基本公式，我们可以计算复合函数的高阶导数。
例如，对于三次导数，我们可以应用基本公式三次，得到如下的表达式：$$h''(x) = [f'(g(x)) \cdot g'(x)]' = f''(g(x)) \cdot(g'(x))^2 + f'(g(x)) \cdot g''(x)$$类似地，我们可以计算更高阶的导数。
复合函数的求导法则,反函数的求导法则
数学分析（上）
2 g ( x ) ln x ,求 f ( x ) x 例10 设 ，
f [ g( x )] f [ g( x )]
解 f ( x ) 2 x
g[ f ( x )] g[ f ( x )]
f [ g( x )] 2 ln x
2 ln x f [ g ( x )] f [ g ( x )] g ( x ) x
2
1 1 1 y 2 2x 2 x 1 3( x 2)
x 1 2 x 1 3( x 2)
数学分析（上）
例8 y x ，求 y .
x
解
y x
x
e
x ln x
e
x ln x x ln x x ln x 1 x ln x 1 e
数学分析（上）
注意到:当x 0 时, 由 u ( x ) 的连续性
lim lim 0 可得 u 0, 从而 x 0 u 0
所以,令x 0 , 便有
dy du dy f ( u) ( x ) dx du dx
f [ ( x )] f [ ( x )] ( x )
第二节 §2 复合函数的求导法则 反函数的求导法则 一、复合函数的求导法则 定理1 (链式法则)如果 u ( x ) 在点 x 处可导，而函数 y f ( u) 在对应的点 u 处可 导，则复合函数 y f ( ( x )) 在点 x 处可导， 且
dy f ( u) ( x ) 或 dx
2
1 x 例5 y , 求 y . 1 x
例6 证明双曲函数的求导公式:
复合函数求导公式运算法则
复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。
2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。
3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。
4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。
5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。
下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。
例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。
解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。
1.2 反函数、复合函数、参数方程的导数
1 ln 2 (sin ) x 1
2
1.2 导数的计算
例 4．计算下列各题： 1 2 dy （1） y [ f (sin )] ，其中 f ( x ) 可导，求 。 x dx
(1 x )e x （2） y ln ，求 y(0) 。 arccos x
结论：若函数 y f ( x ) 在 x 可导，且 f ( x ) 0 ，则
复合而成。
1 2 1 dy dy du 1 2 2 . 2 2 2 x 1 2 ( x 1) x 1 dx du dx 1 u ( x 1) 1 ( ) x 1 9
1.2 导数的计算
（3） y ln x ，
dy 1 ； 解：当 x 0 时， y ln x ， dx x
17
1.2 导数的计算
x 2 ( x 1) （2） y 5 ； 3 4 (2 x ) ( x 3)
1 解： ln y [2ln x ln( x 1) 3ln(2 x) 4ln( x 3)] 5
1 1 2 2 3 ( 1) 4 y [ ] y 5 x x 1 2 x x 3
当 x 0 时， y ln( x ) 可看成由
y ln u ， u x 复合而成，
dy 1 1 1 ( 1) ( 1) ； dx u x x
1 ∴ (ln x ) 。 x
10
1.2 导数的计算
逐步求导法 —“由外往里，逐层求导 ”
例 2．求下列函数的导数
例如： y f (u) ， u g(v ) ， v k ( x ) 复合成函数
dy du dv y f { g[k ( x )]} ，且 , , 都存在，则 du dv dx
数学：1.2.2复合函数的求导法则教案
§1.2.2复合函数的求导法则教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授 复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ax x ax 22--的导数． 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716．四．课堂练习1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）122sin -=x x y ;(3))2(log 2-x a2.求)132ln(2++x x 的导数五．回顾总结六．布置作业。
1.2.2导数的计算(复合函数的导数)
法则3:两个函数的积的导数 等于第一个函数的导数乘第二个 法则 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 两个函数的积的导数 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 再除以第二个函 函数 减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即 数的平方 即:
f (x)′ f ′(x)g(x) − f (x)g′(x) (g(x) ≠ 0) g(x) = 2 [ g(x)]
'
y = y ⋅u
= e
( ) ⋅ (− 0.05x + 1)
u '
'
= −0.05eu = −0.05e −0.05 x +1.
(3)函数y = sin (πx + φ )可以看作函数y = sin u和
u = πx + φ的复合函数.
由复合函数求导法则有
' ' ' y x = yu ⋅ u x
例 3 日常生活中的饮用水 通常是 经过 净化的 .随着水 纯净度的提高 , 所需净化费 用不断增加.已知将1吨水净 用(单位 : 元 )为 化到纯净度为x%时所需费
5284 (80 < x < 100).求净化到下纯度 c( x ) = 100 − x 时, 所需净化费用的瞬时变化率 : (1) 90% ; (2)98% .
3
4). y = x 1 + x
2
( +2x2) 1+ x2 1 ' 4).y = 1+ x2
又y x = y u y u v x
' ' '
∴ yx =
'
1
ex + 2 ex = x 3((e x + 2 )2
复 合 函 数 的 求 导 法 则
复合函数的表示方法
记号表示
复合函数通常用记号F(u)来表示，其 中F表示外部函数，u表示内部函数的 输出。
具体表示
如果y=f(x)且u=g(y)，则复合函数可 以表示为z=f(g(y))或z=F(u)，其中 z=F(u)表示z是u的函数。
03
链式法则
链式法则的原理
链式法则是复合函数求导的重要法则之一，其原理是将复合 函数分解为多个基本函数，然后对每个基本函数分别求导， 再根据复合函数的复合关系，将各个基本函数的导数相乘， 得到复合函数的导数。
商的求导法则的原理
商的求导法则指出，对于两个函数的商，其 导数等于被除函数的导数除以除函数的导数 。即 (u/v)' = (u'v - uv') / v^2。
这个法则的原理基于函数的商的性质，即当 两个函数同时变化时，其商的变化率满足特
定的关系。
商的求导法则的应用示例
假设有两个函数 f(x) = x^2 和 g(x) = sin(x)，我们需要 求它们的商函数 f(g(x)) = x^2 / sin(x) 的导数。
进一步学习高阶导数、隐 函数求导等更深入的数学 知识，为后续学习打下基 础。
THANKS
感谢观看
乘积法则
在求导过程中，将复合函数的中间变 量与常数相乘，并使用乘积法则进行 求导。
反函数求导法则
对于反函数，使用反函数求导法则进 行求导。
学习建议与展望
熟练掌握复合函数的求导 法则，能够快速准确地求 出复合函数的导数。
了解复合函数在实际问题 中的应用，如经济学、物 理学等领域。
ABCD
在学习过程中，多做练习 题，加深对复合函数求导 法则的理解和掌握。
表示
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。
复合函数求导法则公式
复合函数求导法则公式1.链式法则：链式法则是用于求解复合函数导数的基本法则。
设y=f(u)，u=g(x)为两个可导函数，且y=f(u)和u=g(x)均是一对一函数，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则求得。
链式法则的公式为：dy/dx=dy/du * du/dx其中，dy/du表示函数y=f(u)对u的导数，du/dx表示函数u=g(x)对x的导数。
例如，设y=sin(x^2)，我们需要求解dy/dx。
首先，令u=x^2，y=sin(u)，则dy/du=cos(u)=cos(x^2)。
其次，求解du/dx=2x。
最后，根据链式法则，dy/dx=dy/du * du/dx = cos(x^2) * 2x = 2x*cos(x^2)。
2.乘积法则：乘积法则用于求解两个函数乘积的导数。
设y=u*v为两个可导函数的乘积，则乘积函数y=u*v的导数可以通过乘积法则求得。
乘积法则的公式为：dy/dx = u * dv/dx + v * du/dx例如，设y=x*sin(x)，我们需要求解dy/dx。
根据乘积法则，将u=x，v=sin(x)代入上述公式，dy/dx = x * cos(x) + sin(x)。
3.商规则：商规则用于求解两个函数的商的导数。
设y=u/v为两个可导函数的商，则商函数y=u/v的导数可以通过商规则求得。
商规则的公式为：dy/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2例如，设y=(x^2+1) / x，我们需要求解dy/dx。
根据商规则，将u=x^2+1，v=x代入上述公式，dy/dx = ((x) * (2x) - (x^2+1) * (1)) / (x^2)^2 = (x^2 - 1) / x^4小结：复合函数求导法则包括链式法则、乘积法则和商规则。
链式法则适用于求解复合函数的导数，乘积法则适用于求解两个函数乘积的导数，商规则适用于求解两个函数的商的导数。
高等数学《复合函数的求导法则》
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
例：z f (u,v, w) , u u(t ) , v v(t ) , w w(t ) ,
则 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
f
(
xy,
x y
)，f
可微，求
z
x
和
z
y
.
解
zx
f1
y
f
2
(
1 y
)
y
f1
1 y
f2 .
zy
f1 x
f2
(
1 y2
)
x
f1
x y2
f2 .
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
(2) 设u ( x, y)、v ( x, y)、w w( x, y)
都在点( x, y)具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
2、全微分形式不变性 ( 理解其实质 ) 3、求复合函数偏导数时，由于复合关系比较复 杂，用链式法则求偏导数时，首先要搞清楚哪些 是自变量，哪些是中间变量，其次要分清是求偏 导数或是全导数.
总结：
1、多元函数偏导数的类型很多，有求偏导数， 有证明偏导数存在，有讨论可微与连续及与偏 导数的关系问题.
——全导数公式
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t); 由于函数z f (u, v)在点(u,v)有连续偏导数
z zuu zvv 1u 2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
zu
u t
zv
v t
1.2.2复合函数求导法则
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过
“复合”得到的.
例如,y
2
x
32
可以看成是由
y u2 和u 2x 3“复合”而成.
1.复合函数的概念:
一般地，对于两个函数 y = f (u)， u = g(x)， 如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称 这个函数为y = f (u)和 u = g(x)的复合函数，记 作y = f (g (x))
（1） y 1 (2 5x)10 x
(2) y sin3 x sin x3
(2)y′=(sin3x+sinx3)′ =(sin3x)′+(sinx3)′ =3sin2x·(sinx)′+cosx3·(x3)′ =3sin2xcosx+3x2cosx3.
检测提升
检测提升
小结
（1）运用复合函数求导法则的关键 在于把复合函数分解成基本初等函数或 基本初等函数的四则运算。
ux (1 x2 ) 2x
所以
yx 2
1 (1 x2 )
(2x)
x 1 x2
练习:求下列函数 的导数
（1） y = sin2 x
?
(2) y = sinx2 （1）将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成.
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
（2）求导后必须把引进的中间变量 代换成原来自变量的式子，熟练后可不 必写出中间变量，直接：“由外向内、 逐层求导”。
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
17
（2）将 y = sin x2 看成是由 y = sin u，u = x2复合而成.
复合函数求导法则
复合函数求导法则复合函数是由两个或多个函数构成的函数，形式为f(g(x))，其中g(x)是一个函数，f(u)是一个与u相关的函数。
在求复合函数的导数时，我们可以使用复合函数求导法则，该法则有三个部分：链式法则，反链式法则和迭代法则。
1.链式法则：链式法则适用于复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个内层函数，f(u)是一个外层函数。
链式法则的公式如下：[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)例如，我们考虑函数f(u) = sin(u^2)，其中g(x) = x^2、我们先计算g'(x)，然后计算f'(u)，最后使用链式法则计算出f(g(x))的导数。
首先，计算g'(x)如下：g'(x)=2x接下来，计算f'(u)如下：f'(u) = cos(u^2) * 2u最后，使用链式法则计算f(g(x))的导数如下：[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)= cos((x^2)^2) * 2(x^2)= cos(x^4) * 2x^2所以，f(g(x)) = sin(x^4) 的导数为 cos(x^4) * 2x^22.反链式法则：反链式法则适用于复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个外层函数，f(u)是一个内层函数。
反链式法则的公式如下：[f(g(x))]'=f'(u)*u'例如，我们考虑函数f(u) = u^3，其中g(x) = sin(x)。
我们可以直接计算出g'(x)和f'(u)，然后使用反链式法则计算出f(g(x))的导数。
首先，计算g'(x)如下：g'(x) = cos(x)接下来，计算f'(u)如下：f'(u)=3u^2最后，使用反链式法则计算f(g(x))的导数如下：[f(g(x))]'=f'(u)*u'= 3(sin(x))^2 * cos(x)= 3sin^2(x) * cos(x)所以，f(g(x)) = sin^3(x) 的导数为 3sin^2(x) * cos(x)。
§1.2.2 复合函数求导
§1.2.2 复合函数求导 校对人：聂格娇 审核人：刘励钧复合函数的分解，求复合函数的导数.1617复习1：求)4(23-=x x y 的导数复习2：求函数2(23)y x =+的导数二、新课导学※ 学习探究探究任务一：复合函数的求导法则问题：求(sin 2)x '=?解答：由于(sin )cos x x '=，故(sin 2)cos 2x x '= 这个解答正确吗?新知：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作：(())y f g x =复合函数的求导法则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.用公式表示为： ，其中u 为中间变量.即： y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.试试：(sin 2)x '=反思：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。
※ 典型例题例1 求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+； （2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中π，ϕ均为常数）变式：求下列函数的导数：（1）cos 3x y =； （2）y小结：复合函数的求导不仅可以推广到三重，还可推广到四重、五重.例2 求描述气球膨胀状态的函数()r V =.小结：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。
※ 动手试试练1. 函数()r V 可以看成是哪两个函数的复合?练2. 一个距地心距离为r ，质量为m 的人造卫星，与地球之间的万有引力F 由公式2GMm F r=给出，其中M 为地球的质量，G 为常量，求F 对于r 的瞬时变化率.三、总结提升※ 学习小结1. 会分解复合函数.2. 会求复合函数的导数. '''x u x u y y ∙=；其中u 为中间变量.即：y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.※ 知识拓展人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设2sin y x =，则y '=（ ）A ．sin 2xB ．2sin xC ．22sin xD ．2cos x2. 已知()ln(f x x =，则()f x '是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数3. 若函数3()log ()(0,1)a f x x ax a a =->≠在区间1(,0)2-内单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．1[,1)4B ．3[,1)4C ．9(,)4+∞D ．9(1,)4 4. 2(log (23))x '-+=5. (lg tan )x '=1. 求下列函数的导数；（1）99(1)y x =+； （2）2x y e -=；（3）2sin(25)y x x =+2. 求下列函数的导数；（1）2tan y x x =； （2）32(2)(31)y x x =-+；（3）2ln x y x =； （4）23(21)x y x =+。
§1.2.2复合函数的求导法则
§1.2.2复合函数的求导法则学习目标： 理解并掌握复合函数的求导法则．学习重点： 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．学习难点： 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确． 教学过程：一、复习引入：1.基本初等函数的导数公式：2.运算法则：___________（1）[]'±)()(x g x f =_____________ ；___________推广：[]'+++)()()(21n x f x f x f = ___________ ； ___________（2）[]'⋅)()(x g x f = ； ___________推广：[]=')(x cf （c R ∈）； ___________（3）'⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(x g x f = .； ___________二、讲解新课：1.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量．2.试用两种方法求函数2(32)y x =-的导数3.复合函数的导数的求导法则：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u ) ϕ′(x ).即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数4.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 三．相关例子：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？⑴32)2(x y -=； ⑵2sin x y =； ⑶)4cos(x y -=π； ⑷)13ln(-=x y ．练习：写出由下列函数复合而成的函数：⑴u y cos =，21x u +=； ⑵u y ln =，x u ln =．例2：求下列复合函数的导数：（1）5)12(+=x y （2）f (x )=sin x 2 （3）y=sin(ϕπ+x ) （4）105.0+-=x e y练习：求下列函数导数：（1）)23ln(+=x y （2）331x y -= （3） y =51xx- (4)y =(2x 3+x )2例3:求下列函数导数： (1) y =(2x 2－3)21x + (2) y =(x 2－3x +2)2sin3x课后练习：求下列函数的导数 (1)122sin -=x x y ; (2))2(log 2-x a (3))132ln(2++x x (4) 4)31(1x y -=。
1.2.2复合函数的求导法则(第二课时)
1 8. (ln x ) . x
'
2. 导数的运算法则:
1. f x g x ' f ' x g ' x ; 2. f x g x ' f ' x g x f x g ' x ;
y y u (e u )' 0.05 x 1 ' 0.05 x 1 u ( 0.05) 0.05e . e
' x ' u ' x
例2 求下列函数的导数
1 y 2 x 3 ; 2 y e 0.05 x 1 ; 3 y sin x 其中 , 均为常数 .
U∈D
2.复合函数的导数: 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x) f x[ ( x)] f (u) ( x). 的导数间关系为 yx y u ux ; 或 注:1)y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数 的乘积. 如:求函数y=(3x-2)2的导数, 令y=u2,u=3x-2, 2u , ux 3, 从而 yx y 则 yu u ux 18 x 12 2)法则可以推广到两个以上的中间变量.
推论: [c f ( x )]' c f ' x
f ' x g x f x g ' x f ( x) g x 0 . 3. [ ]' 2 g( x ) g x
复合函数的求导法则
二、新课——复合函数的导数：
复习回顾
1. 基本初等函数的导数公式:
1. c ' 0
复合函数的求导法则公式
复合函数的求导法则公式复合函数是由两个或多个函数组合成的一个函数，求导时需要运用复合函数的求导法则公式。
下面将详细介绍复合函数的求导法则公式。
1. 基本公式设函数y=f(u)，u=g(x)，则复合函数 y=f[g(x)] 的导数为：$$ \\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d} u} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d} x}=f'(u)g'(x) $$其中，$f'(u)$表示函数f(u)对u的导数，$g'(x)$表示函数g(x)对x的导数。
例如，设 $f(u) = u^2$，$g(x) = 3x +1$，则$$ y=f[g(x)]=f(3x+1)=(3x+1)^2 $$根据复合函数的求导法则公式，可得：$$ \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d}x}=\\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d}u}\\cdot \\frac{\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d}x}=2u\\cdot3=6(3x+1) $$所以，$y' = \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d}x} = 6(3x+1)$。
2. 链式法则复合函数的求导法则也可以用链式法则表示为：$$ \\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d} u} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} u_1} \\cdot \\frac {\\mathrm{d}u_1}{\\mathrm{d} u_2} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_2}{\\mathrm{d}x}=\\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} u_1} \\cdot \\frac {\\mathrm{d}u_1}{\\mathrm{d} u_2} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_2}{\\mathrm{d}u_3}\\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_3}{\\mathrm{d} x}=\\cdots $$其中，$u_1,g^{(1)}(x)$表示通过一次代换得到的新函数，$u_2,g^{(2)}(x)$表示通过第二次代换得到的新函数，$u_3,g^{(3)}(x)$表示通过第三次代换得到的新函数，$\\cdots$表示通过n次代换得到的新函数，$y=f(u)$。
第一章-§1.2-§1.2.2复合函数求导
· 素
两个函数的积的导数 [f(x)·g(x)]′＝_f_′(_x_)_g_(_x_)＋__f_(_x_)_g_′(_x)
短 板 补
救 案 · 素
养
养
养 成
gf（（xx））′＝
培 优
两个函数的商的导数 f′（x）g（x）－f（x）g′（x）
课 堂
___________[_g_（__x_）__]_2_________
课 后
探 究
(g(x)≠0)
提 升
案
案
·
·
素
素
养
养
提
达
升
成
菜单
数学(A)·选修2-2
第一章 导数及其应用
课 前
(1)和(差)导数公式的拓展
短 板
预 习
①可以推广到有限个函数的和(或差)的情形：
补 救
案 · 素
若y＝f1(x)±f2(x)±…±fn(x)，
案 · 素
养 养
则y′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)．
养 培
成
优
（1）y=sin x; (2) y 4x 2x 1;
课
课
堂 探
(3) y cos2 (3x 6);
后 提
究
升
案
案
·
·
素
素
养
养
提
达
升
成
菜单
数学(A)·选修2-2
第一章 导数及其应用
课
短
前 预
知识点二 复合函数的 求导法则
板 补
习
救
案 ·
【问题2】
计算函数y＝cos(3x－1)的导数，试述复
复合函数的求导法则
§1.2.2复合函数的求导法则教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表函数导数（二）导数的运算法则导数运算法则1．2．3．（2）推论：（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作。
复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则 三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例2求y ＝的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－sin 22 x＝1－（1－cos 4 x ）＝＋41cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为＝．四．课堂练习1．求下列函数的导数(1) y=sin x3+sin33x；（2）;(3)2.求的导数五．回顾总结六．布置作业内容总结。
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和 u 2x 3 的复合函数. 由复合函数求导法则有:
y
' x
yu' u'x
1
(u2 )'
2x 3
'
1
1
u2
2
1
u2
2
1 2x 3
(5)函数 y ln(2 x 1) 可以看作函数 y ln u
和 u 2x 1 的复合函数. 由复合函数求导法则有:
y'x
yu' u'x
(ln u)'2x 1'
y'x yu' u'x (eu )' 0.05x 1'
eu (0.05) 0.05e0.05x1.
例2 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ;
3 y sin x 其中 ,均为常数 .
(3)函数 y sin x 可以看作函数 y sin u
Q c x 5284 , c ' x ( 5284 )'
100 x
100 x
5284’(100－x) －5284 (100－x)’
=
(100－x)2
0 =
－5284× (－1) (100－x)2
5284 (100 x)2
c' x
(1)Q
c ' 90
5284
100 902
=52.84,
nymx2 amx bb ky2' 22xmaa
P(m,n)
(2m - 2)(2m a) 1
4m2－ 2(a＋2)m= 1 － 2a
m2 - 2m 2 m2 am b 42mm22－－2((aa＋＋22))mm==b2 －b －2 4
复习回顾
1. 基本初等函数的导数公式:
1. c ' 0
2. x ' x 1
3. (sin x)' cos x
4. (cos x)' sin x
5. (a x )' a x ln a ;
7.
(loga
x)'
1; x ln a
6. (e x )' e x ;
8. (ln x)' 1 . x
2Q
c'
98
5284
100 982
1321,
所以,纯净度为900/0时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨. 所以,纯净度为980/0时,费用的瞬时变化率是1321元/吨. 纯净度为980/0时,费用的瞬时变化率约是
纯净度为900/0时的25倍.
复合函数的求导法则
1.复合函数的定义: 一般的, 对于两个函数y=f(u)和u=g(x),
1 u
2
2. 2x 1
4 y 2x 3 ; 5 y ln(2x 1);
(6) y ( x 2)3(3 x 1)2 (6)函数 y ( x 2)3(3x 1)2 ,由复合函数求导法则有:
y ' [( x 2)3(3 x 1)2 ]' [( x 2)3 ]' (3 x 1)2 ( x 2)3 [(3x 1)2 ]' 3( x 2)2 (3x 1)2 ( x 2)3 2(3 x 1) 3 3( x 2)2 (3x 1)2 6( x 2)3(3x 1)
3 y sin x 其中 ,均为常数 .
解1函数y 2x 32 可以看作函数y u2
和u 2x 3的复合函数. 由复合函数求导法则有:
y
' x
yu'
u'x
(u2 )'(2x 3)'
=2u ×2
=4u 8x 12.
(2)函数y=e－0.05x＋1可以看作函数y=eu
和u=－0.05x＋1的复合函数. 由复合函数求导法则有:
100 x
100 x
5284’(100－x) －5284 (100－x)’
=
(100－x)2
0 =
－5284× (－1) (100－x)2
5284 (100 x)2
c' x
(1)Q
c ' 90
5284
100 902
=52.84,
2Q
c'
98
5284
100 982
1321,
所以,纯净度为900/0时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨. 解: 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
2. 导数的运算法则:
1. f x g x ' f ' x g' x; 2. f x g x ' f ' x g x f x g' x;
推论: [c f ( x)]' c f ' x
3. [ f ( x)]' g( x)
f
'
x
g
x g x
f 2
x
g
'
例1 日常生活中的饮用水通常是
经过净化的.随着水纯净度的提高 , 所需净化费用不断增加.已知将1吨水 净化到纯净度为x%时所需费用
单位 :元为c x 5284 80 x 100 .
100 x 求净化到下列纯度时,所需净化费用
的瞬时变化率 :
1 90% ; 2 98%.
解: 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
Q c x 5284 , c ' x ( 5284 )'
例5.设抛物线C1 : y x2 - 2x 2与抛物线 C2 : y - x2 ax b在它们的交点处的切线互相垂直. (1)求a, b之间的关系.
(2)若a 0, b 0,求ab的最大值.
解(1): 设C1与C2交点P(m,n),
nymx22--22mx 2
ky1' 22mx - 2
如果通过变量u, y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数. 记作y=f(g(x)).
2.复合函数的求导法则:
复合函数y=f(g(x))的导数与y=f(u)和u=g(x)
的导数间的关系为
y
' x
yu'
u'x
y
' x
表示y对x的导数
例2 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ;
和 u x 的复合函数. 由复合函数求导法则有:
y
' x
yu' u'x
(sin u)' x '
cos u cos x .
4 y 2x 3 ; 5 y ln(2x 1);
(6) y ( x 2)3(3 x 1)2
1
1
(4)函数 y (2x 1)2 可以看作函数 y u2
例4.求过点P(－2,0)且与曲线y=x2＋x＋1相切的直线方程.
b=a2＋a＋1 …………(1)
y' 2x 1
kPA 2a 1 b
kPA a 2
b
P(－2,0)
2a 1
a2
b=2a2＋5a＋2 …………(2)
A(a,b)
2a2＋5a＋2 =a2＋a＋1 a2＋4a＋1=0
解出a即可。