人教A版高中数学高二选修1-1课后训练2.3.2.1抛物线的简单几何性质
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课后提升训练十六
抛物线的简单几何性质
(45分钟70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.在抛物线y2=2px上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为( )
A. B.1 C.2 D.4
【解析】选C.y2=2px的准线为x=-,
所以+4=5,p=2.
2.经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线l的方程是( )
A.6x-4y-3=0
B.3x-2y-3=0
C.2x+3y-2=0
D.2x+3y-1=0
【解析】选A.设直线l的方程为3x-2y+c=0,抛物线y2=2x的焦点F,
所以3×-2×0+c=0,
所以c=-,故直线l的方程是6x-4y-3=0.
3.(2017·衡水高二检测)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右
焦点重合,则p的值为( )
A.-2
B.2
C.-4
D.4
【解析】选D.椭圆+=1的右焦点为(2,0),
所以=2,所以p=4.
4.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0= ( )
A.4
B.2
C.1
D.8
【解析】选C.如图,F,过A作AA′⊥准线l,所以|AF|=|AA′|,所以x0=x0+=x0+,所以x0=1.
5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=
( ) A. B. C.- D.-
【解析】选D.由得x2-5x+4=0,
所以x=1或x=4.不妨设A(4,4),B(1,-2),
则||=5,||=2,·=(3,4)·(0,-2)=-8,所以cos∠AFB
===-.
6.(2017·全国甲卷)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( )
A. B.2
C.2
D.3
【解析】选C.由题意知,MF:y=(x-1),与抛物线y2=4x联立得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3,所以M(3,2),因为MN⊥l,所以N(-1,2),
又F(1,0),所以NF:y=-(x-1),
即x+y-=0,
所以M到直线NF的距离为
=2.
【补偿训练】设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是( )
A.(0,2)
B.[0,2]
C.(2,+∞)
D.[2,+∞)
【解析】选C.因为x2=8y,所以焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y=-2.由抛物线的定义知|FM|=y0+2.
以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.
由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,
又圆心F到准线的距离为4,故4<y0+2,
所以y0>2.
7.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】选B.以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理可得.设抛物线为y2=2px(p>0),设圆的方程为x2+y2=r2,题目条件翻译如图:
设A(x0,2),D,
点A(x0,2)在抛物线y2=2px上,所以8=2px0. ①
点D在圆x2+y2=r2上,
所以5+=r2. ②
点A(x 0,2)在圆x2+y2=r2上,所以+8=r2. ③
联立①②③解得:p=4,焦点到准线的距离为p=4.
8.(2017·天津高二检测)若抛物线x2=2y上距离点A(0,a)的最近点恰好是抛物线的顶点,则a的取值范围是( )
A.a>0
B.0<a≤1
C.a≤1
D.a≤0
【解析】选 C.设抛物线上任一点P的坐标为(x,y),则|PA|2=d2=x2+(y-a)2=2y+(y-a)2=y2-(2a-2)y+a2=[y-(a-1)]2+(2a-1 ).
因为y∈[0,+∞),根据题意知,
(1)当a-1≤0,即a≤1,y=0时,=a2.这时d min=|a|.
(2)当a-1>0,即a>1时,y=a-1时d2取到最小值,不符合题意.
综上可知a≤1.
【易错警示】忽视了y的取值范围是[0,+∞),只想到当点在y轴负半轴时,d最小,导致错选D,或胡乱猜测以致错选B.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·青岛高二检测)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________. 【解析】由于x2=2py(p>0)的准线为y=-,
由
解得准线与双曲线x2-y2=3的交点为
A,B,
所以AB=2.
由△ABF为等边三角形,得AB=p,解得p=6.
答案:6
10.(2017·长春高二检测)已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在
y轴上射影是M,点A(4,6),则|PA|+|PM|的最小值是________. 【解题指南】将P到y轴的距离,转化为点P到焦点的距离,当A,P,F 共线时,|PA|+|PM|最小.
【解析】由y2=4x,得p=2,所以焦点F(1,0),如图,
|PM|=|PN|-=|PF|-1,
所以|PA|+|PM|
=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1
=-1=3-1.
答案:3-1
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·吉林高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,
△AOB的面积为,求抛物线的标准方程.
【解题指南】由双曲线离心率求得其渐近线方程,从而求得交点A,B 的坐标,即可得到三角形面积表达式,从而得到p的值,进而写出标准方程.
【解析】由已知得=2,所以=4,解得=,
即渐近线方程为y=±x.
而抛物线准线方程为x=-,
于是A,B,
从而△AOB的面积为·p·=,可得p=2.因为抛物线开口向右,所以其标准方程为y2=4x.
12.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点A是抛物线上一点,且∠AFO=120°(O为坐标原点),AK⊥l,垂足为K,求△AKF的面积.
【解析】如图,设A(x0,y0),过A作AH⊥x轴于H,
在Rt△AFH中,|FH|=x0-1,由∠AFO=120°,得∠AFH=60°,故y 0=|AH|=(x0-1).所以点A的坐标为(x0,(x0-1)),
将此代入抛物线方程可得3-10x 0+3=0,
解得x0=3或x0=(舍),
故S △AKF=×(3+1)×2=4.
【能力挑战题】
已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,准线为l,抛物线C上一点A的横坐标为3,且点A到准线l的距离为5.
(1)求抛物线C的方程.
(2)若P为抛物线C上的动点,求线段FP的中点M的轨迹方程.
【解析】(1)由题意得,3+=5,所以p=4,
所以抛物线的方程为y2=8x.
(2)由(1)知F(2,0),设P(x0,y0),M(x,y),
则即
而点P(x 0,y0)在抛物线C上,=8x0,
所以(2y)2=8(2x-2),即y2=4(x-1),
此即为所求点M的轨迹方程.
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