(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.4.2 第1课时

数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
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设垂足为 C(2,1)，则 kOC＝12－ －00＝12，而连接垂足和焦点 的斜率为：052－ －12＝－2，由 2×－12＝－1 可知两者垂直，适 合题意．
答案： ②⑤
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第二章 圆锥曲线与方程
答案： y2＝±6x
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4．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原 点，若|OA|＝|OB|，且△ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F，求 直线AB的方程．
解析： 抛物线的焦点 Fp2，0. ∵抛物线关于 x 轴对称，|OA|＝|OB|，
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2．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线的横坐标为1 的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径长为5；⑤由原点向 过焦点的某条直线作垂线，垂足为(2,1)． 适合抛物线y2＝10x的条件是________(要求填写合适条件 的序号)．
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(4)抛物线的焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴，焦点 到准线的距离为 p，它是一个不变量，不随抛物线位置的变 化而变化，焦点与准线分别在顶点的两侧，且顶点到它们的 距离相等，均为p2.
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1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性 质．
2．通过对抛物线的简单几何性质的学习，进一步体会数 形结合思想在解题中的应用，并能应用几何性质解决有关问 题．
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抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题 时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含 条件，例2的关键是根据对称性求出线段|AB|的长，进而表示面 积求出m.
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2.4 抛物线
2.4.2 抛物线的简单几何性质
第一课时 抛物线的简单几何性质
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第二章 圆锥曲线与方程
1．抛物线有几个焦点？ [提示] 抛物线有1个焦点． 2．抛物线有点像双曲线的一支，抛物线有渐近线吗？ [提示] 抛物线没有渐近线． 3．抛物线的顶点与椭圆、双曲线有什么不同？ [提示] 抛物线的顶点只有一个， 椭圆的顶点有4个． 双曲线的顶点有2个．
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_0_，__－__p2 __y_＝__p2_
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类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
范围 _x≥__0_，__y∈__R__ x≤_0_，__y_∈__R___ y≥_0_，__x_∈__R___ y≤_0_，__x_∈__R___
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抛物线的性质在求最值中的应用
已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y轴与 直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B求|PA|＋|PB|的最小 值．
思路点拨：
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设交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)， 则|y1|＋|y2|＝2 3，即 y1－y2＝2 3， 由对称性知 y2＝－y1，∴y1＝ 3. 将 y1＝ 3代入 x2＋y2＝4 得 x＝±1，
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8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.
答案： D
数学 选修2-1第二章 Leabharlann 锥曲线与方程自主学习 新知突破
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3．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程 是________．
解析： 设抛物线的方程为 y2＝2ax，则 Fa2，0. ∴|y|＝ 2a×a2＝ a2＝|a|. 由于通径长为 6，即 2|a|＝6，∴a＝±3. ∴适合题意的抛物线方程为 y2＝±6x.
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(2)∵抛物线的焦点在坐标轴上，故直线 x－2y－4＝0 与 坐标轴的交点即为抛物线的焦点，令 x＝0，得 y＝－2；令 y ＝0，得 x＝4，
∴抛物线的焦点坐标为(4,0)或(0，－2)． 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方 程为 y2＝16x，准线方程为 x＝－4； 当焦点为(0，－2)时，p2＝2，∴p＝4，此时抛物线的标 准方程为 x2＝－8y，准线方程为 y＝2. 故所求抛物线的标准方程为 y2＝16x 或 x2＝－8y.
∴直线 AB 的方程为 x＝52p.
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求抛物线的标准方程
已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴， 且与圆 x2＋y2＝4 相交的公共弦长等于 2 3，求这条抛物线的 方程．
－y＋4＝0 的距离减去 1.
此时 d＝|1－02＋4|＝522，
8分
∴|PA|＋|PB|的最小值为5 2 2－1.
11 分
综上所述，|PA|＋|PB|最小值为5 2 2－1.
12 分
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与抛物线最值有关的问题的解题技巧 与抛物线有关的最值问题，除了利用抛物线的定义，使用 几何法求解外，也可根据题目条件转化为求函数的最值问题， 但应注意抛物线的范围，同时注意设点技巧．
p2＝1.
如图，延长 PA 交准线 l 于 A′，焦点 F(1,0)， 2分
|PA|＋|PB|＝|PA′|－1＋|PB|
＝|PF|＋|PB|－1.
6分
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当 F，P，B 共线时，|PA|＋|PB|最小，即转化为 F 到 x
思路点拨： 因为圆和抛物线都关于 x 轴对称，所以它 们的交点也关于 x 轴对称，即公共弦被 x 轴垂直平分，于是 由弦长等于 2 3，可知交点纵坐标为± 3.
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如图，设所求抛物线的方程为y2＝2px(p＞0) 或y2＝－2px(p＞0)，
对称 轴
性 顶点 质 离心
率
_x_轴___
_原__点__(0_,_0_)__ e＝1
__y_轴___
开口 方向
_向__右___
向__左____
向__上____
_向__下___
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抛物线的性质特点 (1)抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准 线，无对称中心，因此，抛物线又称为无心圆锥曲线． (2)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸， 但它没有渐近线． (3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该 点到准线的距离的比，所以抛物线的离心率是确定的，为1.
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解析： 抛物线 y2＝10x 的焦点在 x 轴上，所以①不正 确；又抛物线 y2＝10x 的准线为 x＝－52，横坐标为 1 的点到 焦点的距离为：1＋52＝72≠6，所以③不正确；抛物线的通径 长为：2p＝10≠5，所以④不正确．
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1．抛物线 y＝4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点
M 到 x 轴的距离是( )
17
7
A.16
B.8
C．1
15 D.16
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解析： 抛物线方程可化为 x2＝14y，其准线方程为 y＝ －116，点 M 到焦点的距离等于点 M 到准线的距离．∴点 M 到 x 轴的距离是1156.
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抛物线的几何性质
类型
y2＝2px(p>0)
y2＝－ 2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－ 2py(p>0)
图象
性 焦点 质 准线
_p2_，__0__ x_＝__－__2p_
_－__p2_，__0 _x_＝__p2__
__0_，__p2_ y_＝__－__2p_
∴点(1， 3)，(－1， 3)分别在抛物线 y2＝2px，y2＝－ 2px 上．
∴3＝2p 或 3＝(－2p)×(－1)，p＝32. 故所求抛物线的方程为 y2＝3x 或 y2＝－3x.
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用待定系数法求抛物线的标准方程，其主要 解答步骤归结如下：
答案： D
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2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的
抛物线方程是( )
A．x2＝16y
B．x2＝8y
C．x2＝±8y
D．x2＝±16y
解析： 顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两
个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝
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抛物线几何性质的应用
已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x 轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积 等于4，求此抛物线的标准方程．
思路点拨： 求A，B的坐标 ―→ 求出弦长|AB| ―→
∴△ABO 为等腰三角形．
∴A，B 两点关于 x 轴对称．
设 A(x0，y0)，则 B(x0，－y0)．
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∵△ABO 的垂心恰为抛物线的焦点，
∴BF⊥OA，
则 kBF·kOA＝－1， 即－x0y－0－p20·xy00＝－1.
又∵y20＝2px0， ∴x0＝52p，
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1．根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)焦点是F(－8,0)，准线是x＝8； (2)顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x－2y－4 ＝0上． 解析： (1)焦点是F(－8,0)，准线是x＝8，表明抛物线顶 点在原点，焦点在x轴负半轴，故抛物线的标准方程可设为y2＝ －2px(p>0)，所以p＝16.因此所求抛物线的标准方程为y2＝－ 32x.
写出△AOB的面积，利用面积列方程解.
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解析： 由题意，抛物线方程为 y2＝2px(p≠0)， 焦点 Fp2，0，直线 l：x＝p2， ∴A，B 两点坐标为p2，p，p2，－p，∴|AB|＝2|p|， ∵△OAB 的面积为 4，∴12·p2·2|p|＝4，∴p＝±2 2. ∴抛物线方程为 y2＝±4 2x.