数列专题师

数列专题
1.已知等差数列｛a n ｝｛和正项等比数列｛b n ｝, a 1=b 1=1,a 3=b 3=
2.
⑵设C n a n b n 2
,求数列｛c n
｝的前n 项和S
⑶设b n 的前n 项和为T n ,是否存在常数 p 、c ，使a n p log 2 T n c 恒成立? 若存在，求p 、c 的值；若不存在，说明理由.
解：⑴由a 3
a 1 1
(3 1)d , 得 d 1
2
2
由b 3 b i q 且q
⑵因为 C n =(n+1)2 n-2
所以& n 2n
2.设数列
a n 的前n 项积为
T
n,T
n
1 a
n ；数列
(1) 设c n Y ，①证明数列 c n 成等差数列；②求证数列 a n 的通项公式;
⑴求a n ,b n ；
所以a n a 1 (n
1)d 宁
，b n
n 1
2~
故 S 2 2 1
3 20
4 21
L L 2n
2S n 2 20
3 2n
所以①-②得:
S n 1 1 2
⑶T n
b 1 1
n
22
10分,
a n
log 2(S n c)恒成立，则当 n=1, n=3
bg2(1 c)
-----12 分,
log 2(1 2 2 c)
解得
2 1,
p log 2(2 .. 2) - 13
p+log 2(S n +c)=log 2(2- '、2 )+ log 2
n
2? 1
.2 1
log 2[(2 n 2)(.2 1) 22]
log ?"
n
2°
)
a n ——15分
所以，当p
log 2(2 、2), c
2 1 时，a n
p log 2(S n c)恒成立
16分
0的前n 项和为
S
n,S
n
1 b
n
从而 a n 3
a n
3 an 1 a
n 1
(2)
若T n (nb n n 2) kn 对n N 恒成立，求实数k 的取值范围.
3.已知常数a 丰0，数列｛ a n ｝前n 项和为S n , a i =1，且a
(I)求证：数列｛ a n ｝为等差数列;
(n)若b n =3n
+( - 1)n
a n ,且数列｛
b n ｝是单调递增数列，求实数 a 的取值范围;
(川)若a=l ，数列｛ C n ｝满足：G —竺
，对于任意给定的正整数 k,是否存在p 、
2 a n 2011
使得C k =C p • c q ?若存在，求出p 、q 的值(只要写出一组即可)；若不存在说明理由• 4•设M 部分为正整数组成的集合， 数列
｛a n
｝
的首项a1 1
，前n 项和为Sn
,已知对任意整数
k
时,S
n k S
n k
2(S
n S
k )
都成立
所以比的值为&
k
(2 )由题设知，当
{3, 4},且n k 时,S n k S n
2S n 2S k
且 S
n 1 k S
n 1 k
2S
n 1
2 S
k
两式相减得
3n 1 k
a
n 1 k 2 a
n
1
，即 a n 1 k a n 1 k
a
n 1 a
n 1 k
所以当
8时,a n 6,a n 3 , a
n , a
n 3, a
n
6
成等差数列，且
an
6,a
n 2,a
n 2,a
n 6也成等差数
从而当 8 时，2a
n
a
n 3 a
n 3
a
n 6
a
n 6
・(* )
且
an 6
a
n 6 a
n 2
a n 2,所以当
8时，2a n a n 2 a n 2
即
an 2
a
n a n a
n
2
•于疋当n 9
时
，a
n 3,a n 1,a n 1,a n
3
成等差数列,
当整数
n
(1 )设 M
{1}
, a
2
2
求 a
5 的值;
(2 )设 M
本小题考查数列的通项与前 究及逻辑推理的能力，满分 ｛3,4｝,求数列
｛a
n
｝
的通项公式
n 项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探
16分。

解：(1)由题设知，当
n
2 时,S n1 S n1 2(S n S 1)
即(S 1 S
n )
(S n
S
n 1
) 2S
1
从而
an 1 an 2a1
2,又a 2 2,故当n 2时,a n a 2 2(n 2) 2n 2.
1
故由（*） 式知
2an an 1
a
n 1
,即 a
n 1
当n 9时，设d
為冇 1
・
当2 m 8时,m 6 8
从而由（*） 故
2am 7
a
m 1
a
m 13
・
从而2（am
7
a
m 6
)
a
m 1
a
m
(a
m 13
a
n a n
a
n 1 .
式知
2a
m 6
a
m
a
m 12
12
) a m 1
a m 2d d d
，于疋
因此，
an 1 an d
对任意n 2都成立，又由
Sn k S n k 2S k 22(k {3,4}) (S n k S n ) (S n S n k ) 2S k ,故 9d 2 S 3 且 16d
2S 4
a 4 d,从而 a 2 d,
a<i
解得 2 2
因此，数列｛an ｝为等差数列，由 a 1 1 知 d 2. 所以数列｛an ｝
的通项公式为 a n
2n 1. 5.已知数列｛ a n ｝、｛ 0｝满足： a 1 — , a
n 4 b n 1,b n 1
1 (1)求bgRb ; (2) 求数列｛ b n ｝的通项公式； (3)设 S n a 1a
2 a 2a
3 a 3a 4
.. a
n a
n 1 ,
求实数a 为何值时 解: ( 1) b n 1 - b n b n 1 4aS n b n 恒成立
b n 2 .
a n (1 a n )(1+ a n )
b n (2 b n ) 2 b n
•••
b 2
5，b4
7
(2
)••• bn1
1
b n 1 1 b n 1
2 b n
1 b n 1
•数列｛」
b n
-｝是以一4为首项, 1
—1为公差的等差数列
1 b n 1
(n 1) n 3
⑶a n 1
2
an n 2 (a 1)n (3a 6)n 8
n 4 n 3
(n 3)( n 4)
3n 8 0恒成立，a>1时，由二次函数的性质知不可能成立
f (1) (a 1)n 2 (3a 6)n 8 (a 1) (3a
综上知：aw 1时，4aS n
b 恒成立
......... 16分
6.(本题满分16分)
在数列｛a n ｝中，已知a 1 p
0, 且 a
n 1 a n
n 2
3n 2,n N .
(1)若数列｛a n ｝为等差数列， 求 p 的值； (2)求数列｛a n ｝的前n 项和S n ；
n
(3)当n 2时，求证：
2 ~2
n 1
i 1
a i n 1
6.(本题满分16分)
解：(1)设数列｛a n ｝的公差为 d ，贝U a n = a 1+ (n — 1)d, a n +1 = a 1+ nd. 由题意得，[a 1 + (n —
1)d](a 1+ nd)= n 2
+ 3n+ 2 对 n€ N* 恒成立. 即 d 2
n 2
+ (2a 1d — d 2
)n + (a 12
— aq = n 2
+
3n+ 2.
因为a 1= p>0，故p 的值为2.
...................................... 3分
(2)因为 a n +1 a n = n 2
+ 3n+ 2= (n+ 1)(n+ 2),所以 a *+ 2 a n +1= (n+ 2)(n + 3).
所以
a
T =
相乘得a n =号，所以a n =宁a 2. 因为
a 1a 2
= 6
，所以a 2=学.所以a n
=詈，当n = 2
时也符合.
a 〔a 2 a 2a
3
a n a
n 1
1 (n 3)(n 4)
1 1 n 4 n 4
4( n 4)
a<l f(n
)
时，对称轴 1
在(,1］为单调递减函数.
15
4
••• a<1时4a& b 恒成立
• 4aS n b n 由条件可知(a 1)n
(3a 6)n 8 0恒成立即可满足条件设
f(n) (a 1)n 2
3(a 2)n 8
a = 1 时，f (n)
6) 8 4a 15
所以 d 2
= 1,
2a 1d — d 2
=
3, a 12
— a 1d =
即 d = 1
，
a 1= 2,
d=— 1, a 1 = — 2.
①当n 为奇数，且
a^_ 4 05 _ 6 2’ a 3 = 4, a 1 a n
n + 1 a n -2 n — 1 相乘得a 1
a n n+1
厂，所以a n
当n= 1时也符合. ②当n 为偶数，且n > 4时,
a 4 5 a 6 7 a 2 3, a 4
5
a n n + 1 a n —2 n — 1
n+ 1
亍p, (n 为奇数)
所以数列｛a n ｝的通项公式为a n =
................ 7分
, (n 为偶数) p
n n n
、， 6 10 n 2(n +1) 2(1 + 2)2
2(3+ n +1)
当 n 为偶数时，S n = p + p + 2p + "p°+…+ 刃 + —p — = P —2— + 2 2
2—
n(n+ 2) n(n+ 4)
=
~~T~
p +
-
、【/ AX-.犬来“仃斗
c 6ic I 10IC |14| ! 2 n , n + 1
当 n 为奇数时，S n = p + p + 2p + — + 3p + -p + …+ — + —厂 p
p
p
p
p
厶
n + 1 n+ 1 n — 1 ~^(1 + 2)2 ~^(3 + n) (n + 1)(n+ 3) (n — 1)(n + 3)
=p 2 + p 2 = 8 p +
2p
(n + 1)(n + 3) (n — 1)(n + 3) p + 8 所以S n = n(n+ 2) n(n+ 4) p + 2p ， 2p ,（n 为奇数） （n 为偶数）.
n
2 （3）当n 为偶数时，匚异= 2 2 2 2+ 2+ 2+…+ a 1 a 2 a 3
2+二》4(丄 + 丄 + ••• + a n — 12
a n a 1a 2 a 3a 4 =4[丄+丄十…+^^]
L 2 x 3 4x 5 n x (n+ 1)」
10分 1 a n -
1a n )
> 2[」+^^ + ^^ + …+ + ] 2x 3 3X 4 4x 5 nx(n+ 1) (n + 1)x (n + 2) =2(匚1 +1— 1
+•••+ 丄-宀=亠
2 3 3 4 n + 1 n+ 2 n+ 2
13分
n
2 2 2 2
当n 为奇数，且心2
时，£儔=訐+总+
存+…+
丄+ 2
2 + 2
a n —
1
a n
> 4(丄 + 丄+T^)+W> 4( 1
a 1a 2 a 3a 4 a n —2a n — 1 a n
+ +…+ ---------- ---- ) 2x 3 4 x 5 (n — 1) x n > 2(丄+丄十…+^^ + ^^ )=日
2 x
3 3 x
4 (n — 1) x n nx (n+ 1) n+ 1
15分
一 n — 1 n 又因为对任意 n € N*，都有乔v n+2，
n
2 n — 1
故当n 》2时，刀—2> ..... ............................................
i=1
a i n + 1
16分。