四川省宜宾县第一中学校2019学年高二数学上学期期中试题 文

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……
2018年秋四川省宜宾县一中高二期中考试
数学（文）试卷
一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1. 复数52i
z i
=
=+ A. i B. 1i + C. 12i + D. 1i - 2. 过点()1,1-且与直线210x y -+=平行的直线方程为
A. 210x y --=
B. 210x y -+=
C. 230x y --=
D. 210x y +-= 3.点( 1,-1)到直线10x y -+=的距离是
A.
12 B. 3
2
C. 2
D. 2
4. “a b +≥是()()0,,0,a b ∈+∞∈+∞”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.过点()2,1的直线中,被圆2
2
240x y x y +-+=截得的弦长最大的直线方程是
A. 350x y --=
B. 370x y +-=
C. 350x y +-=
D. 350x y ++=
6.双曲线
22
149
x y -=的渐近线方程是 A. 23y x =±
B. 32y x =±
C. 49y x =±
D. 94
y x =± 7. ,αβ是两个平面, ,m n 是两条直线,有下列四个命题:
(1)如果,,//m n m n αβ⊥⊥,那么αβ⊥.(2)如果,//m n αα⊥,那么m n ⊥. (3)如果//,m αβα⊂,那么//m β.(4)如果//,//m n αβ,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.
其中正确的命题个数为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8. 已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为
A. π
B.
34π C. 2π D. 4
π 9. 已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-,抛物线2
4y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 A.
3716 B. 3 C. 11
5
D. 2 10.如果椭圆22
142
x y +=的弦被点()1,1平分,则这条弦所在的直线方程是 A. 230x y +-= B. 230x y --= C. 230x y +-= D. 230x y ++= 11. 已知二次函数()()2
2f x ax x c x R =++∈的值域为[)0,?+∞,则
11
a c c a
+++
的最小值为
A.8
B.
D. 12.椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的左,右顶点分别是
,左,右焦点分别是,
若
成等比数列,则此椭圆的离心率为
A.
41 B.55 C.2
1 D.
二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 若直线经过(1,1),(1,4)A B --两点,则直线AB 的倾斜角为__________
14.若,x y 满足约束条件0
{200
x y x y y -≥+-≤≥,则34z x y =-的最小值为__________.
15.动圆过点()1,0,且与直线1x =-相切,则动圆的圆心的轨迹方程为__________. 16.在四面体ABCD 中
, AB CD ==
AC BD ==
,AD BC ==,则该四面体
外接球的表面积为__________.
三．解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.（本大题满分10分）
已知命题P :不等式2
12x a a ->--的解集为R ;命题Q :圆()2
214x y -+=上至少有
三个点到直线10ax y +-=的距离为1.若命题P 和Q 中有且只有一个为真,求实数a 的取值范围.
18.（本大题满分12分）
直线l 经过两直线1:240l x y -+=与2:50l x y -+=的交点,且与直线260x y --=垂直. (1)求直线l 的方程;
(2)若点(,1)P a 到直线l ,求实数a 的值.
19.（本大题满分12分）
如图所示,在四棱锥O ABCD -中,底面ABCD 是边长为1的菱形, 4
ABC π
∠=
,OA ⊥面
ABCD ,2OA =,M 、N 分别为OA 、BC 的中点.
(1)证明:直线MN 平面OCD . (2)求异面直线AB 与MD 所成角的大小. (3)求点B 到平面OCD 的距离.
20.（本大题满分12分）
已知圆心在直线4y x =上,且与直线:20l x y +-=相切于点()1,1P (1)求圆的方程
(2)直线30kx y -+=与该圆相交于,A B 两点,若点M 在圆上,且有向量
OM OA OB =+(O 为坐标原点),求实数k .
21.（本大题满分12分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>,点()2,1M 在椭圆 C 上
(1)求椭圆 C 的方程
(2)直线l 平行于(OM O 为坐标原点),且与椭圆 C 交于,?A B 两个不同的点,若AOB ∠为钝角,求直线l 在y 轴上的截距 m 的取值范围
22.（本大题满分12分）
设 O 为坐标原点,动点M 在椭圆2
2:12
x C y +=上,过M 作 x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =
(1)求点P 的轨迹方程
(2)设点 Q 在直线3x =-上,且1OP PQ ⋅=.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过 C 的左焦点F
2018年秋四川省宜宾县一中高二期中考试
数学（文）试卷答案
一．选择题
1.C
2.C
3.C
4.B
5.A
6.B
7.C
8.B
9.C 10.A
11.C 12.B
二．填空题 13.90或
2
π 14.1- 15.2
4y x = 16.14π 三．解答题
17.命题P :22012a a a --<⇒-<<命题Q
10a ≤⇒≥
若P 真Q 假,则有: 12
100
a a a -<<⎧⇔-<<⎨
<⎩,
若P 假Q 真,则有: 2a ⇔≥
综上可得:实数a 的取值范围为()[)1,02,-⋃+∞.
18.解：（1）有题得: 2401
{
{506
x y x x y y -+==⇒-+==
即交点为(1,6)
∵l 与260x y --=垂直,则1
212
l k =-
=- ∴:62(1)l y x -=-- 即280x y +-=
（2）点(,1)P a 到直线l
,则
127156a a =⇒-=⇒=或1
19.（1）解:取OD 的中点E ,连接ME 、CE 则四边形MNCE 为平行四边形, ∴MN CE ,
又MN ⊄平面OCD ,CE ⊆平面OCD , ∴MN 平面OCD . （2）∵CD AB ,
∴MDC ∠为异面直线AB 与MD 所成的角(或其补角) 作AP CD ⊥于点P ,连接M P Ø. ∵OA ⊥平面ABCD , ∴CD MP ⊥. ∵4
ADP π
∠=
,
∴2
DP =
∵MD =
=∴1cos 2DP MDP MD ∠=
=,3
MDC MDP π
∠=∠=, 所以,异面直线AB 与MD 所成的角为3
π
.
（3）∵AB 平面OCD ,∴点B 和点A 到平面OCD 的距离相等. 连接OP ,过点A 作AQ OP ⊥于点Q . ∵,AP CD OA CD ⊥⊥,∴CD ⊥平面OAP , ∴AQ CD ⊥又∵AQ OP ⊥, ∴AQ ⊥平面OCD ,
线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离,与点B 到平面OCD 的距离相等
.
2OP ===
,2
AP AD ==
, 2232
OA AP AQ OP ⨯
⋅===,所以,点B 到平面OCD 的距离为23. 20.（1）设圆的方程为2
2
2
()(4)x a y a r -+-=因为直线相切,
圆心到直线的距离d r =
=,
且圆心与切点连线与直线l 垂直41
(1)11
a a --=--
可得0,a r ==
,所以圆的方程为: 222x y +=
（2）直线与圆联立: 2
2
30{
2
kx y x y -+=+=,
得: 2
2
(1)670k x kx +++=,28280k ∆=->
解得k >
k <设()()1122,,A x y B x y ,12122267,11k x x x x k k +=-
=++122
6
1y y k
+=+ 1212(,)M x x y y ++代入圆方程221212()()2x x y y +++=,
求得k =21.（1
）因为椭圆的离心率为2,点(2,1)M 在椭圆 C
上所以22222
41
{1c e a a b
a b c =
=+==+,
解得
a b c === C 的标准方程为
22
182
x y += （2）由直线l 平行于OM 得直线l 的斜率为1
2
OM k k ==
,又l 在y 轴上的截距 m ,故l 的方程为12y x m =+由22
1
2{182
y x m
x y
=
++=得22
2240x mx m ++-=,又直线与椭圆 C 交于,?A B 两个不同的点,设()()1122,,,A x y B x y ,则2
12122,24x x m x x m +=-=-.所以
22(2)4(24)0m m ∆=-->,于是22m -<<,AOB ∠为钝角等价于0OA OB ⋅<,且0
m ≠
则()2121212121212115
0224
2m OA OB x x y y x x x m x m x x x x m ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+++=+++<
⎪⎪⎝⎭⎝⎭即
22m <,又0m ≠,所以 m 的取值范围为()(⋃
22.（1）设()()00,,,P x y M x y ,则()()()000,0,,,0,N x NP x x y NM y =-=
由 2NP NM =
得 00,2
x x y y ==
因为()00,M x y 在 C 上,所以22
122
x y +=. 因此点P 的轨迹方程为222x y += （2）由题意知()1,0F -设()()3,,,Q t P m n -,则
()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-
()(),,3,,OP m n PQ m t n ==---由 1OQ PQ ⋅=得2231m m tn n --+-=
又由1知 22 2m n +=,故330m tn +-=所以0OQ PF ⋅=,即OQ PF ⊥
又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ,所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F。