人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习浅谈圆锥曲线定义的综合运用.

浅谈圆锥曲线定义的综合运用
圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。

这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。

一、椭圆定义的深层运用
例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。

图1
解析：易知故
在中，
则点M的轨迹方程为。

二、双曲线定义的深层运用
例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。

图2
解析：不妨设P点在双曲线的右支上，
延长F1M交PF2的延长线于N，
则，
即
在
故点M的轨迹方程为
三、抛物线定义的深层运用
例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。

图3
解析：易知抛物线的准线l：，
作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M”
则
即M到直线的最短距离为2
故M到直线y＝－1的最短距离为。

评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。

一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。

四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用
例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）
图4
②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|，
而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ|
即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝
故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点
长轴长为2的椭圆。

应选B。

②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。

五、椭圆与双曲线定义的综合运用
例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。

①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。

图5
解析：①由椭圆定义知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|，
即
故P的轨迹为A（－7，0）、B（7，0）为焦点
实轴长为2的双曲线的一支，
其方程为；
②经讨论知，无论A在双曲线的哪一支上
总有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14
故点Q的轨迹为以A（－7，0）、B（7，0）为焦点
长轴长为28的椭圆，其方程为。

［练习］
1. 已知椭圆E的离心率为e，左、右焦点为F1、F2，抛物线C以为焦点，为其顶点，若P为两曲线的公共点，且，则e＝__________。

答案：
2. 已知⊙O：，一动抛物线过A（－1，0）、B（1，0）两点，且以圆的切线为准线，求动抛物线的焦点F的轨迹方程。

答案：。