高考数学一轮复习 第二章《函数》精编配套试题(含解析)理 新人教A版

高考数学一轮复习 第二章《函数》精编配套试题（含
解析）理 新人教A 版
第二章函数
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)
1 ．(2013江西理）函数y=
x ln （1－x ）的定义域为（ ）
A ．（0,1） B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]
2、【北京市通州区2013届高三上学期期末理】设函数()22,0
log ,0,
x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则
()1f f -=⎡⎤⎣⎦
（A ）2（B ）（C ）2-（D ）1-
3、【贵州省六校联盟2013届高三第一次联考理】设0.53a =，3log 2b =，2cos =c ，
则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c << D ．b c a << 4、（2013广东理）定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函
数的个数是( )
A . 4
B ．3
C ．2
D ．
5、（2013天津理）函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
6、设()4x f x e x =+-，则函数()f x 的零点位于区间（ ）
A ．（-1，0）
B ．（0，1）
C ．（1，2）
D ．（2，3）
7、【山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理】已知1()x f x a =，2()a f x x =，
3()log a f x x =，（0a >且1a ≠），在同一坐标系中画出其中两个函数在第Ⅰ象限的图象，正确的是
A B C D 8、（2013山东理）已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x 2
+1
x
,则f(-1)= ( ) （A ）-2 （B ）0 （C ）1 （D ）2
9、（2013新课标I 卷理））已知函数()f x =22,0
ln(1),0
x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，若|()f x |≥ax ，则a 的取
值范围是
A .(,0]-∞
B .(,1]-∞
C .[-2,1]
D .[-2,0]
10、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意R ∈x 都有)4()(+=x f x f ，当
)02(，-∈x 时，x x f 2)(=，则)2011()2012(f f -的值为（ ）
A.2
1
-
B.
2
1
C. 2
D.2-
11．【云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）理】定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2
-+-=x x x f ，
若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是 （ ）
A ．)22,
0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)6
6
,0( 12．【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（四）理】已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数，若方程()(0)f x m m =>，在区间
[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++＝
A ．－12
B ．－8
C ．－4
D ．4
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13、（2013年高考（江苏卷））已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2
-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 ▲ .
14、【河北省衡水中学2013届高三第一次调研考试理】已知()f x 在R 上是奇函数，且
)()2(x f x f -=+.2
(4)(),
(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则＿＿＿＿ 15．（2013上海理）设a 为实常数，y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，
2
()9a f x x x
=++7，若()1f x a ≥+，对一切x ≥0恒成立，则a 的取值范围为＿＿＿
16．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x
g x =-.若同时满足条件:
①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <;②(,4)x ∃∈-∞- ,()()0f x g x <. 则m 的取值范围是________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)
（2013届长宁、嘉定区二模）设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f x
x
且是定义域为R 的
奇函数．
（1）求k 的值；
（2）（理）若2
3)1(=
f ，且)(2)(22x f m a a x
g x
x ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-，求m 的值．
18．(本小题满分12分) （2013届普陀区二模）已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，
x
x g a
-=11
log )(，记)()(2)(x g x f x F += （1）求函数)(x F 的定义域D 及其零点；
（2）若关于x 的方程0)(=-m x F 在区间)1,0[内仅有一解，求实数m 的取值范围.
19．(本小题满分12分) （2013安徽理）设函数2
2
()(1)f x ax a x =-+，其中0a >，区间
|()>0I x f x =
（Ⅰ）求的长度（注：区间(,)αβ的长度定义为βα-）； （Ⅱ）给定常数(0,1)k ∈，当时，求长度的最小值。

20、（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）某水域
一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响,环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱,个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度()f x 与时间x (小时)的关系可近似地表示
为:6203
63
()1 36
6
x x x f x x x ⎧
--≤<⎪⎪+=⎨
⎪-≤≤⎪⎩,只有当污染河道水中碱的浓度不低于
1
3
时,才能对污染产生有效的抑制作用.
(1)如果只投放1个单位的固体碱,则能够维持有效的抑制作用的时间有多长? (2)第一次投放1单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到
1
3
时,马上再投放1个单位的固体碱,设第二次投放后．．．．．．水中碱浓度为()g x ,求()g x 的函数式及水中碱浓度的最大值.(此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加．．)
21．(本小题满分12分) 【河北省衡水中学2013届高三第一次调研考试理】（本题12分）已知偶函数)(x f y =满足：当2≥x 时，R a x a x x f ∈--=),)(2()(，
当)2,0[∈x 时，)2()(x x x f -= (1) 求当2-≤x 时，)(x f 的表达式；
(2) 试讨论：当实数m a ,满足什么条件时，函数m x f x g -=)()(有4个零点，
且这4个零点从小到大依次构成等差数列.
22．(12分) 已知集合{}121212(,)0,0,D x x x x x x k
=>>+=．其中k
为正常数．
（I ）设12u x x =，求u 的取值范围． （II ）求证：当1k ≥时不等式21212112(
)()()2k x x x x k
--≤-对任意12(,)x x D ∈恒成立；
（III ）求使不等式21212112()()()2k x x x x k
--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立的k 的范围．
参考答案
一、选择题 1、B 2、【答案】D
【解析】11(1)22f --==，所以()2111()log 122
f f f -===-⎡⎤⎣⎦，选D. 3、【答案】A
【解析】0.531a =>,30log 21<<,cos 2cos 02
c π
=<=，所以c b a <<，选A.
4、C
5、
6、C
7、B
【解析】A 中1()x f x a =单调递增，所以1a >，而幂函数2()a f x x =递减，0a <，所以不正确。

B 中3()log a f x x =单调递增，所以1a >，而幂函数2()a f x x =递增，，所以正确。

C 中1()x f x a =单调递增，所以1a >，而3()log a f x x =递减，01a <<，所以不正确。

D 中
1()x f x a =单调递减，所以01a <<，而幂函数2()a f x x =递增，0a >，所以不正确。

所
以正确的是B. 8、A
9、【解析】∵|()f x |=22,0ln(1),0x x x x x ⎧-≤⎨+>⎩，∴由|()f x |≥ax 得，20
2x x x ax ≤⎧⎨-≥⎩且
ln(1)x x ax
>⎧⎨
+≥⎩， 由202x x x ax ≤⎧⎨-≥⎩
可得2a x ≥-，则a ≥-2，排除Ａ，Ｂ，
当a =1时，易证ln(1)x x +<对0x >恒成立，故a =1不适合，排除C ，故选D.
10、【答案】A
【解析】，f(0)=0，f （1）＝f （－1）＝2
1
，由题可知函数的周期为4 故)2011()2012(f f -＝1
1(0)(1)022
f f ---=-=-。

11、【答案】B
【解析】因为函数是偶函数，所以(2)()(1)()(1)f x f x f f x f -+=--=-，即
(2)(2)f x f x +=-+，所以函数()f x 关于直线2x =对称，又(2)(2)(2)f x f x f x +=-+=-，所以(4)()f x f x +=，即函数的周期是 4.由
()log (||1)0a y f x x =-+=得，()log (||1)a f x x =+，令()log (||1)a y g x x ==+，
当
0x >时，()log (||1)log (1)a a g x x x =+=+，过定点(0,1).由图象可知当1a >时，
不成立.所以
01a <<.因为(2)2f =-，所以要使函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在
),0(+∞上至少有三个零点，则有(2)2g >-，即2(2)log 32log a a g a -=>-=，所以2
3a -<，即
2
1
3a <，所以
303a <<，即a 的取值范围是3(0,)
3，选B,如图.
12、【答案】B
【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，
由()f x 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =-对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为()f x 在区间[0，2]上是增
函数，所以()f x 在区间[−2，0]上也是增函数. 如图2所示，那么方程()f x =m (m >0)在区间[−8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4，由对称性知12
62
x x +=-，即x 1+x 2 = −
12，同理：x 3+x 4 = 4，所以x 1+x 2+x 3+x 4 = −12+4 = −8.选B.
二、填空题 13、【答案】()
()5,05,-+∞
【解析】因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以易知0x ≤时，2
()4f x x x =-- 解不等式得到x x f >)(的解集用区间表示为()()5,05,-+∞
14、【答案】－2
【解析】由)()2(x f x f -=+，得(4)()f x f x +=，所以函数()f x 的周期是 4.所以
(7)(1)(1)2f f f =-=-=-
15、8
(,]7
-∞- 16. 【答案】(4,2)--
【解析】根据()2201x
g x x =-<⇒<,由于题目中第一个条件的限制,导致()f x 在
1x ≥是必须是()0f x <,当0m =时,()0f x =,不能做到()f x 在1x ≥时,()0f x <,
所以舍去,因此()f x 作为二次函数开口只能向下,故0m <,且此时2个根为
122,3x m x m ==--,为保证条件成立,只需121212314
x m m x m m ⎧=<<⎧⎪⎪⇒⎨
⎨=--<⎪⎪⎩>-⎩
,和大前提0m <取交集结果为40m -<<,又由于条件2的限制,可分析得出
(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负,因此就需要在这个范围内()g x 有取得正数的可能,即4-应
该比12,x x 两个根中较小的来提大,当(1,0)m ∈-时,34m --<-,解得交集为空,舍去.当1m =-时,两个根同为24->-,也舍去,当(4,1)m ∈--时,242m m <-⇒<-,综上所述(4,2)m ∈-- 三、解答题
17．解：（1）由题意，对任意R ∈x ，)()(x f x f -=-， 即x x x x
a k a a k a
---+-=--)1()1(，
即0)())(1(=+-+---x x x
x
a a a
a k ，0))(2(=+--x x a a k ，
因为x 为任意实数，所以2=k ．
（2）由（1）x
x a a x f --=)(，因为23)1(=
f ，所以2
31=-a a ， 解得2=a ． 故x
x
x f --=2
2)(，)22(222
)(22x x x x
m x g ----+=，
令x x t --=22，则222222+=+-t x x ，由),1[∞+∈x ，得⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∞+∈,23t ， 所以2
2
2
2)(22)()(m m t mt t t h x g -+-=+-==，⎪⎭
⎫⎢
⎣⎡∞+∈,23t 当23<m 时，)(t h 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,23上是增函数，则223-=⎪⎭⎫
⎝⎛h ，22349-=+-m ，
解得1225
=m （舍去）．
当2
3
≥m 时，则2)(-=m f ，222-=-m ，解得2=m ，或2-=m （舍去）．
综上，m 的值是2．
18、解：（1）)()(2)(x g x f x F +=x
x a a -++=11
log )1(log 2（0>a 且1≠a ）
⎩⎨
⎧>->+0
10
1x x ，解得11<<-x ，所以函数)(x F 的定义域为)1,1(-
令)(x F 0=，则011
log )1(log 2=-++x
x a
a ……（*）方程变为 )1(log )1(log 2x x a a -=+，x x -=+1)1(2，即032=+x x
解得01=x ，32-=x ……4分
经检验3-=x 是（*）的增根，所以方程（*）的解为0=x 所以函数)(x F 的零点为0. （2）x
x m a
a -++=11
log )1(log 2（10<≤x ） =m )414
1(log 112log 2--+-=-++x
x x x x a a
414
1--+
-=x
x a m 设]1,0(1∈=-t x ，则函数t
t y 4
+
=在区间]1,0(上是减函数 当1=t 时，此时1=x ，5min =y ，所以1≥m a ①若1>a ，则0≥m ，方程有解；
②若10<<a ，则0≤m ，方程有解
19、【答案】 （Ⅰ） 2
1a
a
+. （Ⅱ）
2
1 【解析】 （Ⅰ）)
1,0(0])1([)(2
2a a x x a a x x f +∈⇒>+-=.所以区间长度为21a a
+. （Ⅱ） 若2
11111111-1),1,0(2
=+≤
+
=+=
+≤≤∈a
a a
a
l k a k k 时，且 k a k a l a +≤≤=1-121,1满足，取最小值时且当.2
1
的最小值为l .
20、⑴由题意知03612 633x x x ≤<⎧⎪⎨--≥⎪+⎩或36
11 63
x x ≤≤⎧⎪
⎨-≥⎪⎩
解得13x ≤<或34x ≤≤,即14x ≤≤
能够维持有效的抑制作用的时间:413-=小时
⑵由⑴知,4x =时第二次投入1单位固体碱,显然()g x 的定义域为410x ≤≤ 当46x ≤≤时,第一次投放
1
单位固体碱还有残留,故
()g x =1 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+(4)
626(4)3x x ⎡⎤---⎢⎥-+⎣⎦
=116331x x ---;
当610x <≤时,第一次投放1单位固体碱已无残留,故 当67x <≤时, (4)6()26(4)3x g x x -=-
-
-+ =86
361
x x ---; 当710x <≤时, 45()1636x x
g x -=-
=- ; 所以
1164633186()673615 710
36x
x x x
g x x x x
x ⎧--≤≤⎪-⎪
⎪=--<≤⎨-⎪⎪-<≤⎪⎩
当
46
x ≤≤时
,
116()331x g x x =
---=101
61016()23
31331x x x x ---+≤-⋅--=10223-;
当且仅当
16
31
x x -=
-时取“=”,即132[4,6]x =+∈(函数值与自变量值各1分) 当610x <≤时,第一次投放1单位固体碱已无残留,
当67x <≤时, 22
61(5)(7)
()0(1)66(1)x x g x x x +-'=
-=>--,所以()g x 为增函数;
当710x <≤时,()g x 为减函数;故 max ()g x =1
(7)2
g =, 又10117122289288(
22)03266
----=>,所以当132x =+时,水中碱浓度的最大值为
10
223
- 答:第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时;第一次投放
132+小时后, 水中碱浓度的达到最大值为
10
223
-
21、解：（1）设,2-≤x 则2≥-x ，))(2()(x a x x f +--=-∴
又 )(x f y =偶函数)()(x f x f -=∴
所以，)2)(()(--+=x a x x f
（2）m x f =)(零点4321,,,x x x x ，)(x f y =与m y =交点有4个且均匀分布
（Ⅰ）2≤a 时， ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=-=+0
22
32
31221x x x x x x x 得23,21,21,23,3432121==-=-==x x x x x x ，
所以2≤a 时，43=
m （Ⅱ）42<<a 且43=m 时 ，4
3)12(2
<-a ， 2323+<<+-a
所以 232+<<a 时，4
3
=m
（Ⅲ）4=a 时m=1时 符合题意
（IV ）4>a 时，1>m ，12203)42)(242(,42222432
42343+-=+--+=+=⇒⎪⎩⎪
⎨⎧-=+=+=+a a a a a m a x x
x x x x a
x x 4364a x +=,m 1612203)42)(242(,4222243242343+-=+--+=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+=+a a a a a m a x x x x x x a x x 此时2)12(
1-<<a
m 所以 3
741037410-<+>a or a （舍）
4>a 且37410+>a 时，16122032+-=a a m 时存在 综上： ①32+<a 时，4
3=
m ②4=a 时，1=m ③3
7410+>a 时，16122032+-=a a m 符合题意 22、【答案】（I ）221212()24x x k x x +≤=，当且仅当122
k x x ==时等号成立， 故u 的取值范围为2
(0,]4
k ． （II ） 变形，得121212*********()()x x x x x x x x x x x x --=+-- 222212121212121211122x x k k x x x x u x x x x x x u
+--=+-=-+=-+. 由204k u <≤，又1k ≥，210k -≥，∴21()2k f u u u -=-+在2(0,]4
k 上是增函数， 所以121211()()x x x x --=212k u u --+22222214222()442
4
k k k k k k k -≤-+=-+=-． 即当1k ≥时不等式21212112()()()2k x x x x k
--≤-成立． （III ）令1212
11()()x x x x --=212()k u f u u -++=，则)4()22(22k f k k =-， 即求使2()()4k f u f ≥对2
(0,]4
k u ∈恒成立的k 的范围． 由（II ）知，要使21212112()()()2k x x x x k
--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立，必有01k <<，
因此210k ->，∴函数2
1()2k f u u u
-=++在21k -上递减，在2[1)k -+∞上递增，
要使函数()f u 在2(0,]4k 上恒有2()()4k f u f ≥，必有2
214
k k ≤-， 即4216160k k +-≤，解得02
52k <≤-．。