湖北省黄冈中学高三数学上学期10月月考试题 文(含解析)新人教A版

说明： 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题
部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.
选择题部分（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知全集{}
2
250,M x x x x Z =+<∈,集合{}0,N a =, 若M
N ≠Φ，
则a 等于（ ） A.1- B.2 C.1-或2 D. 1-或2- 2. 已知a 是实数，
i
1i
a +-是纯虚数，则a ＝( ) A.1- B.1 C. 2 D.2-
3．已知数列{}n a 的前n 项和2
22n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为（ ）
A. 23n a n =-
B. 23n a n =+
C. 1,123,2n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩ D. 1,1
23,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩
4．有关命题的说法中正确的是（ ）
A ．命题“若2
320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2
320x x -+=”； B ．命题“若2
230x x --=，则3x =”的p ⌝形式是“若2
230x x --≠，则3x ≠”； C ．若p q ⌝∨⌝为真命题，则p 、q 至少有一个为真命题；
D ．对于命题:p 存在x R ∈，使得2
10x x ++<，则:p ⌝对任意x R ∈，均有2
10x x ++≥。

5. 如图，一个棱柱的正视图和侧视图分别是矩 形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为（ ）
2
3
正视图
侧视图
2 A
3
2 B
3
2 C
2
2 D
2
6．若对正数x ，不等式
2
11a
x x
≤+都成立，则a 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.
2 D.12
7．已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边长分别为是a 、b 、c ，设向量(),sin a b C =+m ，
(
)
3,sin sin a c B A =
+-n ，若m n ，则角B 的大小为（ ）
A.
56π B. 6π C. 23π D.3
π
8．已知各项均为正数的的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39a =，313S =，则{}n a 的公
比q 等于（ ）
A ．43-
B ．3 C.3或43- D.13
9．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角
三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）
A ．(sin )(cos )f f αβ>
B ．(cos )(cos )f f αβ<
C ．(cos )(cos )f f αβ>
D ．(sin )(cos )f f αβ<
10．点P 是函数2
2ln y x x =-的图象上任意一点，则点P 到直线31y x =-的最小距离是 ． A ．
1010 B ．(22ln 21010- C ．(2ln 21010+ D ．ln 10
10
非选择题部分（共100分）
注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上. 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+，若()()
m n m n +⊥-，则=λ ． 12．设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234||||a a a a +++= ． 13．一个底面是等腰直角三角形的直棱柱，侧棱长与 底面三角形的腰长相等，其体积为4，它的三视图中
俯视图
俯视图如右图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的对角线长为 ． 14．在数列{}n a 中,21n n a =-,若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素
,i j i j i j a a a a a =⋅++,(1,2,
,7;1,2,,12i j ==)则该矩阵元素能取到的不同数值的个数
为 。

15．在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y
⎧≤≤⎪
≤⎨⎪
≤⎩给定，若(,)M x y 为D 上的
动点，点A 的坐标为1
(2,)2
，则z OM OA =⋅的最大值为 ．
16．“无字证明”(proofs without words )就是
将数学命题用简单、有创意而且易于理解的
几何图形来呈现。

请利用图1、图2中大矩 形内部阴影部分的面积关系，写出该图所验 证的一个三角恒等变换公式： ．
17．已知函数()cos sin f x x x =⋅，给出下列五个说法：
①19211
124
f π
⎛⎫=
⎪⎝⎭；②若12()()f x f x =-，则12x x =-；③()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；
④将函数()f x 的图象向右平移
34
π
个单位可得到1cos 22y x =的图象；⑤
()f x 的图象关于点
,04π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
成中心对称．其中正确说法的序号是 . 三、解答题（本大题包括6个小题，共75分。

解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（本小题12分） 已知函数()212f x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭，x R ∈.
(Ⅰ)求6f π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的值； (Ⅱ)若3cos 5θ=，3,22πθπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭，求23f πθ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭。

1 1
cos α
cos α sin β sin
cos β sin β
cos β
sin α
19．（本小题满分12分）
铁矿石A 和B 的含铁率为a ，冶炼每万吨铁矿石2CO 的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表：
a
b （万吨）
c （万元）
A
50% 1 300 B
70%
0.5
600
某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁，若要求2CO 的排放量不超过2万吨，则购买铁矿石的最少费用是多少？
20．（本小题13分）
如图4，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，其中2PA PD AD ===，
60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点．
(Ⅰ) 求证：AD PQB ⊥平面；
(Ⅱ) 若平面PAD ⊥平面ABCD ，且M 为PC 的中点，求四棱锥M ABCD -的体积．
21．（本小题满分14分）
若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-，记12
log .n n b a =
（Ⅰ）求1a ,2a 的值；
（Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式；
(Ⅲ)若11,0,n n n c c b c +-==求证：对任意*
23
11
132,4
n n n N c c c ≥∈+++
<都有．
22．（本小题满分14分）已知a ，b 是实数，函数3
()f x x ax =+，2
()g x x bx =+，()
'f x 和()'
g x 分别是()f x ，()g x 的导函数，若()()'
'0f
x g x ≥在区间I 上恒成立，则称()f x 和
()g x 在区间I 上单调性一致．
（Ⅰ）设0a >，若函数()f x 和()g x 在区间[1,)-+∞上单调性一致，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）设0a <且a b ≠，若函数()f x 和()g x 在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求
||a b -的最大值．
十月月考文科数学参考答案
1．答案：D 解析：由题意知{}2,1M =--，欲使M
N ≠Φ，则1a =-或2-。

2．答案：B 解析：()()()()i 111i 1i 22
a i a a i
a ++-+++==-是纯虚数，所以1a =。

3．答案：C 解析：，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，123n n n a S S n -=-=-。

4．答案：D 解析：对于A ：逆否命题是“若1x ≠，则2
320x x -+≠”，对于B ：非p 形式不是将条件和结论都同时进行否定；对于C ：（p ⌝）或（q ⌝）为真命题，其否定形式“p 且
q ”为假命题，则p 、q 至少有一个为假命题；对于D 是正确的。

5．答案：D 解析：由正视图和侧视图可知，这是一个水平放置的一个正三棱柱，底面三角形
2。

6．答案：D 解析：因为0x >，所以
211a x x ≤+可以化为2
1x
a x ≤+，由基本不等式的性质得： 2
11
112x x x x
=≤++，即a 的最小值为12。

7．答案：A 解析：因为m n ，所以()(
))
sin sin sin a b B A c C +-=+，根据正弦定理，
上式可化为()(
))
a b b a c c +-=
+
，所以222cos 22c a b B ac +-=-=，所以56
B π
=.
8．答案：B 解析：由题意可知33913a S =⎧⎨=⎩，即()2
12
19113
a q a q q ⎧=⎪⎨++=⎪⎩，消去1a 的2
4990q q --=，解得3q =或者34q =-
，又数列各项均为正数，所以3
4
q =-应舍去。

9．答案：D 解析：由题意可知，函数()f x 周期为2，所以函数在[1,0]-上为减函数，又因为
是偶函数，所以在()0,1内为增函数，而2
π
αβ+<
，则02
2
π
π
αβ<<
-<
，所以
0sin sin cos 12παββ⎛⎫
<<-=< ⎪⎝⎭。

10．答案：B 解析：由几何特征知，点P 是切点时，距离最小，设()
2
000,2ln P x x x -，由
'00223y x x =-
=，解得02x =（01
2
x =-舍去），即切点是()2,42ln 2-，所
以d =
(
32ln 210+=。

11．答案：3-解析：()()()
()2
2
11240m n
m n λλ+-=++-+-=，算得3λ=-。

12．答案：15解析：依题意就是求一个公比为2的等比数列的前四项。

13．
解析：设底面的等腰直角三角形的腰长为a ，则侧棱长也为a ，则3
142
V a ==，解得2a =
，宽为2
= 14．答案：18解析：()()
,2121212121i j i j i j i j a +=--+-+-=-，
（1,2,,7;1,2,,12i j ==）
,所以只需找i j +的数值的个数即可，最大为71219+=，最小为112+=。

15．答案：3 解析：先画出D 所表示的区域，见右图OBCD ，cos z OM OA OM OA θ=⋅=⋅，
因为3
22
OA =+=，故只需找出OM 在OA 方向上
投影的最大值即可，取与OA 垂直的直线平移得到当M 与C 重合时复合题意，所以(
)
max 12,
2,232z OA OM ⎛⎫=== ⎪⎝⎭。

16．解析：两个图的阴影部分面积相等，左边大矩形面积为：
()()()cos cos sin sin sin sin cos sin cos S αβαβαβααββ=++=+++，减去四个小直
角三角形的面积得：()1sin cos sin cos sin S S ααββαβ=--=+，右边图中阴影部分面积等于：2sin cos cos sin S αβαβ=+。

17.答案：①④【解析】
1
()cos sin sin 22
f x x x x =⋅=.①正确，
19211
1sin 12122
64f f πππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭；②错误：由122()()()f x f x f x ，知
1
22x x k 或12
2()x x k k Z ；③错误：令2222
2
k x k π
π
ππ-
+≤≤-
+，
得()4
4
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈，由复合函数性质知()f x 在每
一个闭区间
P
M
(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
上单调递增，但(),,6344k k k Z ππππππ⎡⎤⎡⎤
-⊄-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故函数()f x 在,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上不是单调函数；④正确：将函数()f x 的图象向右平移
34
π
个单位可得到13131
sin 2sin 2cos 224222
y x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-
=-= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭；⑤错误：函数的对称中心的横坐标满足02x k π=，解得02k x π=，即对称中心坐标为(),02k k Z π⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，则点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是其对称中心。

18
．解析：(Ⅰ) 166124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； (Ⅱ)
3cos 5θ=
，且3,22πθπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，所以4sin 5θ=-，
2222cos 2sin 23312417
2cos 12sin cos 25
f ππππθθθθθ
θθθ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=--=
19．解析：可设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得约束条件：
000.50.7 1.90.52
x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪
⎨
+≥⎪⎪+≤⎩，目标函数为300600z x y =+，作图可知在点()1,2处目标函数去的最小值，最小值为min 300160021500z =⨯+⨯=万元。

答：购买铁矿石的最少费用是1500万元。

20．解析：解：（Ⅰ）PA PD =，Q 为中点，AD PQ ∴⊥ …………１分 连DB ，在ADB ∆中，AD AB =，60BAD ︒
∠=，ABD ∴∆为等边三角形，
Q 为AD 的中点，AD BQ ∴⊥, …………2分
PQ BQ Q ⋂=,PQ ⊂平面PQB ,BQ ⊂平面PQB ,
(三个条件少写一个不得该步骤分) …………3分
∴AD ⊥平面PQB . …………4分
（Ⅱ）连接QC ,作MH QC ⊥于H . …………5分
PQ AD ⊥,PQ ⊂平面PAD ,
平面PAD ⋂平面ABCD AD =,
平面PAD ⊥平面ABCD ，
PQ ABCD ∴⊥平面 , …………6分
QC ⊂ABCD 平面 ,
PQ QC ∴⊥ …………7分
//PQ MH ∴. …………8分 ∴MH ABCD ⊥平面, …………9分
又12PM PC =
,1122222
MH PQ ∴==⨯⨯=. …………10分 在菱形ABCD 中，2BD =, 方法一:01
sin 602
ABD S AB AD Λ=
⨯⨯
⨯1=222⨯⨯, …………11分
∴2ABD ABCD S S ∆==菱形. …………12分
M ABCD V -1
3
ABCD S MH ∆=⨯
⨯132=⨯1=． …………13分
方法二
:AC =
=
=， …………11分
∴11
222ABCD S AC BD =⨯⨯=⨯=菱形…………12分
M ABCD V -1
3
ABCD S MH =⨯⨯
菱形1132=⨯= …………14分
21．解：（Ⅰ）由11612S a =-，得11612a a =-，解得11
8
a =． …………1分
22612S a =-，得()122612a a a +=-，解得21
32
a =． …………3分
（Ⅱ）由612n n S a =- ……①，
当2n ≥时，有11612n n S a --=- ……②， …………4分 ①－②得：
11
4
n n a a -=， …………５分 ∴数列{}n a 是首项118a =，公比1
4
q =的等比数列 …………６分
1
21
11111842n n n n a a q -+-⎛⎫
⎛⎫∴==⨯= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
， …………７分
21
11221log log 212n n n b a n +⎛⎫
∴===+ ⎪
⎝⎭
． …………８分
(Ⅲ)
1=21n n n c c b n +-=+，
∴()11=211n n n c c b n ---=-+，()2n ≥ (1)
()122=221n n n c c b n ----=-+， (2)
…………，
322=221c c b -=⨯+，
211=211c c b -=⨯+， …………(1n -) …………９分
(1)+(2)+ ......+(1n -)得()211=21+2+3++11=1n n c c b n n n --=-+--，()2n ≥ (10)
分
∴()()=11n c n n -+，()2n ≥，当1n =时，10c =也满足上式，
所以()()=11n c n n -+ …………11分
∴()()1111111211n c n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭
， …………12分 ∴
23
1111111111111=1232435
211n c c c n n n n ⎛⎫+++
-+-+-++
-+- ⎪--+⎝⎭
11113111=1+221421n n n n ⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， …………13分 111021n n ⎛⎫
+> ⎪
+⎝⎭
，∴231113
4
n c c c +++
<对任意*2,n n N ≥∈均成立． …………14分 22．解析：由已知，f '(x)=3x 2
+a ，g'(x)=2x+b ，a ，b ∈R ；
（Ⅰ）由题设“单调性一致”定义知，f '(x)g'(x)≥0在区间[－1,+∞)上恒成立，即 (3x 2
+a)(2x+b)≥0在区间[－1,+∞)上恒成立，因为a>0，所以，3x 2
+a>0，所以，2x+b ≥0在区间[－1,+∞)上恒成立，
即，b ≥－2x 在区间[－1,+∞)上恒成立，而y=－2x 在[－1,+∞)上最大值y max =－2(－1)=2， 所以，b ≥2，即b ∈[2,+∞)；
（Ⅱ）由“单调性一致”定义知，f '(x)g'(x)≥0在以a ，b 为端点的开区间上恒成立，即 (3x 2
+a)(2x+b)≥0在以a ，b 为端点的开区间上恒成立，因a<0，所以，由(3x 2
+a)(2x+b)=0，得x 1=－
－a
3
，x 2=－a 3，x 3=－b 2
； ①若b>0，则开区间为(a,b)，取x=0，由f '(0)g'(0)=ab<0知，f(x)和g(x)在区间(a,b)上单调性不一致，不符合题设；
②若b ≤0，因x 2，x 3均为非负，故不在以a ，b 为端点的开区间内；所以，只有x 1可能在区间上；
由f '(x)g'(x)≥0在以a ，b 为端点的区间上恒成立，知x 1=－
－a
3
要么不小于a ，b 中的大
者，要么不大于a ，b 中的小者；因为a ，b 都不大于0，所以，(2x+b)≤0，所以，由f '(x)g'(x)≥0知(3x 2
+a)≤0，所以－－a
3
≤x ≤0； 当0>a>b ≥－
－a 3
时，由f '(x)g'(x)≥0在区间(b,a)上恒成立，即(3x 2
+a)(2x+b)≥0在区间(b,a )上恒成立，知|a －b|最大值为|a+
－a 3
|，而由a>－－a 3解得a>－13
；此时，|a+－a
3
|=|－(－a)2+1
3
－a|，配方后知，取不到最大值；
当0≥b >a ≥－
－a
3时，显然，此时，当b=0，a=－－a 3，即b=0，a=－1
3
时，|a －b|取得最大值|0－(－13)|=13；综上，|a －b|的最大值为1
3。