六年级数学国培汇报课《鸽巢原理(1)》优秀教案

《鸽巢原理〔1〕》教案
一、学习目标
〔一〕学习内容
《义务教育教科书数学》〔人教版〕六年级下册第五单元第68～69页的例1、2。

“抽屉原理〞是一类较为抽象和艰涩的数学问题，对全体学生而言具有一定的挑战性。

为此，教材选择了一些常见的、熟悉的事物作为学习内容，经历将具体问题“数学化〞的过程。

〔二〕核心能力
经历将具体问题“数学化〞的过程，初步形成模型思想，开展抽象能力、推理能力和应用能力。

〔三〕学习目标
1.理解“鸽巢原理〞的根本形式，并能初步运用“鸽巢原理〞解决相关的实际问题或解释相关的现象。

2.通过操作、观察、比拟、说理等数学活动，经历鸽巢原理的形成活动，初步形成模型思想，开展抽象能力、推理能力和应用能力。

〔四〕学习重点
了解简单的鸽巢问题，理解“总有〞和“至少〞的含义。

〔五〕学习难点
运用“鸽巢原理〞解决相关的实际问题或解释相关的现象。

〔六〕配套资源
实施资源：《鸽巢原理〔1〕》名师课件
二、学习设计
〔一〕课堂设计
1.谈话导入
师：我这里有一副扑克牌，去掉了两张王牌，还剩52张，我请一位同学任意抽5张，不要让我看到你抽的是什么牌。

但是老师却知道，其中至少有两张牌是同种花色的，再找一个学生再次证明。

师：看来我两次都猜对了。

谢谢你们。

老师为什么能料事如神呢？其实这里面藏着一个数学原理，叫鸽巢原理，这节课我们一起来学习关于鸽巢原理的鸽
巢问题吧。

学习完这节课以后大家就刚刚游戏里的秘诀了。

2.问题探究
〔1〕呈现问题，引出探究
出例如1：把4支笔放进3个笔筒里。

不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进2支笔，这句话说得对吗？
师：“总有〞是什么意思？“至少〞有2支是什么意思？
学生自由发言。

预设：一定有，而且是其中的任意一个。

不少于两只，可能是2支，也可能是多于2支。

就是不能少于2支。

〔2〕体验探究，建立模型
师：好的，看来大家已经理解题目的意思了。

那么把4支笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进2支笔，为什么呢？可以怎样放？〔同学们拿出四支笔和3个纸杯分别表示铅笔和笔筒〕请大家看白板上的合作提示。

小组活动：学生思考，动手操作并记录结果。

举法
师：大局部同学都放完了，谁能告诉大家你们是怎么放的？
预设1：可以在第一个笔筒里放4支铅笔，其它两个空着。

师：这种放法可以记作：〔4，0，0〕，这4支铅笔一定要放在第一个笔筒里吗？
〔不一定，也可能放在其它笔筒里。

〕
师：对，也可以记作〔0，4，0〕或者〔0，0，4〕，但是，不管放在哪个笔筒里，总有一个笔筒里放进4支铅笔。

还可以怎么放？
预设2：第一个笔筒里放3支铅笔，第二个笔筒里放1支，第三个笔筒空着。

师：这种放法可以记作〔3，1，0〕
师：这3支铅笔一定要放在第一个笔筒里吗？
〔不一定〕
师：但是不管怎么放——总有一个笔筒里放进3支铅笔。

预设3：还可以在第一个笔筒里放2支，第二个笔筒里也放2支，第三个笔
筒空着，记作〔2，2，0〕。

师：这2支铅笔一定要放在第一个和第二个笔筒里吗？还可以怎么记？
预设：也可能放在第三个笔筒里，可以记作〔2，0，2〕、〔0，2，2〕。

预设4：还可以〔2，1，1〕
或者〔1，1，2〕、〔1，2，1〕
师：还有其它的放法吗？
〔没有了〕
师：在这几种不同的放法中，装得最多的那个笔筒里要么装有4支铅笔，要么装有3支，要么装有2支，还有装得更少的情况吗？〔没有〕
师：这几种放法如果用一句话概括可以怎样说？
〔装得最多的笔筒里至少装2支。

〕
师：装得最多的那个笔筒一定是第一个笔筒吗？
〔不一定，哪个笔筒都有可能。

〕
【设计意图：在理解题目要求的根底上，通过操作活动，用画图和数的分解来表示上述问题的结果，更直观。

再通过对“总有〞“至少〞的意思的单独说明，让学生更深入地理解“不管怎么放，总有一个铅笔盒里至少有2支铅笔〞这句话。

】
②假设法
刚刚我们用的是列举法，有没有最直接的方法，只放一种情况，就得出结论？
师：刚刚我们所有放法中总有一个笔筒里放进了2支笔或者2支以上。

而且有三种放法都有笔筒没有放笔，只有一种都放了笔，同学们观察这种放法。

怎么放的？PPT
先放3支，在每个笔筒中放1支，剩下的1支就要放进其中的一个笔筒。

所以至少有一个笔筒中有2支铅笔。

引导小结：这样分，很快就能确定总有一个笔筒至少有几支笔了。

这个过程其实就是数学上平均分且有余数的情况了。

师：我们可以用算式把这种想法表示出来。

【设计意图：让学生自己通过观察比拟得出“平均分〞的方法，将解题经验上升为理论水平，进一步强化方法、理清思路。

】
〔3〕提升思维，建立模型
列式〔板书〕
笔数笔筒数总有一个笔筒里
至少有〔〕支笔
4 ÷ 3=1……1 2
深感悟
师：如果把5支笔放进4个笔筒里呢？请同学们思考后举手答复。

预设：5 ÷ 4=1……1 2
5支笔放在4个笔筒里，先平均分，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支笔。

师：把6支笔放进5个笔筒里呢？
把7支笔放进6个笔筒里呢？
把100支笔放进99个笔筒里呢？
师：你发现了什么规律？
预设：我发现笔的支数比笔筒数多1，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支笔。

师：你的发现和他一样吗？
师：你们太了不起了！
师：难道这个规律只有在铅笔的支数比笔筒数多1的情况下才成立吗？还有什么情况？
师：我们来看这道题“5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子，为什么？〞
师：说说你的想法。

师：5 ÷3=1 (2)
1+1=2
5只鸽子只有3个鸽笼，在每个鸽笼里先放一只鸽子，剩余的两只鸽子就要放进其中的一个或两个鸽笼里，所以总有一个鸽笼至少飞进了两只鸽子。

由此看来，只要把鸽子数按鸽笼数平均分后，剩余的鸽子再分别飞进其它鸽笼，就总有一个鸽笼里至少飞进2只鸽子。

这就是最简单的鸽巢问题，利用的就
是鸽巢原理。

介绍狄利克雷：
师：鸽巢原理最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来应用于解决问题的，后来人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫狄利克雷原理，也叫抽屉原理。

②建立模型
出例如2：如果数量再多一些，把7本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有3本书。

你知道为什么吗？
学生独立思考、讨论后汇报：
师：怎样用算式表示我们的想法呢？生答，板书如下。

7÷3＝2本……1本〔2＋1＝3〕
师：如果有8本书会怎么样能？会用算式表示吗？写下来。

8÷3＝2本……2本〔2＋1＝3〕
出示：
把10本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？
10÷3＝3本……1本〔3＋1＝4〕
师：观察板书你有什么发现？PPT
师：到底是“商＋1〞还是“商＋余数〞呢？谁的结论对呢？
师：认真观察，你认为“笔筒里至少有几支笔〞“鸽笼里至少有几只鸽子〞或“抽屉里至少有几本书〞可能与什么有关？
预设：我认为和“商〞有关，只要用“商＋1〞就可以得到。

师：我们一起来看看是不是这样〔引导学生再观察几个算式〕啊！果然是只要用“商＋1〞就可以了。

引导总结：我们把要分的物体数量看做a，笔筒、鸽笼或抽屉的个数看做n，如果满足【a÷n＝b……c〔c≠0〕】，那么不管怎样放，总有一个抽屉里至少放〔b＋1〕个物体。

这就是抽屉原理的一般形式。

抽屉原理，鸽巢原理可以广泛地运用于生活中，来解决一些简单的实际问题。

解决这类问题时要注意把谁看做“抽屉〞。

【设计意图：借助直观操作和假设法，将问题转化为“有余数的除法〞的形
式。

可以使学生更好地理解“抽屉原理〞的一般思路，经历将具体问题“数学化〞的过程，初步形成模型思想，开展抽象能力、推理能力和应用能力。

考查目标1、2】
3.稳固练习
〔1〕学习了“鸽巢原理〞，我们再回到课前的“扑克牌〞游戏，你现在能解释一下吗？〔出示课件〕学生思考，讨论。

一副扑克牌拿走大小王还有52张，只有4种花色，同学们抽5张牌，假设4个人每人抽到一种花色，第5个人抽的花色必定是其中一种，所以总能抽出至少2种花色。

在这里四种花色可以看做4个鸽笼，抽5张牌可以看做5只鸽子，5只鸽子飞进4个鸽笼，总有一个鸽笼里至少飞进2只鸽子。

你懂了吗？
〔2〕第69页的做一做第1、2题。

4.全课总结
师：通过这节的学习，你有什么收获？
小结：今天这节课我们一起研究了鸽巢原理，也叫抽屉原理，解决抽屉原理问题关键就是找准物体和抽屉，在一些复杂的题中，还需要我们去制造抽屉。

〔三〕课时作业
第71页练习十三，第2题、第3题。