高中数学北师大版必修五课件：第3章 §3-3.1 基本不等式

④因为 x，y∈R，xy＜0，所以xy＋xy＝－－xy＋－xy≤－2 －xy－xy＝－2.
其中正确推导过程的序号为________．
【解析】 从基本不等式成立的条件考虑． ①因为 a，b∈(0，＋∞)，所以ba，ab∈(0，＋∞)，符合基本不 等式的条件，故①的推导过程正确； ②虽然 x，y∈(0，＋∞)，但当 x∈(0，1)时，lg x 是负数，当 y∈(0， 1)时，lg y 是负数，所以②的推导过程是错误的；
1．当 a，b∈R 时，下列不等关系成立的是( )
A.a＋2 b≥ ab
B．a－b≥2 ab
C．a2＋b2≥2ab
D．a2－b2≥2ab
答案：C
2．四个不相等的正数 a，b，c，d 成等差数列，则( )
a＋d A. 2 > bc
B．a＋2 d< bc
C.a＋2 d＝ bc
D．a＋2 d≤ bc
解析：选 A.因为 a，b，c，d 是不相等的正数且成等差数列，
(2)因为 x＞0，y＞0，z＞0，且 x＋y＋z＝1， 所以1x＋4y＋9z ＝(x＋y＋z)1x＋4y＋9z ＝14＋xy＋4yx＋xz＋9zx＋4yz＋9zy ≥14＋2 xy·4yx＋2 xz·9zx＋2· 4yz·9zy＝14＋4＋6＋12＝ 36.
(3)两个不等式的结构都是一边为“和式”，另一边为“积式”， 因此两个不等式都具有将“和式”化为“积式”以及将“积 式”化为“和式”的放缩功能．
利用基本不等式比较大小 已知 0＜a＜1，0＜b＜1，则 a＋b，2 ab，a2＋b2，2ab 中哪一个最大？ 【解】 因为 a＞0，b＞0，所以 a＋b≥2 ab，a2＋b2≥2ab， 所以四个数中最大数应为 a＋b 或 a2＋b2. 又因为 0＜a＜1，0＜b＜1， 所以 a2＋b2－(a＋b)＝a2－a＋b2－b＝a(a－1)＋b(b－1)＜0，所 以 a2＋b2＜a＋b，所以 a＋b 最大．
第三章 不等式
§3 基本不等式
3．1 基本不等式
1．算术平均数与几何平均数
a＋b (1)定义： 2 叫作非负数 a，b 的算术平均数．
ab 叫作非负数 a，b 的几何平均数． (2)结论：两个非负数的算术平均数 不小于它们的几何平均数．
2．基本不等式(又被称为均值不等式)
(1)形式：a＋2 b≥ ab ． (2)成立的前提条件：a ≥ 0，b ≥ 0. (3)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时等号成立．
四、听方法。

在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
3．基本不等式的常用推论 (1)ab≤(a＋2 b)2≤a2＋2 b2(a，b∈R)． (2)当 x>0 时，x＋1x≥2；当 x<0 时，x＋1x≤－2. (3)当 ab>0 时，ba＋ab≥2；当 ab<0 时，ba＋ab≤－2. (4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋打“√”，错误的打“×”) (1)若 a 和 b 都是负数，则不等式 ab≤a＋2 b也成立．( × ) (2)在基本不等式中，a≠b 时也可以有 ab＝a＋2 b.( × ) (3)在不等式 x＋1x≥2(x>0)中，当 x＝2 时取到等号．( × ) (4)在不等式 x2＋2＋ x21＋2≥2 中，等号不成立．( √ )
ab，
解：因为 a＞0，b＞0，所以1a＋1b≥
2； ab
即 ab≥1a＋2 1b(当且仅当 a＝b 时取等号)，
又a＋2 b2＝a2＋2a4b＋b2≤a2＋b2＋4 a2＋b2＝a2＋2 b2，所以a＋2 b≤
a2＋2 b2(当且仅当 a＝b 时等号成立)，
而 ab≤a＋2 b，故
当且仅当 x2＝14y2＝19z2， 即 x＝16，y＝13，z＝12时等号成立． 所以1x＋4y＋9z≥36.
易错警示
忽视基本不等式成立的条件致误
给出下面四个推导过程： ①因为 a，b∈(0，＋∞)，所以ba＋ab≥2 ba·ab＝2； ②因为 x，y∈(0，＋∞)，所以 lg x＋lg y≥2 lg x·lg y； ③因为 a∈R，a≠0，所以4a＋a≥2 4a·a＝4；
把题中条件换成“0＜a＜b，且 a＋b＝1”，试找出12，a2＋b2， 2ab，a 四个数中的最大数． 解：法一：因为 0＜a＜b，所以 1＝a＋b＞2a， 所以 a＜12，又因为 a2＋b2＞2ab， 所以最大数一定不是 a 和 2ab， 因为 1＝a＋b＞2 ab，所以 ab＜14，
所以 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－12＝12，即 a2＋b2＞12. 故 a2＋b2 最大． 法二：特值检验法：取 a＝13，b＝23，则 2ab＝49，a2＋b2＝59， 因为59＞12＞49＞13，所以 a2＋b2 最大．
对不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab的理解 (1)两个不等式成立的条件是不同的，前者要求 a，b 都是实数， 后者则要求 a，b 都是非负数． (2)两个不等式都是带有等号的不等式．“当且仅当 a＝b 时取 ‘＝’”这句话的含义是“a＝b”时，a2＋b2≥2ab，a＋2 b≥ ab 中只有等号成立，反之，若 a2＋b2≥2ab，a＋2 b≥ ab中的等号 成立时，必有“a＝b”，这一条件至关重要，忽略它，往往会 导致解题的失误．
同理1b－1≥2
bac，1c－1≥2
ab c.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得1a－11b－11c－1≥2
bc 2 a·
ac 2 b·
cab＝8.
当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
利用基本不等式证明不等式的两个注意点 (1)要充分利用基本不等式及其变形，同时注意利用基本不等式 成立的条件．对要证明的不等式作适当变形，变形为基本不等 式的形式，然后利用基本不等式进行证明． (2)多次使用 a＋b≥2 ab时，要注意等号能否成立，累加法是 不等式性质的应用，也是一种常用方法，对不能直接使用基本 不等式的代数式需重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
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编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。

一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
所以a＋2 d＝b＋2 c> bc.
3．若 0<a<1，0<b<1，则 logab＋logba≥________． 解析：因为 0＜a＜1，0＜b＜1， 所以 logab＞0，logba＞0， 所以 logab＋logba＝logab＋log1ab ≥2 logab·log1ab＝2. 当且仅当 logab＝logba 即 a＝b 时取“＝”．
答案：2
4．已知 a，b，c，d 都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
证明：由 a，b，c，d 都是正数，得 ab＋2 cd≥ ab·cd，ac＋2 bd≥ ac·bd， 所以（ab＋cd）4（ac＋bd）≥abcd， 即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
本部分内容讲解结束
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/9
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谢谢欣赏！
2019/7/9
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③因为 a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， 所以4a＋a≥2 4a·a＝4 是错误的； ④由 xy＜0 得xy，xy均为负数，但在推导过程中xy＋xy整体提出负 号后，－xy，－xy均变为正数，符合基本不等式的条件．故④ 正确． 【答案】 ①④
本题易忽视基本不等式成立的条件，误认为②③正确．基本不 等式适用的条件是“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一 不可．有些不等式尽管表面上看不符合基本不等式的适用条件， 但经过适当变形后也满足其适用条件，如本例④.
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥1a＋2 1b(当且仅当 a
＝b 时等号成立)．
利用基本不等式证明不等式 已知 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1.求证：1a－1 1b－11c－1≥8.
【证明】 因为 a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，所以1a－1 ＝1－a a＝b＋a c≥2 abc，
不等式 a2＋4≥4a 中等号成立的条件是( )
A．a＝±2
B．a＝2
C．a＝－2 答案：B
D．a＝4
若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2 ab
C.1a＋1b>
2 ab
D．ba＋ab≥2
答案：D
设常数 a>0，若 9x＋ax2≥a＋1 对一切正实数 x 成立，则 a 的取值范围是________． 解析：由题意知，当 x>0 时，f(x)＝9x＋ax2≥2 9x·ax2＝6a≥a ＋1⇒a≥15. 答案：15，＋∞
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二、听思路。

思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
2.(1)已知 a，b，c 为不全相等的正实数，求 证：a＋b＋c＞ ab＋ bc＋ ca. (2)已知 x＞0，y＞0，z＞0，且 x＋y＋z＝1，求证： 1x＋4y＋9z≥36.
证明：(1)因为 a＞0，b＞0，c＞0， 所以 a＋b≥2 ab，b＋c≥2 bc， c＋a≥2 ac. 所以 2(a＋b＋c)≥2 ab＋2 bc＋2 ca. 即 a＋b＋c≥ ab＋ bc＋ ca. 由于 a，b，c 为不全相等的正实数，等号不成立． 所以 a＋b＋c＞ ab＋ bc＋ ca.
应用基本不等式的注意事项 (1)在应用基本不等式时，一定要注意是否满足条件，即 a≥0， b≥0. (2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是 应用基本不等式的“题眼”，不妨运用基本不等式试试看．
1.设 a＞0，b＞0，试比较a＋2 b， a2＋2 b2，1a＋2 1b的大小，并说明理由．