初中数学全等三角形教师版巩固基础
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
AD
B
EC F
例 2．如图，已知：AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证： BAE CAD
A
B
D
例 3．如图 AB=DE，BC=EF，AD=CF，求证：
（1） ABC≌ DEF
（2）AB//DE，BC//EF
A D
B E
C F
全等三角形（二） 【知识要点】 定义：SAS
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”，几何表示
B C
D
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=EC，
∵BD=BC+CD=AC+CD，
∴CE=BD=BC+CD；
（2）由（1）知：△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠ABD=60°，
∴∠ECD=180°﹣∠ACB﹣∠ACE=60°，
∴∠ECD=60 °。
例 4.如图，已知△ABC、△BDE 均为等边三角形。求证：BD＋CD=AD。 A
A 12 E P
F
B
D
C
M
3、△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，D 为 BC 中点，E、F 分别在 AC、AB 上，且 DE⊥DF，试判断 DE、DF 的数量关系， 并说明理由．
DF=DE 证明：连接 AD ∵∠A=90°,AB=AC ∴∠B=∠C=45° ∵D 为 BC 中点 ∴AD=BD(等腰三角形三线合一) ∴∠DAB=45°
AD
B ECF
例 2.如图，AB=AC， B C ，求证：AD=AE
A
D
E
B
C
例 3.已知如图， 1 2, 3 4 ，点 P 在 AB 上，可以得出 PC=PD 吗？试证明之．
B 12
D
C
P
34
A
【例 5】如图， 1 2 3 ，AC=AE，求证：DE=BC
证明：∵ 1= 2, ∴ 1+ CAD= 2+ CAD, 即 BAC= DAE. ∵ 2= 3, AFE= CFD.∴ E= C 在△ABC 与△ADE 中，
C
E D
课后作业
（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如 ABC与DEF 全等，记作 ABC
≌ DEF
（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这 就是全等．
（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫 做对应角．
（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”．
AB DE 如图，在 ABC和 DEF 中 BC EF
AC DF
ABC≌ DEF
B
A CE
D F
【典型例题】
例 1．如图， ABC≌ DEF ， A 50, BC 9cm,CE 5cm，求 EDF 的度数及 CF 的长．
EC=FA,CF=AD, ∴AD=BE=CF
A F
D
B
EC
2、如图所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD 于 P，交 BC 延长线于 M，求证：2∠M=（∠ACB-∠B）
∵∠BAC=∠1+∠2,∠1=∠2 ∴∠1=∠BAC/2 ∵∠BAC=180-（∠B+∠ACB） ∴∠1=90-（∠B+∠ACB）/2 ∴∠ADM=∠1+∠B=90-（∠ACB-∠B）/2 ∵EF⊥AD ∴∠M+∠ADM=90 ∴∠M=90-∠ADM=（∠ACB-∠B）/ห้องสมุดไป่ตู้ ∴2∠M=∠ACB-∠B
E O
例 3. 如图，B，C，D 在同一条直线上，△ABC，△ADE 是等边三角形， 求证：①CE=AC+DC； ②∠ECD=60°.
E
证明：（1）∵△ABC、△ADE 是等边三角形，
A
∴AE=AD，BC=AC=AB，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即：∠BAD=∠CAE，
E
B
C
D
全等三角形（三）ASA
【知识要点】 ASA 公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
如图，在 ABC与 DEF 中
A D
B
AB DE B E
A
C D
ABC DEF(ASA)
E
F
ASA 公理推论（AAS 公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．
【典型例题】
例 1.已知如图， A D, AB DE, AB// DE ，求证：BE=CF
1、∵△ABC 是等边△,∴可设 AB=BC=CA=a,∠A=∠B=∠C=60°, 设 AD=BE=CF=b,则 DB=EC=FA=a－b, ∴易证△ADF≌△BED≌CFE, ∴DF=ED=FE, ∴△DEF 是等边△. 2、反过来也成立： 先考察△DBE 与△ECF： ∵∠B=∠C=60°, ∴∠BDE＋∠DEB=120°,同理： ∠FEC＋∠EFC=120°, 而∵△DEF 是等边△, ∴DE=EF,∠DEF=60°, ∴∠DEB＋∠FEC=120°, ∴∠BDE=∠CEF, ∴△DBE≌△ECF﹙AAS﹚, ∴DB=EC,BE=CF, 同理可证：
A
D
B
CE
F
如图，在 ABC和 DEF 中，
AB DE B E BC EF
ABC ≌ DEF(SAS)
【典型例题】 例 1. 如图，已知：点 D、E 在 BC 上，且 BD=CE，AD=AE，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.
A
B
12
D
E
C
例 2. 如图已知：AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数. B
学生姓名
性别
年级
学科
授课教师 教学课题
宋梦秋
上课时间
全等三角形
年月日
第（ ）次课
课时： 课时
教学目标
教学重点 与难点
教学过程 全等三角形（一）SSS
【知识要点】 1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：
（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等 3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形
B
A
2 1
4
E
O
3
DC
∴△ABC △ADE, ∴AB =AD.
全等三角形（四） 强化训练
1、如图，△ ABC 是等边三角形，点 D 、 E 、 F 分别是线段 AB 、 BC 、 CA 上的点， （1）若 AD BE CF ，问△ DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△ DEF 是等边三角形，问 AD BE CF 成立吗？试证明你的结论．
B
EC F
例 2．如图，已知：AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证： BAE CAD
A
B
D
例 3．如图 AB=DE，BC=EF，AD=CF，求证：
（1） ABC≌ DEF
（2）AB//DE，BC//EF
A D
B E
C F
全等三角形（二） 【知识要点】 定义：SAS
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”，几何表示
B C
D
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=EC，
∵BD=BC+CD=AC+CD，
∴CE=BD=BC+CD；
（2）由（1）知：△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠ABD=60°，
∴∠ECD=180°﹣∠ACB﹣∠ACE=60°，
∴∠ECD=60 °。
例 4.如图，已知△ABC、△BDE 均为等边三角形。求证：BD＋CD=AD。 A
A 12 E P
F
B
D
C
M
3、△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，D 为 BC 中点，E、F 分别在 AC、AB 上，且 DE⊥DF，试判断 DE、DF 的数量关系， 并说明理由．
DF=DE 证明：连接 AD ∵∠A=90°,AB=AC ∴∠B=∠C=45° ∵D 为 BC 中点 ∴AD=BD(等腰三角形三线合一) ∴∠DAB=45°
AD
B ECF
例 2.如图，AB=AC， B C ，求证：AD=AE
A
D
E
B
C
例 3.已知如图， 1 2, 3 4 ，点 P 在 AB 上，可以得出 PC=PD 吗？试证明之．
B 12
D
C
P
34
A
【例 5】如图， 1 2 3 ，AC=AE，求证：DE=BC
证明：∵ 1= 2, ∴ 1+ CAD= 2+ CAD, 即 BAC= DAE. ∵ 2= 3, AFE= CFD.∴ E= C 在△ABC 与△ADE 中，
C
E D
课后作业
（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如 ABC与DEF 全等，记作 ABC
≌ DEF
（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这 就是全等．
（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫 做对应角．
（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”．
AB DE 如图，在 ABC和 DEF 中 BC EF
AC DF
ABC≌ DEF
B
A CE
D F
【典型例题】
例 1．如图， ABC≌ DEF ， A 50, BC 9cm,CE 5cm，求 EDF 的度数及 CF 的长．
EC=FA,CF=AD, ∴AD=BE=CF
A F
D
B
EC
2、如图所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD 于 P，交 BC 延长线于 M，求证：2∠M=（∠ACB-∠B）
∵∠BAC=∠1+∠2,∠1=∠2 ∴∠1=∠BAC/2 ∵∠BAC=180-（∠B+∠ACB） ∴∠1=90-（∠B+∠ACB）/2 ∴∠ADM=∠1+∠B=90-（∠ACB-∠B）/2 ∵EF⊥AD ∴∠M+∠ADM=90 ∴∠M=90-∠ADM=（∠ACB-∠B）/ห้องสมุดไป่ตู้ ∴2∠M=∠ACB-∠B
E O
例 3. 如图，B，C，D 在同一条直线上，△ABC，△ADE 是等边三角形， 求证：①CE=AC+DC； ②∠ECD=60°.
E
证明：（1）∵△ABC、△ADE 是等边三角形，
A
∴AE=AD，BC=AC=AB，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即：∠BAD=∠CAE，
E
B
C
D
全等三角形（三）ASA
【知识要点】 ASA 公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
如图，在 ABC与 DEF 中
A D
B
AB DE B E
A
C D
ABC DEF(ASA)
E
F
ASA 公理推论（AAS 公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．
【典型例题】
例 1.已知如图， A D, AB DE, AB// DE ，求证：BE=CF
1、∵△ABC 是等边△,∴可设 AB=BC=CA=a,∠A=∠B=∠C=60°, 设 AD=BE=CF=b,则 DB=EC=FA=a－b, ∴易证△ADF≌△BED≌CFE, ∴DF=ED=FE, ∴△DEF 是等边△. 2、反过来也成立： 先考察△DBE 与△ECF： ∵∠B=∠C=60°, ∴∠BDE＋∠DEB=120°,同理： ∠FEC＋∠EFC=120°, 而∵△DEF 是等边△, ∴DE=EF,∠DEF=60°, ∴∠DEB＋∠FEC=120°, ∴∠BDE=∠CEF, ∴△DBE≌△ECF﹙AAS﹚, ∴DB=EC,BE=CF, 同理可证：
A
D
B
CE
F
如图，在 ABC和 DEF 中，
AB DE B E BC EF
ABC ≌ DEF(SAS)
【典型例题】 例 1. 如图，已知：点 D、E 在 BC 上，且 BD=CE，AD=AE，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.
A
B
12
D
E
C
例 2. 如图已知：AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数. B
学生姓名
性别
年级
学科
授课教师 教学课题
宋梦秋
上课时间
全等三角形
年月日
第（ ）次课
课时： 课时
教学目标
教学重点 与难点
教学过程 全等三角形（一）SSS
【知识要点】 1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：
（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等 3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形
B
A
2 1
4
E
O
3
DC
∴△ABC △ADE, ∴AB =AD.
全等三角形（四） 强化训练
1、如图，△ ABC 是等边三角形，点 D 、 E 、 F 分别是线段 AB 、 BC 、 CA 上的点， （1）若 AD BE CF ，问△ DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△ DEF 是等边三角形，问 AD BE CF 成立吗？试证明你的结论．