云南省曲靖市宣威三中2025届高三下学期一模考试数学试题含解析

云南省曲靖市宣威三中2025届高三下学期一模考试数学试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知曲线2
4x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆
22650x y y +-+=所得弦长为（ ）
A ．3
B ．2
C ．4
D ．23
2．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AB AA =，E F ，分别为AB BC ，的中点，异面直线1AB 与1C F 所成角的余弦值为m ，则( )
A ．直线1A E 与直线1C F 异面，且23m =
B ．直线1A E 与直线1
C F 共面，且2
3m = C ．直线1A E 与直线1C F 异面，且3m =
D ．直线1A
E 与直线1C
F 共面，且3m = 3．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（ ） A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
4．如图所示点F 是抛物线2
8y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线2
8y x =及圆22
4120x y x +--=的实线部分上
运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）
A ．(6,10)
B ．(8,12)
C ．[6,8]
D ．[8,12]
5．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +>
B ．2ab c >
C ．
a b
2
c +> D ．
112a b c
+> 6．当输入的实数[]
230x ∈，
时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）
A ．
9
14
B ．
514
C ．
37
D ．
928
7．在ABC 中，1
2
BD DC =
，则AD =（ ） A ．1344+AB AC B ．21+33
AB AC
C ．12
+33
AB AC D ．1233AB AC -
8．已知函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕ=+>的图像向右平移8
π
个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，(0)1f =，当
ϕ取得最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）
A ．())4
f x x π
=+
B ．()cos(2)4
f x x π
=+
C ．())4
f x x π
=
-
D ．()cos(2)4
f x x π
=-
9．已知双曲线22
214x y b
-=（0b >0y ±=，则b =（ ）
A ．
B
C ．
2
D ．10．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
11．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（ ） A ．
35
B ．45
-
C ．
35
D ．
45
12．已知圆22
670x y x +--=与抛物线()2
20y px p =>的准线相切，则p 的值为（）
A ．1
B ．2
C ．
12
D ．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知双曲线C ：22
221x y a b -=（0b a >>）的左、右焦点为1F ，2F ，(P 为双曲线C 上一点，且12
3PF PF =，若线段1PF 与双曲线C 交于另一点A ，则2PAF ∆的面积为______. 14．已知0x >，0y >，且
21
1x y
+=，则2x y +的最小值是______. 15．若四棱锥P ABCD -的侧面PAB 内有一动点Q ，已知Q 到底面ABCD 的距离与Q 到点P 的距离之比为正常数k ，且动点Q 的轨迹是抛物线，则当二面角P
AB C 平面角的大小为30时，k 的值为______.
16．已知函数()|ln |f x x m x =-恰好有3个不同的零点，则实数m 的取值范围为____ 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的*
()n n N ∈个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为
1
2
，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．
（1）当n 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ （2）当4n =时，用X 表示要补播种的坑的个数，求X 的分布列与数学期望．
18．（12分）已知圆O ：22
1x y +=和抛物线E ：2
2y x =-，O 为坐标原点．
（1）已知直线l 和圆O 相切，与抛物线E 交于,M N 两点，且满足OM ON ⊥，求直线l 的方程；
（2）过抛物线E 上一点00(,)P x y 作两直线,PQ PR 和圆O 相切，且分别交抛物线E 于,Q R 两点，若直线QR 的斜率
为P 的坐标．
19．（12分）超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n （n *∈N ）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式： （1）逐份检验，则需要检验n 次；
（2）混合检验，将其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （01p <<）.
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.
（i ）试运用概率统计的知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =； （ii ）若
1p =求k 的最大值.
参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈
20．（12分）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断
直线12:(12x t l t y t
=+⎧⎨
=-⎩为参数）与圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系．
21．（12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2
2
，圆22:2O x y +=与x 轴正半轴交于点A ，圆O 在点
A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为22．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点,M N ，试判断·
PM PN 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 22．（10分）如图，已知椭圆，为其右焦点，直线
与椭圆交于
两点，
点
在上，且满足
.(点
从上到下依次排列)
(I )试用表示：
(II )证明：原点到直线l 的距离为定值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
设22
1212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将P 点坐标代入切线
方程，抽象出直线AB 方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解. 【详解】
圆2
2
650x y y +-+=可化为22
(3)4x y +-=.
设22
1212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
则12,l l 的斜率分别为1212,22
x x
k k =
=， 所以12,l l 的方程为()2
1111:24
x x l y x x =-+，即112x y x y =-，
()2
22
22:24
x x l y x x =-+，即222x y x y =-，
由于12,l l 都过点(,3)P t -，所以1
12
232
32
x t y x t y ⎧-=-⎪⎪
⎨
⎪-=-⎪⎩
，
即()()1122,,,A x y B x y 都在直线32
x
t y -=
-上， 所以直线AB 的方程为32
x
t y -=-，恒过定点(0,3)， 即直线AB 过圆心(0,3)，
则直线AB 截圆22
650x y y +-+=所得弦长为4. 故选:C. 【点睛】
本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题. 2、B 【解析】
连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正四棱柱的特征可知11EF AC ，
再由平面的基本性质可知，直线1A E 与直线1C F 共面.，同理易得11AB C D ，由异面直线所成的角的定义可知，异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠，然后再利用
余弦定理求解. 【详解】 如图所示：
连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正方体的特征得11EF AC ，
所以直线1A E 与直线1C F 共面. 由正四棱柱的特征得1
1AB C D ，
所以异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠.
设12AA =，则AB =122AA =，则5DF =13C F 16C D = 由余弦定理，得1cos m DC F =∠=2
236
=⨯⨯故选：B 【点睛】
本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题. 3、B 【解析】
先根据复数的除法表示出z ，然后根据z 是纯虚数求解出对应的a 的值即可. 【详解】
因为()122i z ai -=+，所以()()()()()21222421212125
ai i a a i
ai z i i i ++-+++===--+， 又因为z 是纯虚数，所以220a -=，所以1a =. 故选：B. 【点睛】
本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数z a bi =+为纯虚数，则有0,0a b =≠. 4、B 【解析】
根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出AF ；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得B 点横坐
标的取值范围，即可由FAB ∆的周长求得其范围. 【详解】
抛物线2
8y x =，则焦点()2,0F ，准线方程为2x =-，
根据抛物线定义可得2A AF x =+，
圆()2
2216x y -+=，圆心为()2,0，半径为4，
点A 、B 分别在抛物线2
8y x =及圆22
4120x y x +--=的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.
点A 、B 分别在两个曲线上，AB 总是平行于x 轴，因而两点不能重合，不能在x 轴上，则由圆心和半径可知()2,6B x ∈， 则FAB ∆的周长为246A B A B AF AB BF x x x x ++=++-+=+， 所以()68,12B x +∈， 故选：B. 【点睛】
本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题. 5、C 【解析】
取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】
,a c b c >>，故2a b c +>，
2
a b
c +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】
本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用. 6、A 【解析】
根据循环结构的运行，直至不满足条件退出循环体，求出x 的范围，利用几何概型概率公式，即可求出结论. 【详解】
程序框图共运行3次，输出的x 的范围是[]
23247，
， 所以输出的x 不小于103的概率为24710314492472322414
-==-.
故选:A.
【点睛】
本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题. 7、B 【解析】
在,AB AC 上分别取点E F 、,使得1
2,2
AE EB AF FC ==, 可知AEDF 为平行四边形，从而可得到21
33
AD AE AF AB AC =+=+，即可得到答案．
【详解】
如下图，12BD DC =
，在,AB AC 上分别取点E F 、,使得1
2,2
AE EB AF FC ==, 则AEDF 为平行四边形，故21
33
AD AE AF AB AC =+=+,故答案为B.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题． 8、A 【解析】
先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和()01f =得到A 和ϕ. 【详解】
因为()cos 2cos 284f x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛
⎫
⎛⎫=-
+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
关于y 轴对称，所以()4k k Z πϕπ-+=∈，所以4
k π
ϕπ=
+，ϕ的最小值是
4π.()0cos 14f A π==，则2A =()2cos 24f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
【点睛】
本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x 的系数和平移量之间的关系. 9、A 【解析】
根据双曲线方程22
214x y b
-=（0b >）
0y ±=得到b a =. 【详解】
因为双曲线22
214x y b
-=（0b >）
，
所以2a =0y ±=，
所以
2
b b
a ==
所以b =故选：A. 【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10、A 【解析】
根据直线平行的等价条件，求出m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
当m=1时，两直线方程分别为直线l 1：x+y ﹣1=0，l 2：x+y ﹣2=0满足l 1∥l 2，即充分性成立， 当m=0时，两直线方程分别为y ﹣1=0，和﹣2x ﹣2=0，不满足条件． 当m≠0时，则l 1∥l 2⇒322
11
m m m --=≠-， 由
321m m
m -=得m 2﹣3m+2=0得m=1或m=2， 由211
m -≠-得m≠2，则m=1， 即“m=1”是“l 1∥l 2”的充要条件， 故答案为：A 【点睛】
（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合. 11、A 【解析】
由已知可得sin θ，根据二倍角公式即可求解. 【详解】
角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合， 终边经过点()1,2P
，则||OP θ==
， 23
cos 212sin 5
θθ∴=-=-.
故选：A. 【点睛】
本题考查三角函数定义、二倍角公式，考查计算求解能力，属于基础题. 12、B 【解析】
因为圆22
670x y x +--=与抛物线()2
20y px p =>的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心
到直线的距离等于 半径，可知p 的值为2，选B. 【详解】 请在此输入详解！
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13
、
4
【解析】
由已知得213PF PF =即2
2
129PF PF =，()2
2
2
22PF c =-+,可解得c ,
由(P 在双曲线C 上,代入即可求得
双曲线方程,然后求得直线1PF 的方程与双曲线方程联立求得点A 坐标,借助21212PAF PF F AF F S S S ∆∆∆=-,即可解得所求. 【详解】
由已知得213PF PF =，又()2
2
122PF c =++，()2
2
2
22PF c =-+，所以()()2222922c c ⎡⎤++=-+⎣⎦
，解得3c =或2c =
，由(P 在双曲线C 上，所以22224219a b
a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩或222242
1
4
a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，所以2236a b ⎧=⎨=⎩或2222a b ⎧=⎨=⎩（舍去），因此双曲线C 的方程为22136x y -=.又()1 3.0F -，所以线段1PF
的方程为)3y x =+，与双曲线C 的方程联立消去
x 整理得2
840y -+=，所以1y =2y =A 坐标为74⎛- ⎝⎭
，所以
2121211662244
PAF PF F AF F S S S ∆∆∆=-=⨯⨯⨯=
. 【点睛】
本题主要考查直线与双曲线的位置关系,考查双曲线方程的求解,考查求三角形面积,考查学生的计算能力,难度较难. 14、8 【解析】
由整体代入法利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】
()214222248x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭
，
当且仅当
4x y
y x
=时等号成立. 故2x y +的最小值为8， 故答案为：8. 【点睛】
本题考查基本不等式求和的最小值，整体代入法，属于基础题. 15、
12
【解析】 二面角P
AB
C 平面角为θ，点Q 到底面ABC
D 的距离为QH ，点Q 到定直线AB 得距离为d ，则sin QH
d θ
=
.再由点Q 到底面ABCD 的距离与到点P 的距离之比为正常数k ，可得QH
PQ k
=
，由此可得sin k θ=，则由
cos cos30θ=︒=
可求k 值. 【详解】 解：如图， 设二面角P
AB C 平面角为θ，点Q 到底面ABCD 的距离为QH ，
点Q 到定直线AB 的距离为d ，则sin QH d θ=，即sin QH
d θ
=
. ∵点Q 到底面ABCD 的距离与到点P 的距离之比为正常数k ， ∴
QH k PQ =，则QH
PQ k
=， ∵动点Q 的轨迹是抛物线， ∴PQ d =，即
sin QH QH
k θ
=
则sin k θ=. ∴二面角P
AB C 的平面角的余弦值为223cos 1sin 1cos302
k θθ=-=-=︒=
解得：1
2
k =
（0k >）.
故答案为：12
. 【点睛】
本题考查了四棱锥的结构特征，由四棱锥的侧面与底面的夹角求参数值，属于中档题. 16、(,)e +∞ 【解析】
()|ln |f x x m x =-恰好有3个不同的零点()01ln x
m x x
⇔-
=≠恰有三个根，然后转化成求函数值域即可. 【详解】
解：()|ln |f x x m x =-恰好有3个不同的零点()01ln x
m x x
⇔-
=≠恰有三个根， 令()(),1ln x g x x x =
≠，()()(),0,1ln =ln ,1,ln x x x x g x x
x x x
⎧-∈⎪⎪=⎨⎪∈+∞⎪⎩
()()21ln 0,1,0ln x
x g x x -'∈=
>，()g x 在()0,1x ∈递增； ()()2
ln 1
1,,0ln x x g x x
-'∈∞=>， ()()()2
ln 1
1,,0,ln x x e g x g x x
-'∈=
<递减， ()()()2ln 1
,,0,ln x x e g x g x x
-'∈∞=
>递增， ()()min g x g e e ==
m e ∴>时，()f x 在()0,1x ∈有一个零点，在()1,x ∈+∞有2个零点；
故答案为：(),m e ∈+∞. 【点睛】
已知函数的零点个数求参数的取值范围是重点也是难点，这类题一般用分离参数的方法，中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）当5n =或6n =时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为5
16
； （2）见解析. 【解析】
（1）将有3个坑需要补种表示成n 的函数，考查函数随n 的变化情况，即可得到n 为何值时有3个坑要补播种的概率最大．（2）n ＝1时，X 的所有可能的取值为0，1，2，3，1．分别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可． 【详解】
（1）对一个坑而言，要补播种的概率33
013
3111222
P C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， 有3个坑要补播种的概率为312n
n
C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 欲使312n
n C ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大，只需1
3311
33111221122n
n n n n n n n C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫
≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩
， 解得56n ≤≤，因为*n N ∈，所以5,6,n =
当5n =时，5
35
15216
C ⎛⎫= ⎪⎝⎭；
当6n =时，6
3615216
C ⎛⎫= ⎪
⎝⎭； 所以当5n =或6n =时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为516
. （2）由已知，X 的可能取值为0，1，2，3，1.14,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭
， 所以X 的分布列为
X 的数学期望422
EX =⨯
=. 【点睛】
本题考查了古典概型的概率求法，离散型随机变量的概率分布，二项分布，主要考查简单的计算，属于中档题． 18、（1）1y =-;（
2）5
()33
P --或P ． 【解析】
试题分析: 直线与圆相切只需圆心到直线的距离等于圆的半径，直线与曲线相交于,M N 两点，且满足OM ON ⊥，只需数量积为0，要联立方程组设而不求，利用坐标关系及根与系数关系解题，这是解析几何常用解题方法，第二步利用直线QR 的斜率找出坐标满足的要求，再利用两直线与圆相切，求出点的坐标. 试题解析：（1）解：设:l y kx b =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由l 和圆O 1=．
∴221b k =+．
由2
{2
y kx b
y x =+=-消去y ，并整理得220x kx b ---=， ∴12x x k +=，122x x b =--．
由OM ON ⊥，得0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=． ∴()()12120x x kx b kx b +++=．
∴(
)()2
212
1210k x x
kb x x b ++++=，
∴(
)()2
2
2
120k b k b b
+--++=，
∴()()2
22210b
b b b b --+-+=．
∴20b b +=．
∴1b =-或0b =（舍）．
当1b =-时，0k =，故直线l 的方程为1y =-． （2）设()00,P x y ，()11,Q x y ，()22,R x y ，则()()
22
1212
121212
22QR x x y y k x x x x x x ----===+--．
∴12x x +=
设()010:QR l y y k x x -=-
1=，
即(
)
2
22
010*******x k x y k y --+-=．
设()020:PR l y y k x x -=-，同理可得：()
2
2
2
020*******x k x y k y --+-=．
故12,k k 是方程()
222
00001210x k x y k y --+-=的两根，故00
122
021
x y k k x +=
-． 由1010
2
{2
y k x y k x y x =+-=-得2
110020x k x k x y -+--=，故011x x k +=． 同理022x x k +=，则012122x x x k k ++=+
，即00
02
0221
x y x x -=
-．
∴(
)2
0002
02221
x x x x -=
-
，解0
3
x
=-
．
当0x =053y =-
；当0x 时，01y =．
故53P ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
或)
P
．
19、（1）110（2）（i ）()1
11k
p f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
（k *∈N ，且2k ≥）.（ii ）最大值为4.
【解析】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,利用古典概型、排列组合求解即可；
（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,则可求得()21P ξ=,()21P k ξ=+,即可得到()2E ξ,进而由
()()12E E ξξ=可得到p 关于k 的函数关系式；
（ii ）由()()12E E ξξ>可得
()11k
p k
<-,推导出1ln 3k k >,设()1ln 3f x x x =-（0x >）,利用导函数判断()f x 的单调
性,由单调性可求出k 的最大值 【详解】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,
则()23
23
55
A A 1A 10P A ==, ∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为1
10
（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,
()()211k P p ξ∴==-,()()2111k
P k p ξ=+=--,
()()()()()2111111k k k
E p k p k k p ξ⎡⎤∴=-++--=+--⎣⎦
,
若()()12E E ξξ=,则()11k
k k k p =+--,则()1
1k
p k
-=
, 111k p k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,111k
p k ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭
,
∴p 关于k 的函数关系式为()111k
p f k k ⎛⎫==- ⎪
⎝⎭
（k *∈N ,且2k ≥）
（ii ）由题意知()()12E E ξξ>,得
()11k p k
<-, 311p =
-,1k
k ∴<,1ln 3k k ∴>, 设()1
ln 3
f x x x =-（0x >）, 则()113
f x x '=
-,令()0f x '=,则13x =,
∴当3x >时,()0f x '<,即()f x 在()3,+∞上单调增减,
又ln 4 1.3863≈,
4
1.33333
≈, 4ln 43
∴>
, 又ln5 1.6094≈,
5
1.66673
≈, 5
ln 53
∴<,
∴k 的最大值为4 【点睛】
本题考查古典概型的概率公式的应用,考查随机变量及其分布,考查利用导函数判断函数的单调性 20、直线l 与圆C 相切． 【解析】
首先把直线和圆转换为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离的应用求出直线和圆的位置关系． 【详解】
直线12:(12x t
l t y t =+⎧⎨=-⎩
为参数），转换为直角坐标方程为20x y +-=．
圆2
:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=转换为直角坐标方程为2
2
220x y x y ++-=，转换为标准形式为
22(1)(1)2x y ++-=，
所以圆心(1,1)-到直线20x y +-=，的距离
d r ===． 直线l 与圆C 相切． 【点睛】
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
21、（1）22
163
x y +=； （2）见解析.
【解析】
（I ）结合离心率，得到a,b,c 的关系，计算A 的坐标，计算切线与椭圆交点坐标，代入椭圆方程，计算参数，即可．（II ）分切线斜率存在与不存在讨论，设出M,N 的坐标，设出切线方程，结合圆心到切线距离公式，得到m,k 的关系式，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示OM ON ⋅，结合三角形相似，证明结论，即可．
【详解】
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c
知，b c a ，==， ∴椭圆C 的方程可设为22
2212x y b b
+=.
易求得)
A
，∴点
在椭圆上，∴
22
22
12b b +=， 解得2263
a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为22
163x y +=.
(Ⅱ)当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，
不妨设切线方程为x =
由(Ⅰ)
知，
M N
，，
(
)(
)
22220OM ON OM ON =
=
-⋅=，，，，，∴OM ON ⊥.
当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+
，()(
)1122M x y N x y ，，，，
=()2221m k =+.
联立直线和椭圆的方程得()2
226x kx m ++=，
∴()222
124260k x kmx m +++-=，得()()()
222
1222122441226042126
21km k m km x x k m x x k ⎧∆=-+->⎪⎪
⎪+=-⎨+⎪
⎪-=⎪
+⎩
.
∵()()1122OM x y ON x y ==，，
，， ∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++，
(
)()(
)
22
2
2
212
1222264112121
m km
k
x x
km x x m k
km m k k --=++++=+⋅+⋅+++ ()()(
)()
2
2
222222
2
2222
12642132266
366021
2121
k m
k m m k k k m
k k k k +--+++----=
===+++， ∴OM ON ⊥.
综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，都有OM ON ⊥. 在Rt OMN ∆中，由OMP ∆与NOP ∆相似得，2
2OP PM PN =⋅=为定值. 【点睛】
本道题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆位置关系，考查了向量的坐标运算，难度偏难．
22、(I) ；(II)证明见解析
【解析】
(I)直接利用两点间距离公式化简得到答案.
(II) 设，，联立方程得到，，代入化简得到，计算得到证明.
【详解】
(I) 椭圆，故，
.
(II)设，，则将代入得到：
，故，
，
，故，得到，
，故，同理：，
由已知得：或，
故，
即，化简得到.
故原点到直线l的距离为为定值.
【点睛】
本题考查了椭圆内的线段长度，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。