宾县一中2020届高三数学上学期第四次月考试题 文

黑龙江省宾县一中2020届高三数学上学期第四次月考试题 文
一、选择题:本大题共12题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求。

1.设全集{}2
1,2,3,4,5}
,3,{4|0U A x x
x x N ==≤∈-+，则=A C U
A ．{}1,2,3
B ．{}3,4,5
C ．{}4,5
D ．{}0|3x x x <>或 2。

已知复数(1i)1i z -=+，则复数z =
A ．i
B ．i -
C ．2i +
D ．2i - 3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0。

6 C ．0.7 D ．0。

8
4。

函数中，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增的是 A ．3
1
y x
=+ B ．1
2x y += C ．
22y x x
=+ D ．(1)||y x x =-
5 某几何体的三视图如图所示(网格纸上小正方形的边长为1），则
此几何体的体积为 A. 6
B. 9
C 。

12
D. 18
6。

已知向量,a b 满足=1,|=2,|a |b |
3
+|a b |=,那么a 与b 的夹角为
A ．6
π B ．3
π C ．3
2π D ．6
5π 7.圆2
228130x
y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1,则a=
A ．43
- B ．3
4
-
C ．3
D ．2
8
已知4
1
2sin =⎪
⎭⎫ ⎝⎛-απ，则cos 2α的值是
A ．错误!
B ．－错误!
C ．错误!
D ．－错误! 9.函数()=sin 23cos2f x x x -在区间[,]22
ππ
-
上的零点之和是 A ．
3
π
-
B ．3
π
C ．6
π
D ．
6π
-
10.执行如图所示的程序框图,输出的S 的值为
A ．34
B ．45
C ．56
D ．6
7
11。

直线20(0,0)mx ny m n ++=>>截得圆22(3)(1)1x y +++=的弦长为2,则13m n +的
最小值
A. 4
B. 12
C. 16 D 。

6
12。

已知双曲线2
2:13x C y -=，O 为坐标原点,F
为C 的右焦点,过F 的直线
与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形,则
||MN =
A ．3
2 B ．
3 C ．23 D ．
4 二、填空题:（本题共4小题,每小题5分） 13.设
是定义在R 上的奇函数,且当
时，
，则
__________。

14。

设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,
x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩，则目标函数4z x y =-+的最大值为_________．
15。

点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若四面体ABCD 体积的最大值为错误!，则这个球的表面积为__________．
16。

一个车间为了规定工作原理，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下: 零件数x （个) 10 20 30 40 50 加工时间y （分钟)
64
69
75
82 90
由表中数据，求得线性回归方程0.6ˆ5ˆy
x a =+,根据回归方程，预测加工70个零件所花费的时间为__________分钟． 三 解答题
17（10分）如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD ，
6BD
（Ⅰ）求sin ABD ∠的值;
（Ⅱ）若2CD =,且CD BC >，求BC 的长．
18。

（12分）设{}n
a 是等差数列，且1
ln 2
a
=，2
35ln 2
a
a +=．
（1）求{}n
a 的通项公式；
（2)求1
2e
e e n
a a a ++⋅⋅⋅+．
19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△PAD 是等边三角形，已知BD=2AD=8,AB=2DC=4． （Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明:平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ)求四棱锥P ﹣ABCD 的体积．
20.（12分）某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，收集了他们2018年10月课外阅读时间
(单位：小时)的数据，并将数据进行整理,分为5组：
[10,12)，[12,14)，[14,16)，
[16,18)
，[18,20]，得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数;
（Ⅱ)已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在[18,20]，现从课外阅读时间在[18,20]的样本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；
（Ⅲ)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数。

21.（12
分）已知椭圆:C 12222=+b
y a x )0(>>b a 经过点)21
3(，M ，左焦点)03(1，-F ，直线l ：y ＝2x +m 与椭圆C 交于A ，B 两点,O 是坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程;
（Ⅱ）若△OAB 面积为1，求直线l 的方程．
22。

（12分）已知函数ln ()1x a f x x +=-．
(Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）当1a ≤时，求函数()f x 在上区间(]0,e 零点的个数。

数学试题（文科)答案 一、选择题 1
2
3
4
5 6
7
8
9
10 11 12 C A C A B C A D D
B
D
B
二、填空题：
13。

-1； 14。

5 ; 15。

错误! ; 16. 102; 17。

解：（Ⅰ）在△ABD 中，由正弦定理,得
sin sin AD BD
ABD A
=∠∠．
因为60A ∠=︒，3AD =，6BD =，
所以
36
sin sin sin 6046
AD ABD A BD ∠=
⨯∠=⨯︒=
． (5)
（Ⅱ)由（Ⅰ)可知，6
sin 4
ABD ∠=
，因为90ABC ∠=︒，
所以6
cos cos(90)sin 4
CBD ABD ABD ∠=︒-∠=∠=． 在BCD ∆中,由余弦定理，得2
222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠．
因为2CD =，6BD =，
所以2
6
46264
BC
BC =+-⨯⨯
,即 232=0BC BC -+，
解得1BC =或2BC =．又CD BC >，则1BC =． (10)
分
18. 解：（1）设等差数列公差为d ，1
ln 2
a
=，2
35ln 2
a
a +=，
1225ln 2
a d a d +++=，ln 2+ln 225ln 2d d ++=，
ln 2
d =，()()11ln 21ln 2ln 2
n
a
a n d n n =+-=+-=，
所以{}n
a 的通项公式为ln 2
n
a n =．………….6分
(2）1
2e
e e n a a a ++⋅⋅⋅+ln 22ln 23ln 2ln 2e e e e n =+++⋅⋅⋅+
()()()2
3
ln 2ln 2ln 2ln 2e e e e n
=+++⋅⋅⋅+
2
3
2222n
=+++⋅⋅⋅+()21212
n -=
-122
n +=-． (12)
19。

（Ⅰ）证明：在△ABD 中， 由于AD=4，BD=8，，所以AD 2+BD 2=AB 2．故AD ⊥BD ．
又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，BD ⊂平
面ABCD ，
所以BD ⊥平面PAD,又BD ⊂平面MBD, 故平面MBD ⊥平面PAD ．………….6分 (Ⅱ)解：过P 作PO ⊥AD 交AD 于O ， 由于平面PAD ⊥平面ABCD,
所以PO ⊥平面ABCD ．因此PO 为四棱锥P ﹣ABCD 的高， 又△PAD 是边长为4的等边三角形．因此．
在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB=2DC,
所以四边形ABCD 是梯形，在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为
,
此即为梯形ABCD 的高，所以四边形ABCD 的面积为
．
故………….12分
20解：（Ⅰ）0.1020.0520.30
⨯+⨯=，
即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30。

因为5000.30150
⨯=, 所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150. …………………………………………………………………4分
（Ⅱ）阅读时间在[18,20]的样本的频率为0.0520.10
⨯=.
因为500.105
⨯=，即课外阅读时间在[18,20]的样本对应的学生人数为5。

这5名学生中有2名女生，3名男生,设女生为A,B，男生为C，D,E，
从中抽取2人的所有可能结果是:
C E，(,)
D E.
C D,(,)
A B，(,)A C，(,)A D，(,)A E，(,)
B C，(,)B D，(,)B E，(,)
(,)
其中至少抽到1名女生的结果有7个，
所以从课外阅读时间在[18,20]的样本对应的学生中随机抽取2
人，至少抽到1名女生的所求概率为
. ……………………………..9分
7
10
（Ⅲ)根据题意，0.082110.122130.152150.10217
0.0521914.68（小时).
由此估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68小时…………….12分
21。

解：(1）依题意可得解得，右焦点
，0），
,
所以a ＝2,则b 2＝a 2﹣c 2＝1， 所以椭圆C
的
标
准方程为
． ………………………………4分
（2）设A (x 1，y 1）,B (x 2,y 2），由得17x 2+16mx +4m 2﹣4＝0， 则△＝(16m )2﹣4×17×4(m 2﹣1）＝﹣16m 2+16×17 由△＞0得m 2＜17，则，
所以
因为O 到AB 的距离，
所以
得，直线l 的方程为
． …………………
12分
22。

（Ⅰ）当1a =时，2
ln ()x
f x x -'=，……………1分
(1)0
f '=，0k ∴= ……………2分 (1)0
f =，切点(1,0)，
∴切线方程是1y =。

(3)
分
（Ⅱ）2
1ln ()x a f x x
--'=，……………4分 令()0f x '=，1a
x e -= ………5分
x 、()f x '及()f x 的变化情况如下
x
1(0,)a e -
1a
e
-
1(,)a e -+∞
()f x '
+
-
()f x
增
减
所以，()f x 在区间1(0,)a
e -上单调递增，
()
f x 在区间1(,)
a
e
-+∞上单调递减………7分
（Ⅲ）法一:由(Ⅱ）可知()f x 的最大值为1111()a a
a
e f e
e
----=
……8分
(1）当1a =时，()f x 在区间(0,1)单调递增,在区间(1,)e 上单调递减
由(1)0f =,故()f x 在区间(]0,e 上只有一个零点 ……………10分
（2）当1a <时，1a ->-，10a ->，11a
e ->
且1111()0
a
a
a e f e e
----=< ……………12分
因为()0
a
f e
-< ，所以，()f x 在区间(]0,e 上无零点……11分
综上,当1a =时，()f x 在区间(]0,e 上只有一个零点
当1a <时，()f x 在区间(]0,e 上无零点 ……12分 (Ⅲ）法二：令ln ()10x a f x x +=-=，ln 1x a
x +=
ln a x x
=-
令()ln g x x x
=-
……………8分
11
()10
x g x x x -'=-==
1
x =
……………10分
……………11分 由已知1a ≤
所以,当1a =时,()f x 在区间(]0,e 上只有一个零点
当1a <时，()f x 在区间(]0,e 上无零点 ……………12分。