中考第一轮复习第一节一次方程与方程组及应用

第二章 方程(组)与不等式(组)
第一节 一次方程与方程组及应用
二元一次方程组的解法及应用(2次)
1．[2019贵阳20(1)]为加强中小学生安全和禁毒教育，某校组织了“防溺水、交通安全、禁毒”知识竞赛，为奖励在竞赛中表现优异的班级，学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，购买1个足球和1个篮球共需159元；足球单价是篮球单价的2倍少9元．求足球和篮球的单价各是多少元？
解：设一个足球的单价为x 元，一个篮球的单价为y 元，根据题意得x ＝2y －9，x ＋y ＝159，解得y ＝56.x ＝103，
答：一个足球的单价为103元，一个篮球的单价为56元．
2．(2019贵阳11题4分)方程组y ＝2x ＋y ＝12，的解为__y ＝2.x ＝10，
__ 一次方程的解法(1次)
3．(2019贵阳11题4分)方程3x ＋1＝7的根是__x ＝2__．
4．(2019贵阳模拟)若5x －5的值与2x －9的值互为相反数，则x ＝__2__．
5．(2019贵阳模拟)2019年世界杯足球赛在巴西举行，小李在上预订了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10张，总价为5 800元．其中小组赛球票每张550元，淘汰赛球票每张700元，小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？
解：设小李预定了小组赛球票x 张，淘汰赛球票y 张，由题意得550x ＋700y ＝5 800，x ＋y ＝10，解得y ＝2.x ＝8，
所以，小李预定了小组赛球票8张，淘汰赛球票2张．
中考考点清单
)
方程、方程的解与解方程
1．含有未知数的__等式__叫方程．
2．使方程左右两边相等的__未知数__的值叫方程的解． 3．求方程__解__的过程叫解方程．
等式的基本性质
性质1
等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子，所得的结果仍①__相等
__．如果a ＝b ，那么a±c②__＝__b±c.
性质2 等式两边同时乘以(或除以)同一个数(除数不为0)，所得结果仍③__相等__，如
果a ＝b ，那么ac ＝bc(c ≠0)，c a ＝c b
(c ≠0).
一次方程(组)
概念 解法 一元一
次方程
含有①一个__未知数且未知数的次数是②__1__，这样的方程叫做一元一次方程．
解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类
项；(5)系数化为1.
二元一
次方程
含有两个③未知数，
并且含有未知数的项的④次数都是1的方程叫做二元一次方程．
一般需找出满足方程的整数解即可．
二元一
次方
程组
两个⑤__二元一次方程__所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．
解二元一次方程组的基本思
路是⑥消元.
基本解法有：⑦代入 消元法和⑧加减消元法.
【温馨提示】(1)解一元一次方程去分母时常数项不要漏乘，移项一定要变号；(2)二元一次方程组
的解应写成y ＝b x ＝a ，
的形式．
列方程(组)解应用题的一般步骤 1.审 审清题意，分清题中的已知量、未知量；
2.设
设①__未知数__，设其中某个量为未知数，并注意单位，对含有两个未知
数的问题，需设两个未知数；
3.列 弄清题意，找出②__相等关系__；根据③__相等关系__，列方程(组)；
4.解 解方程(组)；
5.验 检验结果是否符合题意；
6.答 答题(包括单位).
【方法点拨】一次方程(组)用到的思想方法：
(1)消元思想：将二元一次方程组通过消元使其变成一元一次方程．
(2)整体思想：在解方程时结合方程的结构特点，灵活采取整体思想，使整个过程简捷．
(3)转化思想：解一元一次方程最终要转化成ax ＝b ；解二元一次方程组先转化成一元一次方程． (4)数形结合思想：利用图形的性质建立方程模型解决几何图形中的问题． (5)方程思想：利用其他知识构造方程解决问题．
中考重难点突破)
一元一次方程的应用
【例1】(2019杭州中考)已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x 吨到乙煤场，则可列方程为( )
A ．518＝2(106＋x)
B ．518－x ＝2×106
C ．518－x ＝2(106＋x)
D ．518＋x ＝2(106－x)
【解析】设从甲煤场运煤x 吨到乙煤场，则运出后甲煤场有煤(518－x)吨，乙煤场有煤(106＋x)吨，此时甲煤场剩下的煤是乙煤场现有煤的2倍，可列等式：518－x ＝2(106＋x)．
【学生解答】C
1．(2019娄底中考)已知关于x 的方程2x ＋a －5＝0的解是x ＝2，则a 的值为__1__．
2．(2019龙东中考)一件服装的标价为300元，打八折销售可获利60元，则该件服装的成本价是__180__元．
二元一次方程组及解法
【例2】(20196贺州中考)已知关于x 、y 的方程组mx ＋ny ＝5，的解为y ＝3，x ＝2，
求m 、n 的值． 【学生解答】
解：将y ＝3x ＝2，代入方程组得2m ＋3n ＝5，，解得n ＝1.m ＝1，
【点拨】解二元一次方程组的两种方法(代入法和加减法)用到的都是“消元”的思想，具体解题时两种方法可根据方程组中未知数系数的特点灵活运用．
3．(2019丹东中考)二元一次方程组2x －y ＝4x ＋y ＝5，
的解为( C ) A.y ＝4x ＝1， B.y ＝3x ＝2， C.y ＝2x ＝3， D.y ＝1x ＝4，
4．(2019宁夏中考)已知x ，y 满足方程组3x －2y ＝8，x ＋6y ＝12，
则x ＋y 的值为( C )
A ．9
B ．7
C ．5
D ．3
5．(2019永州中考)方程组2x ＋y ＝4x ＋2y ＝2，的解是__y ＝0x ＝2，
__.
一次方程(组)的应用
【例3】(2019茂名中考)我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x 匹，小马有y 匹，那么可列方程组为( )
A.3x ＋3y ＝100x ＋y ＝100，
B.x ＋3y ＝100x ＋y ＝100，
C.y ＝1001
D.3x ＋y ＝100x ＋y ＝100，
【解析】由马的总数可得x ＋y ＝100，由拉货的总数可得3x ＋31
y ＝100.联立两个方程即可得到方程组．
【学生解答】C
6．(2019宜宾中考)今年五一节，A ，B 两人到商场购物，A 购3件甲商品和2件乙商品共支付16元，B 购5件甲商品和3件乙商品共支付25元，求一件甲商品和一件乙商品各售多少元．设甲商品售价
x 元/件，乙商品售价y 元/件，则可列出方程组__5x ＋3y ＝253x ＋2y ＝16，
__．
7．(2019荆门中考)为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台，已知笔记本
电脑的台数比台式电脑的台数的41
还少5台，则购置的笔记本电脑有__16__台．
8．(2019海南中考)世界读书日，某书店举办“书香”图书展．已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元．
解：设《汉语成语大词典》的标价是x 元，《中华上下五千年》的标价是y 元，依题意得：50%x ＋60%y ＝80.x ＋y ＝150，解得y ＝50.x ＝100，
答：《汉语成语大词典》的标价是100元，《中华上下五千年》的标价是50元．
9．(2019原创)贵阳市花溪区某超市举行店庆活动，对甲、乙两种商品实行打折销售．打折前，购买3件甲商品和1件乙商品需用190元；购买2件甲商品和3件乙商品需用220元．而店庆期间，购买10件甲商品和10件乙商品仅需735元，这比不打折前少花多少钱？
解：设打折前购买一件甲商品需x 元，购买一件乙商品需y 元，则2x ＋3y ＝220，3x ＋y ＝190，解得y ＝40.x ＝50，
∴打折后购买10件甲商品和10件乙商品少花费为：10×(50＋40)－735＝165(元)．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，若二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的对称轴为x=1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、点B （﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c ； ②a ﹣b+c ＜0； ③b 2
﹣4ac ＜0；
④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，其中正确的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
2．如图，为了测得高中部教学楼风华楼AB 的高度，小李在风华楼正前方的升旗广场点F 处测得AB 的顶端A 的仰角为22°，接着他往前走30米到达点E ，沿着坡度为3：4的台阶DE 走了10米到达坡顶D 处，继续朝高楼AB 的方向前行18米到C 处，在C 处测得A 的仰角为60°，A 、B 、C 、D 、E 、F 在同一平面内，则高楼AB 的高度为（ ）米.（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
A ．10.3
B ．12.3
C ．20.5
D ．21.3
3．欧几里得的《原本》记载，形如22x ax b +=的方程的图解法是：画Rt ABC ∆，使90ACB ∠=，
2a BC =
，AC b =，再在斜边AB 上截取2
a
BD =.则该方程的一个正根是（ ）
A.AC 的长
B.AD 的长
C.BC 的长
D.CD 的长
4．如图，小颖为测量学校旗杆AB 的高度，她在E 处放置一块镜子，然后退到C 处站立，刚好从镜子中
看到旗杆的顶部B ．已知小颖的眼睛D 离地面的高度CD ＝1.5m ，她离镜子的水平距离CE ＝0.5m ，镜子E 离旗杆的底部A 处的距离AE ＝2m ，且A 、C 、E 三点在同一水平直线上，则旗杆AB 的高度为（ ）
A.4.5m
B.4.8m
C.5.5m
D.6 m
5．如图，在菱形OABC 中，点A 的坐标为()10,0，对角线OB AC 、相交于点,160D OB AC ⋅=.双曲线()0k
y x x
=
>经过点D ，交BC 的延长线于点E ，则过点E 的双曲线表达式为（）
A ．20y x
=
B ．24y x
=
C ．28y x
=
D ．32y x
=
6．已知函数：①y=2x ；②()2
y=-x<0x
；③y=3-2x ；④()2y=2x +x x 0≥，其中，y 随x 增大而增大的函数有( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．若2是关于x 的方程()2
120x m x m --++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC ∆的两条边的长，则ABC ∆的周长为 A ．7或10
B ．9或12
C ．12
D ．9
8．直线y=2x 关于x 轴对称的直线是（ ） A ．1y x 2
=
B ．1y x 2
=-
C ．y 2x =
D ．y 2x =-
9．下列运算正确的是（ ） A ．3262a 3a 6a ⋅= B ．3412
(x )x -= C ．3
3
3
(a b)a b +=+ D ．3n
2n n (x)
(x)x -÷-=-
10．下列运算正确的是（ ） A ．321-=
B ．1243=
C ．235+=
D ．12=22
÷
11．如图，点O 是等边三角形ABC 内的一点，BOC=150∠︒，将BCO ∆绕点C 按顺时针旋转60︒得到ACD ∆，则下列结论不正确的是( )
A.BO=AD
B.DOC=60∠︒
C.OD AD ⊥
D.OD//AB
12．定义：a 是不为1的有理数，我们把
11a
-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是112-＝﹣1，﹣1的
差倒数是()111--＝12，已知a 1＝﹣1
3
，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，以
此类推，a 2009的值为( ) A ．﹣
13
B ．
34
C ．4
D ．
43
二、填空题
13．从1,2,3,4四个数中任取一个数作为AC 的长度，又从4,5中任取一个数作为BC 的长度，
6AB =，则AB AC BC 、、能构成三角形的概率是_____．
14．已知关于x 的方程x 2
﹣2x ﹣m=0没有实数根，那么m 的取值范围是_____． 15．计算:
= ____________.
16．抛物线 y= -x 2 + bx + c 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程-x 2+ bx + c= 0 的解为____________
17．若x 2
+mx+16可以用完全平方公式进行分解因式，则m 的值等于_____． 18．如果关于x 的方程x 2+2x+m ＝0有两个实数根，那么m 的取值范围是_____． 三、解答题
19．已知；如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90度．F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE ＝BF ，连接AE 、EF 和CF ．
（1）求证：AE＝CF；（2）若∠CAE＝30°，求∠EFC的度数．
20．某校七年级（1）班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类（记为A）、音禾类（记为B）、球类（记为C）、其他类（记为D）．根据调査结果发现该班每个学生都进行了登记且每人只登记了一种自己最喜欢的课外活动．班主任根据调査情况把学生进行了归类，并制作了如下两幅统计图．请你结合图中所给信息解答下列同题：
（1）七年级（1）班学生总人数为______人，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为______度，请补全条形统计图；
（2）学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A类4名学生中有两名学生擅长书法，另两名学生擅长绘画．班主任现从A类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率．
（3）如果全市有5万名初中生，那么全市初中生中，喜欢球类的学生有多少人？
21．先化简代数式：
2
2
321
()
393
m m m m
m m m
--+
-÷
+-+
，再从03
m
剟的范围内选择一个合适的整数代入
求值．
22．如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，∠AEF的角平分线交AB于点M，∠EFC的角平分线交CD于点N，连接MF、NE．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形．
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，他猜想：当AB＝AD时，四边形EMFN是矩形．请在下列框图中补全他的证明思路．
23．已知0234a b c ==≠，求22
22
223a bc b a ab c
-++-的值． 24．“春节”假期间，小明和小华都准备在某市的九龙瀑布(记为A)、凤凰谷(记为B)、彩色沙林(记为C)、海峰湿地(记为D)这四个景点中任选一个去游玩，每个景点被选中的可能性相同． (1)求小明去凤凰谷的概率；
(2)用树状图或列表的方法求小明和小华都去九龙瀑布的概率．
25．在平面直角坐标系中，己知O 为坐标原点，点(2,0),(0,4)A B ，以点A 为旋转中心，把ABO 顺时针旋转，得ACD .
（Ⅰ）如图①，当旋转后满足//DC x 轴时，求点C 的坐标.
（Ⅱ）如图②，当旋转后点C 恰好落在x 轴正半轴上时，求点D 的坐标.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OB 上的一点P 旋转后的对应点为P '，当DP AP '+取得最小值时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）
【参考答案】*** 一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B D D C C D B D D
B
二、填空题 13．
5
8
．
14．m ＜﹣1． 15．-1. 16．x 1=1，x 2=-3 17．±8 18．m≤1 三、解答题
19．（1）见解析；（2）∠EFC=30°． 【解析】 【分析】
（1）根据已知利用SAS 判定△ABE ≌△CBF ，由全等三角形的对应边相等就可得到AE=CF ；（2）根据已知利用角之间的关系可求得∠EFC 的度数． 【详解】
（1）证明：在△ABE 和△CBF 中，
∵0
90BE BF ABC CBF AB BC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
， ∴△ABE ≌△CBF （SAS ）． ∴AE ＝CF ．
（2）解：∵AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∠CAE ＝30°， ∴∠CAB ＝∠ACB ＝
1
2
（180°﹣90°）＝45°，∠EAB ＝45°﹣30°＝15°． ∵△ABE ≌△CBF ， ∴∠EAB ＝∠FCB ＝15°． ∵BE ＝BF ，∠EBF ＝90°， ∴∠BFE ＝∠FEB ＝45°．
∴∠EFC ＝180°﹣90°﹣15°﹣45°＝30°．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质等知识点的掌握情况；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．
20．（1）48人，105°，见解析；（2）2
3
；（3）18750.
【解析】
【分析】
（1）由条形统计图与扇形统计图可得七年级（1）班学生总人数为：12÷25%=48（人），继而可得扇形
统计图中D类所对应扇形的圆心角为为：360°×14
48
=105°；然后求得C类的人数，则可补全统计
图；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的情况，再利用概率公式即可求得答案．
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【详解】
解：（1）七年级（1）班学生总人数为：12÷25%=48（人），扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为
360°×14
48
=105°，；
C类人数：48-4-12-14=18（人），如图：
故答案为：48，105；
（2）分别用A，B表示两名擅长书法的学生，用C，D表示两名擅长绘画的学生，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的有8种情况，
∴抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率为：2
3
.
（3）全市初中生中，喜欢球类的学生有50000
18
48
=18750（人）．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．11
m -；0m =时，原式1=-. 【解析】
【分析】
括号内先化简通分，再计算除法.注意要先因式分解.
【详解】 解：原式23(1)3(3)(3)3m m m m m m m ⎡⎤--=-÷⎢⎥++-+⎣⎦ 2133(3)(1)m m m m m ⎡⎤+=-⋅⎢⎥++-⎣⎦ 2133(1)m m m m -+=
⋅+- 11
m =-. 要使分式有意义，则3m ≠，一3，1.
又∵03m 剟
且为整数∴m 可取值0，2. 选0m =，原式1=-.
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键.要注意m 的取值范围，谨防出错.
22．（1）见解析；（2）∠EFM ＝∠BMF ，AM ＝BM （或：M 是AB 中点）．
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得∠A=∠C ，∠AEF ＝∠CFE ，AD=BC ，根据角平分线的定义和中点的定义可得∠AEM ＝∠CFN ，AE ＝CF ，利用ASA 即可证明△AME ≌△CNF ，可得EM ＝FN ，∠FEM ＝∠FEN ，根据内错角相等可得EM//FN ，即可证明四边形EMFN 是平行四边形；（2）由AE=BF ，AE//BF 可得四边形ABFE 是平行四边形，可得EF//AB ，可得∠MEF=∠AME ，∠EFM=∠BMF ，由角平分线可得∠AEM=∠MEF ，即可证明∠AEM=∠AME ，可得AE=AM ，由AB=AD 可得M 为AB 中点，即可证明BM=BF ，进而可得∠BMF=∠BFM ，即可证明∠BFM=∠EFM ，可得∠EFM+∠EFN=90°，可得四边形EMFN 是矩形．
【详解】
(1)在□ABCD 中，∠A ＝∠C ，AD ∥BC ，AD ＝BC
∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，
∴AE＝1
2
AD，CF＝
1
2
BC，
又∵AD＝BC，
∴AE＝CF，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CFE，
∵EM平分∠AEF，FN平分∠EFC，
∴∠AEM＝∠FEM＝1
2
∠AEF，∠CFN＝∠FEN＝
1
2
∠CFE，
∵∠AEF＝∠CFE，∠AEM＝1
2
∠AEF，∠CFN＝
1
2
∠CFE，
∴∠AEM＝∠CFN，
在△AME和△CNF中
A C
AE CF
AEM CFN ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△AME≌△CNF（ASA），
∵∠FEM＝∠FEN，
∴EM∥FN，
∵△AME≌△CNF，
∴EM＝FN，
∵EM∥FN，EM＝FN，
∴四边形EMFN是平行四边形．（2）∵AE=BF，AE//BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，∴AB//EF，
∴∠MEF=∠AME，∠EFM=∠BMF，∵∠AEM=∠MEF，
∴∠AEM=∠AME，
∴AE=AM，
∵E为AD中点，AB=AD，
∴M为AB中点，即AM=BM，
∵AE=BF，
∴BM=BF，
∴∠BMF=∠BFM，
∴∠BFM=∠EFM ，
∵∠EFN=∠CFN ，
∴∠EFM+∠EFN=90°，即∠MFN=90°，
∴四边形EMFN 是矩形．
故答案为：∠EFM ＝∠BMF ，AM ＝BM （或：M 是AB 中点）．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定及矩形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形.
23．76
- 【解析】
【分析】 设234
a b c k ===，用含有k 的代数式分别表示出a 、b 、c ，代入分式化简即可求值. 【详解】 设234
a b c k ===，则a=2k ，b=3k ，c=4k ， ∴原式= 222222
2(2)234(3)776(2)323(4)6k k k k k k k k k k -⋅⋅+=-=-+⋅⋅- 【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，设出参数，用含有k 的代数式分别表示出a 、b 、c 是关键.
24．(1)14；(2)116
. 【解析】
【分析】
（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小华都选择去九龙瀑布的情况，再利用概率公式即可求得答案
【详解】
(1)∵小明准备到曲靖的九龙瀑布(记为A)、凤凰谷(记为B)、彩色沙林(记为C)、海峰湿地(记为D)中的一个景点去游玩，
∴小明选择去凤凰谷的概率=
14
； (2)画树状图分析如下：
两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中小明和小华都去九龙瀑布的有1种，
所以小明和小华都选择去九龙瀑布的概率=
116． 【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．（Ⅰ）(6,2)C ；（Ⅱ）2545(2,)55D +
；（Ⅲ）点P 坐标854(0,)19
-. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）如图①中，作CH ⊥x 轴于H ．根据旋转的性质和三个角是直角的四边形是矩形得出四边形ADCH 是矩形，利用矩形的性质即可解决问题；
（Ⅱ）如图②中，作DK ⊥AC 于K ．在Rt △ADC 中，求出DK 、AK 即可解决问题；
（Ⅲ）如图③中，连接PA 、AP′，作点A 关于y 轴的对称点A′，连接DA′交y 轴于P′，连接
AP′．由题意PA=AP′，推出AP′+PD=PA+PD，根据两点之间线段最短，可知当点P 与点P′重合时，PA+PD 的值最小．只要求出直线A′D 的解析式即可解决问题；
【详解】
解：（Ⅰ）如图①中，作CH x ⊥轴于H.
∵//90CD AH D AHC ∠=∠=︒，，
∴90DAH ∠=︒，
∴四边形ADCH 是矩形，
∴24AD OA CH CD OB AH ======，，
∴6OH =，
∴()6,2C
（Ⅱ）如图②中，作DK AC ⊥于K.
在Rt ADC 中，∵2,4AD CD ==， ∴25AC =， ∵1122
AD DC AC DK ⋅⋅=⋅⋅， ∴4525,55
DK AK ==， ∴2525OK =+
， ∴25452,55D ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
（Ⅲ）如图③中，连接PA 、AP′，作点A 关于y 轴的对称点A′，连接DA′交y 轴于P′，连接AP′．
由题意PA=AP′，
∴AP′+PD=PA+PD，
根据两点之间线段最短，可知当点P 与点P′重合时，PA+PD 的值最小．
2545A (2,0),D 2,55'⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭
， ∴直线A′D 的解析式为452854y x 1919
--=+ ， 点P 坐标8540,19⎛
⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查了几何变换综合题、解直角三角形，两点之间线段最短等知识，解题的关键是会利用两点之间线段最短解决最短路径问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．若x2
在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）
A．B．C．
D．
2．如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的点．若⊙O的半径为l，则AP+BP的最小值为（）
A．2 B．3C．2D．1
3．已知二次函数y＝x2﹣6x+m的最小值是1，那么m的值等于（）
A．10 B．4 C．5 D．6
4．下列立体图形中，主视图是三角形的是（）
A. B. C. D.
5．如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为M、N，MN=1．正方形ABCD的边长为2，对角线AC 在直线l上，且点C位于点M处．将正方形 ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止．记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于l1，l2之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为( )
A．B．C．
D ．
6．统计局信息显示，2018年嘉兴市农家乐旅游营业收入达到27.49亿元，若2020年全市农家乐旅游营业收入要达到38亿元，设平均每年比上一年增长的百分率是x ，则下列方程正确的是（ ）
A ．27.49+27.49x 2＝38
B ．27.49（1+2x ）＝38
C ．38（1﹣x ）2＝27.49
D ．27.49（1+x ）2＝38
7．如图，一个平行四边形被分成面积为S 1、S 2、S 3、S 4四个小平行四边形，当CD 沿AB 自左向右在平行四边形内平行滑动时，S 1S 4与S 2S 3的大小关系为（ ）
A.S 1S 4＞S 2S 3
B.S 1S 4＜S 2S 3
C.S 1S 4＝S 2S 3
D.无法确定
8．（2008•衢州）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ）
A ．289（1﹣x ）2="256"
B ．256（1﹣x ）2=289
C ．289（1﹣2x ）2="256"
D ．256（1﹣2x ）2
=289 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为(4,0)，60AOC ∠=︒，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M ，N(点M 在点N 的上方)，若OMN ∆的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒(04)t ≤≤，则能大致反映S 与t 的函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
10．如图，直角三角形纸片ABC中，AB＝3，AC＝4．D为斜边BC的中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3••；设P n﹣1D n﹣2的中点为D n﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点D n﹣1重合，折痕与AD交于点P n（n＞2），则AP2019的长为（）
A.
2019
2020
53
4
⨯
B.
2019
2020
3
54
⨯
C.
2018
2019
53
4
⨯
D.
2018
2019
3
54
⨯
11．若关于x的不等式组
12
x
x k
+≤
⎧
⎨
≥
⎩
无解,则k的值可以是（）
A．－1 B．0 C．1 D．2
12．直线y＝﹣2x+5分别与x轴，y轴交于点C、D，与反比例函数y＝3
x
的图象交于点A、B．过点A作
AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，连结EF；下列结论：①AD＝BC；②EF∥AB；③四边形AEFC 是平行四边形；④S△EOF：S△DOC＝3：5．其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．化简：()23-=________
14．正九边形的中心角等于____________________︒．
15．已知(－1，y1)，(2，y2)是直线y＝2x＋1上的两点，则y1____y2.(填“＞”“＝”或“＜”) 16．如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B 随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是______；若将△ABP的PA边长改为22，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为______．
17．如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=4
3
，反比例函数y=﹣
12
x
的图象经过点C，与AB交与点D，则△COD的面积的值等于_____；
18．分解因式：m2n - n3＝_____________.
三、解答题
19．已知直线
115 22
y x
=+与直线y2＝kx+b关于原点O对称，若反比例函数
m
y
x
=的图象与直线y2＝
kx+b交于A、B两点，点A横坐标为1，点B纵坐标为
1
2 -．
（1）求k，b的值；
（2）结合图象，当
15
22
m
x
x
<+时，求自变量x的取值范围．
20．在菱形ABCD中，点P、Q分别在BC、CD上，∠PAQ＝∠B．
（1）如图1，若AP⊥BC，求证：AP＝AQ；
（2）如图2，若点P为BC上一点，AP＝AQ仍成立吗？请说明理由．
21．2018年，广州国际龙舟邀请赛于6月23日在中山大学北门广场至广州大桥之间的珠江河段举
行．上午8时，参赛龙舟同时出发，甲、乙两队在比赛中，路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示，甲队在上午11时30分到达终点．
（1）在比赛过程中，乙队何时追上甲队？
（2）在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？
22．一个不透明的口袋中有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个，小明将球搅匀后从中摸出一个球是红球的概率是0.25．
（1）求口袋中红球的个数；
（2）若小明第一次从中摸出一个球，放回搅匀后再摸出一个球，请通过树状图或者列表的方法求出小明两次均摸出红球的概率．
A B C D E的顶点把23．如图，五边形ABCDE内部有若干个点，用这些点以及五边形ABCDE的顶点,,,,
原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）：
内部有1个点内部有2个点内部有3个点
（1）填写下表：
五边形ABCDE内点的个
1 2 3 4 …n
数
分割成的三角形的个数 5 7 9 …
（2）原五边形能否被分割成2019个三角形？若能，求此时五边形ABCDE内部有多少个点？若不能，请说明理由.
24．已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答以下问题：
（1）按要求作图：先将△ABO绕原点O逆时针旋转90°得△OA1B1，再以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2；
（2）直接写出点A 1的坐标，点A 2的坐标．
25．随着科学技术的发展，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到C 地开展社会实践活动，车到达A 地后，发现C 地恰好在A 地的正北方向，导航显示车辆应沿北偏东58︒方向行驶8km 至B 地，再沿北偏西37︒方向行驶一段距离才能到达C 地，求B 、C 两地的距离（结果取整数）.（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，sin580.85︒≈，cos580.53︒≈）
【参考答案】*** 一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A B A D C A A C D
C
二、填空题 13．3 14．40 15．＜
16．1+3 1+5 17．
18．n(m+n)(m-n)
三、解答题
19．(1)k=1
2
,b=-
5
2
;(2) ﹣4＜x＜﹣1或x＞0．
【解析】【分析】
（1）根据题意求出直线
115 22
y x
=+与两坐标轴的交点坐标，再根据直线
115 22
y x
=+与直线y2＝kx+b 关于原点O对称，运用待定系数法解答即可；
（2）把点A的横坐标代入直线215
-22
y x
=上，求出点A的坐标；把B点的纵坐标代入直线
215
-22
y x
=
上，求出点B的坐标，根据
m
y
x
=经过点A、B，且
m
y
x
=图象关于原点成中心对称，判断
m
y
x
=必经
过A、B两点，根据交点坐标判断即可求自变量x的取值范围．【详解】
解：（1）∵
115 22
y x
=+，
∴当x＝0，解得
5
2
y=，
∴当y＝0，解得x＝﹣5
∴
115 22
y x
=+与两坐标轴的交点为：
2
4
(,)
24
m n m
-
-，（﹣5，0），
∵
115 22
y x
=+与y2＝kx+b关于原点对称，
∴y2＝kx+b经过点：
5
(0,)
2
-，（5，0），
∴得到方程组：
5·0-
2 50
k b
k b
⎧
+=
⎪
⎨
⎪+=
⎩
，
解得：
5
2
1
2
b
k
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
；
（2）∵点A、B在直线215
-22
y x
=上∴把x＝1代入上式解得y＝﹣2
∴A（1，﹣2）
∴把
1
2
y=-代入上式解得x＝4
∴
1
4,
2
B
⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，
∵m y x =经过点A 、B ，且m
y x =图象关于原点成中心对称， ∴m y x
=
必经过点（﹣1，2）、1(4)2-，,
且（﹣1，2）、1
(4)2-，两点即为m y x =与11522
y x =+两个交点，
∴结合图象，当y ＜y 1时，x 的取值范围的取值范围为：﹣4＜x ＜﹣1或x ＞0． 【点睛】
本题考查了双曲线与直线的交点问题，考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、考查了数形结合以及分类讨论的思想，是一道好题． 20．（1）成立；（2）成立，见解析 【解析】 【分析】
（1）根据题意可利用菱形的性质证明△ABP ≌△ADQ （AAS ）即可解答
（2）过点A 作AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，在证明△AEP ≌△AFQ （ASA ）即可解答 【详解】
（1）在菱形ABCD 中，
∠B+∠C ＝180°，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ， ∵∠PAQ ＝∠B ， ∴∠PAQ+∠C ＝180°， ∴∠APC+∠AQC ＝180°， ∵AP ⊥BC ，
∴∠APB ＝∠AQD ＝90°， 在△ABP 与△ADQ 中， D
APB AQD AB AD ⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∠B=∠∠∠ ， ∴△ABP ≌△ADQ （AAS ），
∴AP ＝AQ ；
（2）过点A 作AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ， 由（1）可知：AE ＝AF ，∠PAQ ＝∠B ＝∠EAF ， ∴∠EAP ＝∠FAQ ， 在△AEP 与△AFQ 中， EAP EAF AE AF AEP AFQ =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∠∠∠∠ ， ∴△AEP ≌△AFQ （ASA ）， ∴AP ＝AQ ．
【点睛】
此题考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质，关键在于证明△ABP ≌△ADQ ，熟练掌握全等三角形的判定
21．（1）出发1小时40分（或者说上午10点40分）时，乙队追上甲队（2）在比赛过程中，甲、乙两队在出发后1小时（或者上午9时）相距最远． 【解析】 【分析】
（1）从图象看，甲队是OA 和AB 段，乙队是OC 段，分别通过相关点的坐标，求出它们的解析式，联立OC 与AB 解析式即可解出交点，交点横坐标即为乙队追上甲队的时间；
（2）从图象看，一小时的时候两者相距较远，再将其与乙队到达终点时的距离比较即可． 【详解】
解：（1）对于乙队，x ＝1时，y ＝16x ， ∴OC 解析式为：y ＝16x ． 对于甲队，
当0≤x≤1时，令y ＝k 1x ，将（1，20）代入得：k 1＝20， ∴y ＝20x ；
当x ＞1时，设AB 解析式为：y ＝k 2x+b ，。