苏教版高中数学必修五课题：数列的综合题

课题：数列的综合题
【课前热身】
1．三个互不相等的数成等比数列，如果适当排列这三个数，也可以成等差数列，已知这三个数的积等于8，则这三个数为
2．数列{}n a 中，a 1=2，a 2=3，且{}1+n n a a 是以3为公比的等比数列，记n n n a a b 212+=-（*N n ∈），则数列{}n b 为 数列。

（填等差、等比）
3
已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合
{}{}*
*,,N n b x x N n a x x n n ∈=∈=I 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c L L 。

则2013是这个新数列的第 项。

【例题精讲】
例1．在等差数列{}n a 中，65=a .
1）当33=a 时，请在数列{}n a 中找一项m a ，使m a a a ，，53成等比数列
2）当23=a 时，若自然数ΛΛ,,,,321t n n n n （*N t ∈）满足ΛΛ<<<<<<t n n n n 3215，使得ΛΛ,,,,2153t n n n a a a a a ，，成等比数列，求数列{}t n 的通项公式
例2．设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称数列{n a }为“J k 型”数列．
（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；
（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列.
例3．
（1）设n a a a ,......,21是各项均不为零的等差数列（4≥n ），且公差0≠d ，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当4=n 时求d
a 1的数值 ②求n 的所有可能值；
探究：
已知各项均为正整数的数列{}n a 满足1n n a a +<,且存在正整数(1)k k >,使得1212k k a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅,*()n k n a k a n +=+∈N
(1) 当1233,6k a a a =⋅⋅=时,求数列{}n a 的前36项的和36S ;
(2) 求数列{}n a 的通项n a ;
【课堂练习】
1已知等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 首项为b ，公差为a ，其中a 、b 都是大于1的
正整数，且11b a <，32a b <，那么a = ，若对于任意的*N n ∈，总存在*N m ∈，使得3+=m n a b ，
则n a =
2．各项均为正偶数的数列4321,,,a a a a 中，前三项依次成公差为)0(>d d 的等差数列，后三项
依次成公比为q 的等比数列.若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为 .
【课堂小结】
有关《数列综合题》这节课的几点设计想法
本节课意图一、从高考动态看数列
从近几年的高考试题看，数列的综合应用成为命题的热点，在填空题、解答题中都有可能出现，主要是等差、等比数列综合题，或可转化为等差、等比数列的综合问题.
等差数列和等比数列是两个最基本的模型，是高考中的热点之一.基本知识以数列填空题的形式呈现，而综合知识则以解答题的形式呈现.
本节课意图二、解数列题方法规律总结和升华
（一）深刻理解等差（比）数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键.两类数列性质既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆，同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错.
如【课前热身】
1．三个互不相等的数成等比数列，如果适当排列这三个数，也可以成等差数列，已知这三个数的积等于8，则这三个数为
选题目的：①学生好入手，利用等差（比）中项可快速求解，计算量较大
②体现分类讨论思想，为例3进行铺垫
③在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程（组）求解，在解方程组时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处，但也可以引出学生直接观察出答案（凑数，直接从特列出发），重视“函数与方程”的数学思想
（二）研究“子数列”问题时常用的方法
如【课前热身】
3.已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合
{}{}*
*,,N n b x x N n a x x n n ∈=∈=I 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c L L 。

则2013是这个新数列的第 项。

选题目的：①列举{}n a 和{}n b 各项，由一般到特殊，推出36+=n c n
②推导出两个等差数列{}n a ，{}n b 的公共项组成的{}n c 的公差为1d 与2d 的最小公倍数
③小结“子数列”问题研究的基本思路，并通过变式加以巩固
再如例1．在等差数列{}n a 中，65=a . 1）当33=a 时，请在数列{}n a 中找一项m a ，使m a a a ，，53成等比数列
2）当23=a 时，若自然数ΛΛ,,,,321t n n n n （*N t ∈）满足ΛΛ<<<<<<t n n n n 3215，使得ΛΛ,,,,2153t n n n a a a a a ，，成等比数列，求数列{}t n 的通项公式
选题目的：①在已知等差（比）数列中，以化繁为简的原则抓住1a 与)(g d ，利用基本量方法解决 ②研究“子数列”问题时，要注意这些项的双重身份，关键是这个项在新数列和原数列中如何表示
（三）数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度.解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等。

尤其是“等价转换”（化归）,即可转化为等差、等比数列的综合问题要重视。