2021-2022年高考数学二轮复习第1部分专题二函数与导数3导数及其应用限时速解训练

2021年高考数学二轮复习第1部分专题二函数与导数3导数及其应
用限时速解训练
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．设函数f (x )＝x 2
4－a ln x ，若f ′(2)＝3，则实数a 的值为( )
A ．4
B ．－4
C ．2
D ．－2
解析：选B.f ′(x )＝x 2－a x ，故f ′(2)＝22－a
2
＝3，因此a ＝－4.
2．曲线y ＝e x 在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e)
D ．(0,2)
解析：选B.设A (x 0，e x 0)，y ′＝e x ，∴y ′|x ＝x 0＝e x 0.由导数的几何意义可知切线的斜率k ＝e x 0.
由切线与直线x －y ＋3＝0平行可得切线的斜率k ＝1. ∴e x 0＝1，∴x 0＝0，∴A (0,1)．故选B.
3．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ( )
A.⎣⎢
⎡⎭⎪⎫
32，＋∞ B.⎝
⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－
32∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3
2，＋∞
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－
32∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
2，＋∞ 解析：选C.若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有根，故
Δ＝(－4c )2－12≥0，从而c ≥
32或c ≤－3
2
. 4．已知f (x )＝a ln x ＋1
2
x 2(a ＞0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有
f x 1－f x 2
x 1－x 2
≥2恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B ．(1，＋∞)
C ．(0,1)
D ．(0,1]
解析：选 A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2，所以函数的导数
f ′(x )＝a
x
＋x ≥2.可得x ＝a 时，f ′(x )有最小值2.∴a ≥1.
5．已知x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，那么函数f (x )的极大值为( ) A ．15 B ．16 C ．17
D ．18
解析：选D.x ＝2是函数f (x )＝x 3
－3ax ＋2的极小值点，即x ＝2是f ′(x )＝3x 2
－3a ＝0的根，将x ＝2代入得a ＝4，所以函数解析式为f (x )＝x 3－12x ＋2，令f ′(x )＝3x 2－12＝0，得x ＝±2，故函数在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x ＝－2时函数f (x )取得极大值f (－2)＝18，故选D.
6．若幂函数f (x )的图象过点⎝
⎛⎭
⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e x
f (x )的单调递减区间为( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，－2)
C ．(－2，－1)
D ．(－2,0)
解析：选D.设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝
⎛⎭
⎪⎫
22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以
f (x )＝x 2，故
g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函
数单调减区间为(－2,0)故选D.
7．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞)
B ．[1,2)
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
1，32 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，2 解析：选C.f ′(x )＝4x －1x ＝
2x －1
2x ＋1
x
，
∵x ＞0，由f ′(x )＝0得x ＝1
2
.
∴令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜1
2
.
由题意得⎩
⎪⎨⎪
⎧
k －1≥0，k －1＜1
2＜k ＋1⇒1≤k ＜3
2
.故C 正确．
8．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y ＝f (x )在区间⎝
⎛
⎭⎪⎫－3，－12内单调递增；
②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，3内单调递减；
③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增；
④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－1
2时，函数y ＝f (x )有极大值．
则上述判断中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④⑤
D ．③
解析：选D.当x ∈(－3，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，①错；当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，2时，
f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(2,3)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，②错；当x ＝
2时，函数y ＝f (x )有极大值，④错；当x ＝－1
2时，函数y ＝f (x )无极值，⑤错．故选
D.
9．函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1,2) C ．(－1,3]
D ．(－1,2]
解析：选D.由题知f ′(x )＝3－3x 2，令f ′(x )＞0，解得－1＜x ＜1；令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞1，由此得函数在(－∞，－1)上是减函数，在(－1,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，故函数在x ＝－1处取到极小值－2，判断知此极小值必是区间(a 2
－12，a )上的最小值，
∴a 2－12＜－1＜a ，解得－1＜a ＜11，又当x ＝2时，f (2)＝－2，故有a ≤2.综上知a ∈(－1,2]，故选D.
10．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )＜12，则f (x )＜x 2＋1
2的
解集为( ) A ．{x |－1＜x ＜1} B ．{x |x ＜－1} C ．{x |x ＜－1，或x ＞1}
D ．{x |x ＞1}
解析：选D.设F (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12，则F (1)＝f (1)－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＋12＝1－1＝0，F ′(x )＝f ′(x )
－12，对任意x ∈R ，有F ′(x )＝f ′(x )－1
2
＜0，即函数F (x )在R 上单调递减，则F (x )＜0的解集为(1，＋∞)，即f (x )＜x 2＋1
2
的解集为(1，＋∞)，故选D.
11．已知函数f (x )(x ∈R )满足f ′(x )＞f (x )，则( ) A ．f (2)＜e 2f (0) B ．f (2)≤e 2f (0) C ．f (2)＝e 2f (0)
D ．f (2)＞e 2f (0)
解析：选D.由题意构造函数g (x )＝
f x
e x
，则g ′(x )＝
f ′x －f x
e x
＞0，则g (x )
＝
f x
e
x
在R 上单调递增，则有g (2)＞g (0)，故f (2)＞e 2f (0)．
12．直线y ＝a 分别与直线y ＝2(x ＋1)，曲线y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( ) A ．3 B ．2 C.324
D.32
解析：选D. 解方程2(x ＋1)＝a ，得x ＝a
2－1.
设方程x ＋ln x ＝a 的根为t (t ＞0)，则t ＋ln t ＝a ，
则|AB |＝⎪⎪⎪
⎪⎪⎪t －a
2＋1＝⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪t －
t ＋ln t
2
＋1
＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪t 2－ln t 2＋1.
设g (t )＝t 2－ln t
2
＋1(t ＞0)，
则g ′(t )＝12－12t ＝t －1
2t
(t ＞0)，
令g ′(t )＝0，得t ＝1.当t ∈(0,1)时，g ′(t )＜0； 当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )＞0，所以g (t )min ＝g (1)＝3
2，
所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为3
2.
二、填空题(把答案填在题中横线上)
13．已知函数f (x )＝x 2
＋3x －2ln x ，则函数f (x )的单调递减区间为________． 解析：函数f (x )＝x 2＋3x －2ln x 的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x ＋3－2
x
，令2x ＋3
－2x ＜0，即2x 2
＋3x －2＜0，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.又x ∈(0，＋∞)，所以x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12.所以
函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎦
⎥⎤
0，12.
14．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎝ ⎛⎭⎪⎫
23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围
是________．
解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2
＋x ＋2a
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1
4
＋2a .
当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2
9
＋2a .
令29＋2a ＞0，解得a ＞－19
. 所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－19，＋∞.
15．若方程kx －ln x ＝0有两个实数根，则k 的取值范围是________． 解析：令y ＝kx ，y ＝ln x .
若方程kx －ln x ＝0有两个实数根，
则直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 有两个不同交点．
故直线y ＝kx 应介于x 轴和曲线y ＝ln x 过原点的切线之间． 设曲线y ＝ln x 过原点的切线的切点为(x 0，ln x 0)，
又y ′|x ＝x 0＝1x 0，故切线方程为y －ln x 0＝1
x 0
(x －x 0)，将原点代入得，x 0＝e ，此时y ′|x
＝x 0＝1x 0＝1e ，故所求k 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1e .
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1e
16．设定义在R 上的函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )．如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (b )－f (a )＝f ′(x 0)(b －a )成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“中值点”．那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2,2]上的“中值点”为________．
解析：由f (x )＝x 3
－3x 求导可得f ′(x )＝3x 2
－3，设x 0为函数f (x )在区间[－2,2]上的
“中值点”，则f ′(x 0)＝
f 2－f －2
2－
－2＝1，即3x 2
0－3＝1，解得x 0＝±233
.
23答案：±
3。