丹阳市第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷

丹阳市第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则
()()f x x R Î02[,](1),01
()sin ,12x x x f x x x ì-££ï=íp <£ïî
（ ）1741
()()46f f +=A ． B ． C ． D ．
71691611161316
【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能力．
2． 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A ．y=1，y=x 0
B ．y=
•
，y=
C ．y=x ，y=
D ．y=|x|，t=（
）2
3． “p q ∨为真”是“p ⌝为假”的（ ）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要4． 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（
）
A ．（0，+∞）
B ．（0，2）
C ．（1，+∞）
D ．（0，1）
5． 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，.若
,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为A[]B[]
C[]
D[
]
6． 设有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ）
A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
B ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β
C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β
D ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α
7． 直角梯形中,,直线截该梯形所得位于左边图OABC ,1,2AB OC AB OC BC ===A :l x t =形面积为，则函数的图像大致为（
）
()S f t =
8． 方程表示的曲线是（ ）
1x -=A ．一个圆 B ． 两个半圆
C ．两个圆
D ．半圆
9． 已知x ，y 满足约束条件，使z=ax+y 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（
）
A ．﹣3
B ．3
C ．﹣1
D ．1
10．设数集M={x|m ≤x
≤m+}，N={x|n ﹣≤x ≤n}，P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，如果把b ﹣a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
11．某公司租赁甲、乙两种设备生产A B ，两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费用为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为__________元.
12．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=，若函数y=f （f ()
210{ 21(0)
x
x
x e x x x +≥++<（x ）﹣a ）﹣1有三个零点，则a 的取值范围是_____．
13．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，asinA=bsinB+（c ﹣b ）sinC ，且bc=4，则△ABC 的面积为 ．14．（﹣）0
+[（﹣2）3]
= ．
15．某种产品的加工需要 A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中 A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种．（用数字作答）16．△ABC 外接圆半径为，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A=60°，b=2，则c 的值为 ．
三、解答题
17．【南师附中2017届高三模拟二】已知函数．()()323
131,02
f x x a x ax a =+--+>（1）试讨论的单调性；
()()0f x x ≥（2）证明：对于正数，存在正数，使得当时，有；a p []0,x p ∈()11f x -≤≤（3）设（1）中的的最大值为，求得最大值．
p ()g a ()g a 18．已知抛物线C ：x 2=2y 的焦点为F ．
（Ⅰ）设抛物线上任一点P （m ，n ）．求证：以P 为切点与抛物线相切的方程是mx=y+n ；
（Ⅱ）若过动点M （x 0，0）（x 0≠0）的直线l 与抛物线C 相切，试判断直线MF 与直线l 的位置关系，并予以证明．　
19．由四个不同的数字1，2，4，x 组成无重复数字的三位数．（1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？（2）若x=9，其中能被3整除的共有多少个？（3）若x=0，其中的偶数共有多少个？
（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x ．
20．（本题满分15分）
如图是圆的直径，是弧上一点，垂直圆所在平面，，分别为，的中点.AB O C AB VC O D E VA VC （1）求证：平面；
DE ⊥VBC （2）若，圆的半径为，求与平面所成角的正弦值.
6VC CA ==O 5BE BCD
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，线面等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．
21．如图，A 地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所
用时间落在个时间段内的频率如下表：
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X 的分布列和数学期望。

22．如图的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）．
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在所给直观图中连结BC′，证明：BC′∥面EFG．
丹阳市第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
2．【答案】C
【解析】解：A中的两个函数y=1，y=x0，定义域不同，故不是同一个函数．
B中的两个函数定义域不同，故不是同一个函数．
C中的两个函数定义域相同，y=x，y==x，对应关系一样，故是同一个函数．
D中的两个函数定义域不同，故不是同一个函数．综上，只有C中的两个函数是同一个函数．
故选：C．
3．【答案】B
【解析】
p p q∨p⌝p q∨p⌝p⌝
试题分析：因为假真时，真，此时为真，所以，“真”不能得“为假”，而“为p p q∨
假”时为真，必有“真”，故选B.
考点：1、充分条件与必要条件；2、真值表的应用.
4．【答案】D
【解析】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆
∴故0＜k＜1
故选D．
【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．
5．【答案】B
【解析】当x≥0时，
f（x）=，
由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；
当a 2＜x ＜2a 2时，f （x ）=﹣a 2；
由f （x ）=﹣x ，0≤x ≤a 2，得f （x ）≥﹣a 2。

∴当x ＞0时，。

∵函数f （x ）为奇函数，
∴当x ＜0时，。

∵对∀x ∈R ，都有f （x ﹣1）≤f （x ），∴2a 2﹣（﹣4a 2）≤1，解得：。

故实数a 的取值范围是。

6． 【答案】D
【解析】解：A 不对，由面面平行的判定定理知，m 与n 可能相交，也可能是异面直线；B 不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；
C 不对，由面面垂直的性质定理知，m 必须垂直交线；故选：
D ．
7． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，当时，，当时，01t <≤()21
22
f t t t t =
⋅⋅=12t <≤，所以，结合不同段上函数的性质，可知选项C 符
()1
12(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-()2,0121,12
t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩合，故选C.
考点：分段函数的解析式与图象.8． 【答案】A 【解析】
试题分析：由方程，两边平方得，即，所
1x -=2
2
1x -=2
2
(1)(1)1x y -++=以方程表示的轨迹为一个圆，故选A.考点：曲线的方程.9． 【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=ax+y ，得y=﹣ax+z ，
若a=0，此时y=z ，此时函数y=z 只在B 处取得最小值，不满足条件．
若a＞0，则目标函数的斜率k=﹣a＜0．
平移直线y=﹣ax+z，
由图象可知当直线y=﹣ax+z和直线x+y=1平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，
此时﹣a=﹣1，即a=1．
若a＜0，则目标函数的斜率k=﹣a＞0．
平移直线y=﹣ax+z，
由图象可知当直线y=﹣ax+z，此时目标函数只在C处取得最小值，不满足条件．
综上a=1．
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．
10．【答案】C
【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，
P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，
∴根据题意，M的长度为，N的长度为，
当集合M∩N的长度的最小值时，
M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，
故M∩N的长度的最小值是=．
故选：C．
二、填空题
11．【答案】2300
【解析】111]
试题分析：根据题意设租赁甲设备，乙设备，则⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥+≥+≥≥140
20y 10x 506y 5x 0y 0x ，求目标函数300y 200x Z +=的
最小值.作出可行域如图所示，从图中可以看出，直线在可行域上移动时，当直线的截距最小时，取最小值
2300.
1111]
考点：简单线性规划.
【方法点晴】本题是一道关于求实际问题中的最值的题目，可以采用线性规划的知识进行求解；细查题意，设甲种设备需要生产天，乙种设备需要生产y 天，该公司所需租赁费为Z 元，则y x Z 300200+=，接下来列出满足条件的约束条件，结合目标函数，然后利用线性规划的应用，求出最优解，即可得出租赁费的最小值.12．【答案】1
1[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬
⎩
⎭
，）【解析】当x ＜0时，由f （x ）﹣1=0得x 2+2x+1=1，得x=﹣2或x=0，
当x ≥0时，由f （x ）﹣1=0得，得x=0，110x x e
+-=由，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1=0得f （x ）﹣a=0或f （x ）﹣a=﹣2，
即f （x ）=a ，f （x ）=a ﹣2，
作出函数f （x ）的图象如图：y=
≥1（x ≥0），1x
x e +y ′=，当x ∈（0，1）时，y ′＞0，函数是增函数，x ∈（1，+∞）时，y ′＜0，函数是减函数，1x x e
-x=1时，函数取得最大值：，11e
+当1＜a ﹣2时，即a ∈（3，3+）时，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有4个零点，11e <+1e
当a ﹣2=1+时，即a=3+时则y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，1e 1e
当a ＞3+时，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有1个零点1e
当a=1+时，则y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，1e
当时，即a ∈（1+，3）时，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点．11{ 21a e a >+-≤1e 综上a ∈，函数有3个零点．
11[133e e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭，）故答案为：．
11[133e e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭
）点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．13．【答案】 ．
【解析】解：∵asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，
∴由正弦定理得a2=b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2=bc，
∴由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，
∴cosA===，A=60°．可得：sinA=，
∵bc=4，
∴S△ABC=bcsinA==．
故答案为：
【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．
14．【答案】 ．
【解析】解：（﹣）0+[（﹣2）3]
=1+（﹣2）﹣2
=1+=．
故答案为：．
15．【答案】　24　
【解析】解：由题意，B与C必须相邻，利用捆绑法，可得=48种方法，
因为A必须在D的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有48÷2=24种，
故答案为：24．
【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．
16．【答案】 ．
【解析】解：∵△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，
∴由正弦定理可得：
，解得：a=3，∴利用余弦定理：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得：9=4+c 2﹣2c ，即c 2﹣2c ﹣5=0，
∴解得：c=1+
，或1﹣（舍去）．故答案为：
．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于
基础题．
　三、解答题
17．【答案】（1）证明过程如解析；（2）对于正数，存在正数，使得当时，有a p []0,x p ∈
；（3）()11f x -≤≤()g a 【解析】【试题分析】（1）先对函数进行求导，再对导函数的值的()()323131,02
f x x a x ax a =+--+>符号进行分析，进而做出判断；（2）先求出函数值
，进而分和两种情形进行()01,f =()3213122f a a a =--+=()()211212
a a -+-()1f a ≥-()1f a <-分析讨论，推断出存在使得，从而证得当时，有成立；（3）()0,p a ∈()10f p +=[]0,x p ∈()11f x -≤≤借助（2）的结论在上有最小值为，然后分两种情形探求的解析表()f x ：[)0,+∞()f a 011a a ≤，()g a 达式和最大值。

证明：（1）由于，且，()()2
3313f x x a x a =+--'()()31x x a =+-0a >故在上单调递减，在上单调递增．
()f x []0,a [),a +∞
（3）由（2）知在上的最小值为．
()f x [)0,+∞()f a 当时，，则是方程满足的实根，
01a <≤()1f a ≥-()g a ()1f p =p a >即满足的实根，()223160p a p a +--=p a >
所以．
()g a =
又在上单调递增，故()g a (]0,1()()max 1g a g ==
当时，，由于，1a >()1f a <-()()()901,11112
f f a ==
--<-故．此时，．
][0,0,1p ⎡⎤⊂⎣⎦()1g a ≤
综上所述，()g a 18．【答案】 【解析】证明：（Ⅰ）由抛物线C ：x 2=2y 得，y=x 2，则y ′=x ，
∴在点P （m ，n ）切线的斜率k=m ，
∴切线方程是y ﹣n=m （x ﹣m ），即y ﹣n=mx ﹣m 2，
又点P （m ，n ）是抛物线上一点，
∴m 2=2n ，
∴切线方程是mx ﹣2n=y ﹣n ，即mx=y+n …
（Ⅱ）直线MF 与直线l 位置关系是垂直．
由（Ⅰ）得，设切点为P （m ，n ），则切线l 方程为mx=y+n ，
∴切线l 的斜率k=m ，点M （，0），
又点F （0，），
此时，k MF ==== …
∴k •k MF =m ×（）=﹣1，
∴直线MF ⊥直线l
…【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，直线垂直的条件等，属于中档题．　
19．【答案】
【解析】
【专题】计算题；排列组合．
【分析】（1）若x=5，根据题意，要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，由排列数公式计算可得答案；
（2）若x=9，根据题意，要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，分“取出的三个数字为1、2、9”与“取出的三个数字为2、4、9”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；
（3）若x=0，根据题意，要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，分“末位是0”与“末位是2或4”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；
（4）分析易得x=0时不能满足题意，进而讨论x ≠0时，先求出4个数字可以组成无重复三位数的个数，进而可以计算出每个数字用了18次，则有252=18×（1+2+4+x ），解可得x 的值．
【解答】解：（1）若x=5，则四个数字为1，2，4，5；
又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，
在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A 32=6种情况，
即能被5整除的三位数共有6个；
（2）若x=9，则四个数字为1，2，4，9；
又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，
取出的三个数字为1、2、9时，有A 33=6种情况，
取出的三个数字为2、4、9时，有A 33=6种情况，
则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数；
（3）若x=0，则四个数字为1，2，4，0；
又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，
当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A 32=6种情况，
当末位是2或4时，有A 21×A 21×A 21=8种情况，
此时三位偶数一共有6+8=14个，
（4）若x=0，可以组成C 31×C 31×C 21=3×3×2=18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次，则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18=126，不合题意，
故x=0不成立；
当x ≠0时，可以组成无重复三位数共有C 41×C 31×C 21=4×3×2=24种，共用了24×3=72个数字，则每个数字用了=18次，
则有252=18×（1+2+4+x ），解可得x=7．
【点评】本题考查排列知识，解题的关键是正确分类，合理运用排列知识求解，第（4）问注意分x 为0与否两种情况讨论．
20．【答案】（1）详见解析；（2.【解析】（1）∵，分别为，的中点，∴，…………2分D E VA VC //DE AC
∵为圆的直径，∴，…………4分
AB O AC BC ⊥又∵圆，∴，…………6分
VC ⊥O VC AC ⊥∴，，又∵，∴；…………7分
DE BC ⊥DE VC ⊥VC BC C = DE VBC ⊥面（2）设点平面的距离为，由得，解得E BCD d D BCE E BCD V V --=1
133
BCE BCD DE S d S ∆∆⨯⨯=⨯⨯
，…………12分 设与平面所成角为，∵，d =BE BCD θ8BC ==
，则.…………15分
BE ==sin d BE θ==21．【答案】
【解析】（1）A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到火车站”，B i 表示事件“乙选择路径L i 时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2，用频率估计相应的概率可得
P （A 1）=0。

1+0。

2+0。

3=0。

6，P （A 2）=0。

1+0。

4=0。

5，
P （A 1） ＞P （A 2）,
甲应选择L i P （B 1）=0。

1+0。

2+0。

3+0。

2=0。

8，P （B 2）=0。

1+0。

4+0。

4=0。

9，
P （B 2） ＞P （B 1）, 乙应选择L 2。

（2）A,B 分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知
,又由题意知，A,B 独立，
22．【答案】
【解析】解：（1）如图
（2）它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥，
设长方体体积为V 1，小三棱锥的体积为V 2，则根据图中所给条件得：V 1=6×4×4=96cm 3，
V 2=••2•2•2=cm 3，
∴V=v 1﹣v 2=cm 3
（3）证明：如图，
在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，连接AD′，则AD′∥BC′
因为E，G分别为AA′，A′D′中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′，又EG⊂平面EFG，所以BC′∥平面EFG；
2016年4月26日。