江苏省2012届高三高考适应性检测卷数学试题

Read x
If
x
>
Then
1y x ←+
Else
江苏省2012届高三数学高考适应性检测卷
（南师大数科院命制2012-5）
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案
填入答题纸填空题的相应答题线上．)
1．复数i
i 4321+-在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限．
2．设全集{1,3,5,7}U =，集合{1,5}M a =-，M U ⊆,
{}
5,7U
M =，则实数a 的值为
▲ ．
3．过点()1,0且倾斜角是直线210x y --=的倾斜角的两倍的直线方程是 ▲ ．
4．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标()n m 、，
求点P 落在圆162
2
=+y x 内的概率为 ▲ ．
5．若双曲线22
21613x y p
-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则
p 的值
为 ▲ ．
6．如图所示，设P 、Q 为△ABC 内的两点,且215
5
AP AB AC =+，
AQ
=
2
3
AB +
1
4
AC ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为
▲ ．
7．下图是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序,若x 依次取数
1100n ⎧⎫
-⎨
⎬⎩⎭
()n N +∈ 中的前200项，则所得y 值中的最小值为 ▲ ．
（第6题）
8．在ABC ∆中，若,
,AB AC AC b BC a
⊥==,则ABC ∆的外接圆半径22a b r +将此结
论拓展到空间，可得出的正确结论是:在四面体S ABC -中，若
SA SB SC 、、两两垂直，,,SA a SB b SC c ===，则四面体S ABC -的外接球半径
R =
▲ ．
9．若a 是12b +与12b -的等比中项,则22ab a b
+的最大值为 ▲ ．
10．空间直角坐标系中,点(
6,4sin ,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则
A 、
B 两
点间距离的最大值为 ▲ ．
11．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：
x
3
5
8
9
15
x lg
b a -2
c a +
c a 333--
b a 24-
13++-c b a
请将错误的一个改正为lg ▲ = ▲ ．
12．如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三
条平行直
线
,l 1
与
l 2
间
的
距离是1,l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则
△ABC 的边长是 ▲ ．
13．已知数列{}n
a 、{}n
b 都是等差数列，n n
T S
,分别是它们的前n 项和，
并且31
7++=
n n T S
n
n
，则16
1210822
1752b b b b a a a a ++++++= ▲ ．
14．已知函数)(x f 的值域为[][]0,4(2,2)x ∈-,函数()1,[2,2]g x ax x =-∈-，1
[2,2]x ∀∈-，
总0
[2,2]x
∃∈-，使得01()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是
▲ ．
二、解答题：（本大题共6小题，共90分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
15．（本小题满分14分）
在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边,已知
222b c a bc +=+。

(Ⅰ)求角A 的大小： （Ⅱ）若2
22sin
2sin 122
B C
+=，判断ABC ∆的形状。

16．（本小题满分15分）
如图所示，在棱长为2的正
方
体
1111ABCD A BC D -中，
E 、
F 分别为1
DD 、
DB 的中点．
（Ⅰ）求证：EF //平面11ABC D ；
（Ⅱ）求证:1
EF B C ⊥；
（Ⅲ）求三棱锥EFC B V -1
的体积．
17．（本小题满分14分)
某化工企业2007年底投入100万元,购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元，由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元．
C
D
B
F
E
D 1
C 1
B 1
A
A 1
A （Ⅰ）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y(万元）；
（Ⅱ)问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？
18．（本小题满分15分）
如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB。

点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点。

(Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；
（Ⅱ）当点P变化时,求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。

19
设常数0
a≥，函数2
()ln2ln1
f x x x a x
=-+-((0,))
x∈+∞。

（Ⅰ)令()()
g x xf x'
=(0)
x>，求()
g x的最小值，并比较()
g x的最小值与零的大小;
（Ⅱ）求证:()f x在(0,)+∞上是增函数；
（Ⅲ）求证：当1
x>时，恒有2ln2ln1
x x a x
>-+．
20．(本小题满分16分）
定义：若数列{}n
A 满足2
1n n A A =+，则称数列{}n
A 为“平方递推数列”.已知数列{}n a 中，21=a ，点),(1
+n n a a 在函数x x x f 22)(2
+=的图像上,其中n 为正整数。

(Ⅰ)证明：数列{}12+n a 是“平方递推数列”，且数列{})12lg(+n
a 为等比数列.
(Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n 项之积为n
T ，即
12(21)(21)(21)n n T a a a =+++，
求数列{}n a 的通项及n
T 关于n 的表达式。

（Ⅲ）记n a n
T b n 1
2log +=，求数列{}n b 的前n 项之和n S ,并求使2008n
S >的n 的
最小值.
◎试卷使用说明
1、此试卷完全按照2012年江苏高考数学考试说明命题，无超纲内容。

2、此试卷成绩基本可以反映高考时的数学成绩，上下浮动15分左右。

3、若此试卷达120分以上，高考基本可以保底120分；若达85分，只要在下一个阶段继续努力高考可以达96分。

4、此试卷不含理科加试内容.
2012届高三数学综合检测卷
参考答案
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分． 5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
（本大题共6小题，共证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分)
解:(Ⅰ）在ABC ∆中，2
222cos b
c a bc A +-=，又222b c a bc +=+
∴1cos ,2
3
A A π==…………………………………………………6分
(Ⅱ）∵2
22sin
2sin 122
B C
+=，∴1cos 1cos 1B C -+-=……………………8分
∴2cos cos 1,cos cos()13B C B B π+=+-=，22cos cos cos sin sin 133
B B B ππ++=，
1
sin cos 122
B B +=，∴sin()16B π+=，
∵0B π<<，∴,3
3
B C ππ== ， ∴ABC ∆为等边三角形。

(14)
分
16．(本小题满分15分)
证明：（Ⅰ）连结1
BD ,在B DD 1∆中，E 、F 分别为1
D D ，DB 的中点，则
11111111////EF D B
D B ABC D EF ABC D EF ABC D ⎫
⎪
⊂⇒⎬⎪⊄⎭
平面平面平面
(Ⅱ)
1111111,B C AB
B C BC AB B C ABC D AB BC B ⊥⎫
⎪⊥⎪⎬⊂⎪
⎪=⎭
平面⇒
111111B C ABC D BD ABC D ⊥⎫⇒⎬⊂⎭
平面平面111//B C BD EF BD ⊥⎫⎬⎭1EF B C ⇒⊥
（Ⅲ)
11CF BDD B ⊥平面
1CF EFB ∴⊥平面
且
CF BF ==
11
2
EF BD =
=
1B F =
==
13B E ===
∴2
2211EF
B F B E +=
D
B
F
E
D 1
C 1
B 1
A
A 1
即
1
90
EFB
∠=
111
1
3
B EF
C C B EF B EF
V V S CF
--∆
∴==⋅⋅=1
11
32
EF B F CF
⨯⋅⋅⋅
=111
32
⨯=
17．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）
x
x
x
y
)
2
6
4
2(
5.0
100+
+
+
+
+
+
=
即5.1
100
+
+
=
x
x
y（0>x）；-——-—-——-———--——----—-—--—----———-—-—-——--———-——7分
（不注明定义域不扣分,或将定义域写成*N
x∈也行）
由均值不等式得：
（Ⅱ）5.21
5.1
100
2
5.1
100
=
+
⋅
≥
+
+
=
x
x
x
x
y（万元)-----—----—-—--—-———--—11分
当且仅当
x
x
100
=,即10
=
x时取到等号．—-———----—-—---—--—--—-———--——————-——-——13分
答：该企业10年后需要重新更换新设备．-----—-—-—-—--——--———---———-—-—--—---————-14分
18．（本小题满分15
⊙O的方程为224
x y
+=
直线L的方程为4
x=。

(Ⅰ)
∴:(2)
3
AP
l y x
=+，:BP l y=
将x=4代入,得M
∴MN
∴以MN 为直径的圆的方程为2
2
(4)12x y -+=。

同理，当点P 在x 轴下方时，所求圆的方程仍是2
2
(4)12x y -+=。

（Ⅱ）设点P 的坐标为0
(,)x y ，∴2200
4x y +=（0
0y ≠），∴2200
4y x =-。

∵00
00:(2),:(2)2
2
PA
PB
y y l y x l y x x x =+=-+-,
将x=4
代入，得0062
M y y x =+，
022N y y x =
-。

∴000062(4,),(4,)22y y M N x x +-,MN=000000
446222x y y x x y --=+-。

MN 的中点坐标为00
4(1)(4,)x y --。

以MN 为直径的圆/
O 截x
轴的线段长度为=
0y =
== ∴⊙/
O 必过⊙O
内定点(4-.
19．（本小题满分15分)
解（Ⅰ）∵()(ln )(ln )2ln 1f x x x x a x =-+-，(0,)x ∈+∞
∴112()1[ln (ln )]a f x x x x
x
x
'=-⨯+⨯+, 2ln 21x a x
x
=-+， ……2分
∴()()2ln 2g x xf x x x a '==-+，(0,)x ∈+∞
∴22()1x g x x
x
-'=-=，令()0g x '=，得2x =， ……4分
列表如下：
∴()g x 2x =(2)22ln 22g a =-+,
即()g x 的最小值为(2)22ln 22g a =-+． (6)
分
(2)2(1ln 2)2g a =-+，
∵ln 21<，∴1ln 20->，又0a ≥,∴(2)0g >． ……8分
证明（Ⅱ）由（Ⅰ)知，()g x 的最小值是正数，
∴对一切(0,)x ∈+∞，恒有()()0g x xf x '=>， (10)
分
从而当0x >时，恒有
()0f x '>， ……11分
故()f x 在(0)
+，∞上是增函数． ……12分
证明(Ⅲ）由(Ⅱ）知：()f x 在(0)+，∞上是增函数,
∴当1x >时，
()(1)f x f >， ……13分
又2
(1)1ln 12ln110f a =-+-=， ……14分
∴()0f x >，即2
1ln 2ln 0x x a x --+>， ∴2
ln 2ln 1x x a x >-+
故当1x >时，恒有2
ln 2ln 1x x a x >-+． (15)
分
20．（本小题满分16分)
（Ⅰ)由条件a n ＋1＝2a n 2＋2a n ， 得2a n ＋1＋1＝4a n 2＋4a n ＋1＝（2a n ＋1）
2
．∴{b n }是“平方递推数列"．∴lg b n ＋1＝2lg b n ．∵lg(2a 1＋1)＝lg5
≠0,∴错误!＝2．∴｛lg （2a n ＋1）｝为等比数列．
（Ⅱ）∵lg （2a 1＋1）＝lg5,∴lg （2a n ＋1）＝2n －1lg5，∴2a n ＋1＝5错误!，
∴a n ＝错误!（5错误!－1）．
∵lg T n ＝lg （2a 1＋1)＋lg(2a 2＋1)＋…＋lg （2a n ＋1）＝lg5（1－2n ）1－2＝
(2n －1）lg5． ∴T n ＝5错误!．
学必求其心得，业必贵于专精
(3）c n＝错误!＝错误!＝错误!＝2－错误!错误!，
∴S n＝2n－［1＋错误!＋错误!错误!＋…＋错误!错误!]＝2n－错误!＝2n－2[1－错误!错误!］＝2n－2＋2错误!错误!．
由S n＞2008得2n－2＋2错误!错误!＞2008，n＋错误!错误!＞1005，
当n≤1004时，n＋错误!错误!＜1005，当n≥1005时，n＋错误!错误!＞1005，∴n的最小值为1005．。