2011中考数学加油站40：二次函数

第19课时 二次函数（1）
【复习要点】
1、二次函数的一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ；二次函数的顶点式是 ，顶点坐标是 ，
2、二次函数的图像是 ，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标是 ，对称轴是 ，
（1）当a ＞0时，抛物线的开口向 ，顶点是图像的最 点（填“高”或“低”），
所以函数有最 值（填“大”或“小”），且这个值是 .
当X ＜2b a
-
时（即在对称轴的左边），y 随x 的增大而 ， 当X ＞2b a -时（即在对称轴的右边），y 随x 的增大而 . （2）当a ＜0时，抛物线的开口向 ，顶点是图像的最 点（填“高”或“低”），
所以函数有最 值（填“大”或“小”），且这个值是 ，
当X ＜2b a
-
时（即在对称轴的左边），y 随x 的增大而 ， 当X ＞2b a -时（即在对称轴的右边），y 随x 的增大而 . 3、抛物线y=ax 2+bx+c ，当b=0，c=0时，抛物线变为 ，它的顶点是 ，对称轴是 ，
（1）把抛物线y=ax 2向左平移h 个单位得到抛物线 ，
把抛物线y=ax 2向右平移h 个单位得到抛物线 ，
（2）把抛物线y=ax 2向上平移k 个单位得到抛物线 ，
把抛物线y=ax 2向下平移k 个单位得到抛物线 ，
（3）把抛物线y=ax 2向左平移h 个单位再向上平移k 得到抛物线 ，
把抛物线y=ax 2向左平移h 个单位再向下平移k 得到抛物线 ，
（4）把抛物线y=ax 2向右平移h 个单位再向上平移k 得到抛物线 ，
把抛物线y=ax 2向右平移h 个单位再向下平移k 得到抛物线 ，
（5）把抛物线y=a(x-h)2+k 向右平移m 个单位再向上移动n 得到抛物线 ， 注：移动口诀是“左加右减，上加下减”，移动只改变抛物线的顶点坐标和对称轴，不会改变抛物线的形状。

【例题解析】
例1：已知函数4m m 2
x )2m (y -++=是关于x 的二次函数，求：
(1)满足条件的m 值；
(2)m 为何值时，抛物线有最低点?求这个最低点．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大?
(3)m 为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小? 解：(1) 使4m m 2x )2m (y -++=是关于x 的二次函数，则m 2＋m －4＝2，且m ＋2≠0.
解得：m ＝2或m ＝－3.
(2) 抛物线有最低点的条件是它开口向上，即m ＋2＞0，
∴m =2时，抛物线有最低点，这个最低点是（0,0）（即坐标原点），
这时当x ＞0时，y 随x 的增大而增大
(3) 函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即m ＋2＜0.
∴m =-3时，函数有最大值，最大值是0，这时当x ＞0，y 随x 的增大而减小. 例2: 用配方法求出抛物线y ＝－3x 2－6x ＋8的顶点坐标、对称轴，说明通过怎样的平移，
可得到抛物线y ＝－3x 2.
解：y ＝－3x 2－6x ＋8
＝－3(x 2＋2x)＋8
＝－3(x 2＋2x ＋1－1)＋8
＝－3[(x ＋1)2－1]＋8
＝－3(x ＋1)2＋11
∴顶点坐标是（-1,11）、对称轴是直线ｘ＝－1.
把抛物线ｙ＝－3(x ＋1)2＋11先向右平移１个单位，再向下平移11个单位，可得到抛物线y ＝－3x 2
例3：根据下列条件，求出二次函数的解析式。

(1) 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点；
(2) 抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)；
(3) 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以x ＝1为对称轴；
(4) 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过一次函数332
y x =-+的图象与x 轴、y 轴的 交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式；
解：（1）抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点，得
131c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ ∴111a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴二次函数的解析式为y ＝x 2＋x ＋1.
（2）设二次函数的解析式为y ＝a(x －h)2＋k ，顶点坐标是（h ，k ）.
把顶点P(－1，－8)和点A(0，－6)代入y ＝a(x －h)2＋k 中，得
－6＝a(0＋1)2－8
∴a ＝2
∴二次函数的解析式为y ＝2(x ＋1)2－8
（3）由题意得：
93042312a b c a b c b a
⎧⎪++=⎪++=-⎨⎪⎪-=⎩ ∴123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
∴二次函数的解析式为223y x x =--．
（4）一次函数332
y x =-+的图象与x 轴、y 轴的交点分别为（2,0）、（0,3） 以下略（请同学们完成省略部分）
【实弹射击】
一、填空题：
1．若二次函数y ＝(m ＋1)x 2＋m 2－2m －3的图象经过原点，则m ＝______。

2．函数y ＝3x 2与直线y ＝kx ＋3的交点为(2，b)，则k ＝______，b ＝______。

3．抛物线y ＝－3(x －1)2＋2可以由抛物线y ＝－3x 2 向______平移______个单位， 再向______平移______个单位得到。

4．用配方法把y ＝x 2＋4x －3化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式为y ＝__________________ ，其开口方向______，对称轴为______ ，顶点坐标为______ 。

5．二次函数y=a(x-h)2+k 的图象经过点（-2, 0）和（4, 0)，则h=
二、选择题：
6．函数y ＝(m －n)x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是( )
A ．m 、n 是常数，且m≠0
B ．m 、n 是常数，且m≠n
C ．m 、n 是常数，且n≠0
D ．m 、n 可以为任意实数
7.下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是（ ）
A.y=2x 2与y=3x 2
B. y=
212x +2与y=2x 2+12 C.y=2x 2与y=x 2+2 D.y=x 2+2与y=x 2-2，
三、解答题：
8、抛物线y ＝ax 2(a≠0)与直线y ＝2x －3交于点A(1，b)，求：
（1）a 和b 的值；（2）求抛物线y ＝ax 2的顶点和对称轴；
（3）x 取何值时，二次函数y ＝ax 2中的y 随x 的增大而增大，
（4）求抛物线与直线y ＝－2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。

9、如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A(－1，0)，且经过直线y ＝x －3与坐标轴的两个交点
B 、C. （1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）若点M 在第四象限内的抛物线上，且OM ⊥BC ，垂足为D ，求点M 的坐标.。