人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题提高题学能测试试卷

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题提高题学能测试试卷
一、选择题
1．如图，在菱形ABCD 中，点F 为边AB 的中点，DF 与对角线AC 交于点G ，过点G 作GE AD ⊥于点E ，若2AB =，且12∠=∠，则下列结论不正确的是（ ）
A ．DF A
B ⊥ B ．2CG GA =
C ．CG DF GE =+
D ．31BFGC S =-四边形
2．如图，ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，2BD AD =，, , E F G 分别是,OC OD ，AB 的中点．下列结论正确的是（ ）
①EG EF =；②EFG GBE ≌△△；③FB 平分EFG ；④EA 平分GEF ∠；⑤四边形BEFG 是菱形．
A ．③⑤
B ．①②④
C ．①②③④
D ．①②③④⑤
3．如图，把正方形ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为,MN 再过点B 折叠纸片，使点A 格在MN 上的点F 处，折痕为,BE 若AB 长为2,则EN 的长为(（ ）
A ．233-
B ．322-
C ．22
D ．23
4．如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的动点，PE AC ⊥于E ，PF BD ⊥于F ，如果3, 4AB AD ==，那么( )
A ．125PE PF +=
B ．
121355PE PF <+< C ．5PE PF += D ．34PE PF <+< 5． 如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP=EF ；②AP ⊥EF ；③△APD 一定是等腰三角形；
④∠PFE=∠BAP ；⑤PD=2EC ．其中正确结论的番号是（ ）
A ．①②④⑤
B ．①②③④⑤
C ．①②④
D ．①④
6．如图，长方形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠得到△AFE ，且点F 在长方形ABCD 内，将AF 延长交边BC 于点G ，若BG=3CG ，则AD AB
=（ ）
A ．54
B ．1
C ．5
D ．6 7．如图，在一张矩形纸片ABCD 中，4AB =，8BC =，点
E ，
F 分别在AD ， BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点
G 处，有以下四个结论：
①四边形CFHE 是菱形；②EC 平分DCH ∠；③线段BF 的取值范围为34BF ≤≤；④当点H 与点A 重合时，25EF =．
以上结论中，你认为正确的有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 在MON ∠的内部，顶点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，4AB =，2BC =，则点D 到点O 的最大距离是（ ）
A ．222-
B ．222+
C ．252-
D ．22+
9．如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝185
．其中正确结论的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，E 为BC 边的中点，沿AP 折叠使D 点落在AE 上的点H 处，连接PH 并延长交BC 于点F ，则EF 的长为( )
A ．525-
B ．55-
C ．353-
D ．14
二、填空题
11．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A ，B 两点，“九曲桥”的每一段与AC 平行或BD 平行，若AB ＝100m ，∠A ＝∠B ＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．
12．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，对角线长为1cm ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分的面积是_____．
13．如图，正方形ABCD 中，DAC ∠的平分线交DC 于点E ，若P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．
14．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在边AD 、BC 上．将该纸片沿EF 折叠，使点A 的对应点G 落在边DC 上，折痕EF 与AG 交于点Q ，点K 为GH 的中点，则随着折痕EF 位置的变化，△GQK 周长的最小值为____．
15．如图，Rt ABE ∆中，90,B AB BE ︒
∠==, 将ABE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，得到,AHD ∆过D 作DC BE ⊥交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分HDC ∠；②DO OE =； ③CD HF =； ④2BC CF CE -=； ⑤H 是BF 的中点，其中正确的是___________
16．在ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高．将ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则DEF 的周长为______．
17．如图，已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点M 是AC 边上任意一点，连接MB ，以MB 、MC 为邻边作平行四边形MCNB ，连接MN ，则MN 的最小值是______
18．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令AF n BC
=，EC m BC
=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．
19．如图，长方形ABCD 中AB ＝2，BC ＝4，正方形AEFG 的边长为1．正方形AEFG 绕点A 旋转的过程中，线段CF 的长的最小值为_____．
20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D 落在AB 边的点F 处，得折痕AE ，再折叠，使点C 落在AE 边的点G 处，此时折痕恰好经过点B ，如果AD=a ，那么AB 长是多少？”常明说；“简单，我会. AB 应该是_____”.
常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B ，而是经过了AB 边上的M 点，如果AD=a ，测得EC=3BM ，那么AB 长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.
三、解答题
21．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠ADC ＝120°．动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动，连接AF 、CE ，分别取AF 、CE 的中点G 、H ．设运动的时间为ts （0＜t ＜4）．
（1）求证：AF ∥CE ；
（2）当t 为何值时，△ADF 的面积为32
cm 2； （3）连接GE 、FH ．当t 为何值时，四边形EHFG 为菱形．
22．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．
（1）如图（1），当90GOD ∠=︒，
①求证：DE GH =；
②求证：2GD EH DE +>；
（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，5HG =，求DE 的长．
23．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．
；
（1）求证：GF GC
（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
24．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．
（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；
（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；
（3）若AB＝1，BC＝5，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．
25．如图①，已知正方形ABCD的边长为3，点Q是AD边上的一个动点，点A关于直线BQ的对称点是点P，连接QP、DP、CP、BP，设AQ=x．
（1）BP＋DP的最小值是_______，此时x的值是_______；
（2）如图②，若QP的延长线交CD边于点M，并且∠CPD=90°．
①求证：点M是CD的中点；②求x的值．
（3）若点Q是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDP为等腰三角形时x的值．
26．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，AE是∠BAD 的平分线，则线段AB，AD，DC之间的等量关系为；
（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，E是
BC的中点，AE是∠BAF的平分线，试探究线段AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）联想拓展：如图③，AB∥CF，E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，试探究线段AB，DF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．
27．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，且交AC于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD.
（1）①求证：四边形BFDE是菱形；②求∠EBF的度数．
（2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2，G，I分别在BF，BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH，并延长FH交ED于点J，连接IJ，IH，IF，IG．试探究线段IH与FH之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE，垂足为点E，交AB于点F，连接DF，交AC于点G．请直接写出线段AG，GE，EC三者之间满足的数量关系．
28．如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD沿直线EF折叠，点B落在AD边上的G处，E、F分别在BC、AB边上且F(1，4)．
(1)求G点坐标
(2)求直线EF解析式
(3)点N在坐标轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由
29．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD =90°，AB =AD =10cm ，BC =8cm 。

点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线ABCD 运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动。

已知动点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，P ，Q 运动停止，设运动时间为t 秒.
（1）求CD 的长.
（2）t 为何值时？四边形PBQD 为平行四边形.
（3）在点P ，点Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ 的面积为20cm 2？若存在，请求出所有满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由.
30．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．
（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；
（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为 ；
（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
A 、由四边形ABCD 是菱形，得出对角线平分对角，求得∠GAD=∠2，得出AG=GD ，AE=ED ，由SAS 证得△AFG ≌△AEG ，得出∠AFG=∠AEG=90°，即可得出A 正确；
B 、由DF ⊥AB ，F 为边AB 的中点，证得AD=BD ，证出△ABD 为等边三角形，得出∠BAC=∠1=∠2=30°，由2cos ,cos AF A
C AB BAC AG BAC =⋅∠=
∠ ,求出AC ， AG ，即可得出B 正确；
C
、由勾股定理求出DF =
，由GE=tan ∠2·ED 求出GE ，即可得出C 正确；D 、四边形BFGC 的面积=△ABC 的面积-△AGF 的面积,可以发现D 不对.
【详解】
解:∵四边形ABCD 是菱形， FAG EAG ∴∠=∠，1GAD ∠=∠，AB AD =，
12∠=∠，
2GAD ∴∠=∠，
AG GD ∴=.
GE AD ⊥，
GE ∴垂直平分AD .
AE ED ∴=.
点F 为AB 的中点，
AF AE ∴=.
易证()SAS AFG AEG ∆≅∆.
90AFG AFG ∠∴∠==︒.
DF AB ∴⊥故A 正确.
DF AB ⊥，点F 为AB 的中点，
112
AF AB ∴==，AD BD =. AD BD AB ==，
ABD ∴为等边三角形.
60BAD BCD ∠∴∠==︒.
1230BAC ∠=∠=∠=∴︒.
2cos 22AC AB BAC ∴=⋅∠=⨯=，
cos 3AF AG BAC ===∠.
23432333CG AC AG ∴=-=-=. 2CG GA ∴=，故B 正确.
GE 垂直平分AD ，
112
ED AD ∴==， 223DF AD AF ∴=-=，
3tan 21tan 303GE ED ∴=∠⋅=⨯︒=
. 3433DF GE CG ∴+=+==.故C 正确. 130BAC ∠=∠=︒，ABC ∆∴的边AC 上的高等于AB 的一半，即为1，
132FG AG ==， 11353231122ABC AGF BFGC S S S ∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=四边形，故D 不正确. 【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度.
2．B
解析：B
【分析】
由中点的性质可得出//EF CD ，且12EF CD BG ，结合平行即可证得②结论成立，由2BD BC =得出BO BC =，即而得出BE AC ⊥，由中线的性质可知//GP BE ，且12GP BE ，AO EO =，通过证APG EPG 得出AG EG EF 得出①成立，再证GPE FPE 得出④成立，此题得解．
【详解】
解：令GF 和AC 的交点为点P ，如图
E 、
F 分别是OC 、OD 的中点，
//EF CD ∴，且12
EF CD =，
四边形ABCD 为平行四边形，
//AB CD ∴，且AB CD =，
//AB EF ∴
FEG BGE （两直线平行，内错角相等），
点G 为AB 的中点， 1122BG AB CD FE ，
在EFG ∆和GBE ∆中，BG FE FEG BGE GE EG ，
()EFG
GBE SAS ，即②成立， EGF GEB ，FE BG ，
//GF BE （内错角相等，两直线平行），
2BD BC =，点O 为平行四边形对角线交点，
12BO BD BC ，
E 为OC 中点， BE OC ∴⊥， GP AC ，
90APG EPG
//GP BE ，G 为AB 中点， P ∴为AE 中点，即AP PE =，且12GP
BE ， 在APG ∆和EGP ∆中，AP EP APG EPG GP GP ， ()APG
EPG SAS ， 12
AG EG AB ， EG EF ∴=，即①成立，
//EF BG ，//GF BE ，
∴四边形BGFE 为平行四边形，
GF BE ∴=， 1122
GP BE GF ， GP
FP ， GF AC ，
90GPE
FPE
在GPE 和FPE ∆中，
GP FP
GPE FPE EP EP ，
()GPE
FPE SAS ， GEP FEP ，
EA ∴平分GEF ∠，即④成立，
综上所述，正确的有①②④，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等．
3．A
解析：A
【分析】
根据翻转变换的性质求出BM 、BF ，根据勾股定理计算求出FM 的值；再在Rt △NEF 中，运用勾股定理列方程求解，即可得到EN 的长．
【详解】
∵四边形ABCD 为正方形，AB=2，过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，
∴FB=AB=2，BM=
12
BC=1，BF=BA=2，∠BMF=90°， 则在Rt △BMF 中，
FM ==
∴2FN MN FM =-=-
设AE=FE=x ，则EN=1x -，
∵Rt △EFN 中，222NE NF EF +=，
∴()(22212x x -+=，
解得：4x =-
∴EN=13x -=．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了翻转变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
设AC 、BD 交于点O ，连接OP ，根据矩形的性质及勾股定理求出OA=OD=2.5，再求出△AOD 的面积，根据面积关系即可求出答案.
【详解】
设AC 、BD 交于点O ，连接OP ，
∵3, 4AB AD ==,
∴BD=AC=5，
∴OA=OD=2.5， ∵1134344AOD ABCD S
S ==⨯⨯=矩形， ∴3AOP DOP S S +=，
∵PE AC ⊥于E ，PF BD ⊥于F ，
∴112.5 2.5322
PE PF ⨯+⨯=， 15()322
PE PF ⨯+=， ∴125
PE PF +=
， 故选：A.
【点睛】
此题考查矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质求出△AOD 的面积是解题的关键.
5．A
解析：A
【分析】
过P 作PG ⊥AB 于点G ，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP ≌△FPE 后即可证明①AP=EF ；④∠PFE=∠BAP ；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt △DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，求得⑤DP=2EC ．
【详解】
证明：过P 作PG ⊥AB 于点G ，
∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，
∴GP=EP ，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，
同理，得
PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，
∴AG=PF，
∴△AGP≌△FPE，
①∴AP=EF；
∠PFE=∠GAP
∴④∠PFE=∠BAP，
②延长AP到EF上于一点H，
∴∠PAG=∠PFH，
∵∠APG=∠FPH，
∴∠PHF=∠PGA=90°，即AP⊥EF；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，
∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误．
∵GF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC，
∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
∴
EC．
∴其中正确结论的序号是①②④⑤．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据中点定义得出DE=CE，再根据折叠的性质得出DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，从而得出CE=EF，连接EG，利用“HL”证明△ECG≌△EFG，根据全等三角形性质得出CG=FG，设CG=a，则BC=4a，根据长方形性质得出AD=BC=4a，再求出AF=4a，最后求出
AG=AF+FG=5a，最后利用勾股定理求出AB，从而进一步得出答案即可.
【详解】
如图，连接EG ，
∵点E 是CD 中点，
∴DE=EC ，
根据折叠性质可得：AD=AF ，DE=EF ，∠D=∠AFE=90°，
∴CE=EF ，
在Rt △ECG 与Rt △EFG 中，
∵EG=EG ，EC=EF ，
∴Rt △ECG ≌Rt △EFG （HL ），
∴CG=FG ，
设CG=a ，
∴BG=3CG=3
a ， ∴BC=4
a ， ∴AF=AD=BC=4
a . ∴AG=5
a . 在Rt △ABG 中， ∴224AB AG BG a -=， ∴1AD AB
=, 故选B.
【点睛】
本题主要考查了长方形与勾股定理及全等三角形判定和性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键,
7．C
解析：C
【分析】
①先判断出四边形CFHE 是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH ，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH ，然后求出只有∠DCE=30°时EC 平分∠DCH ，判断出②错误；
③点H 与点A 重合时，设BF=x ，表示出AF=FC=8-x ，利用勾股定理列出方程求解得到BF 的最小值，点G 与点D 重合时，CF=CD ，求出最大值BF=4，然后写出BF 的取值范围，判断出③正确；
④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．【详解】
解：
①∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；
②∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；
③点H与点A重合时，此时BF最小，设BF=x，则AF=FC=8-x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
即42+x2=（8-x）2，
解得x=3，
点G与点D重合时，此时BF最大，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；
过点F作FM⊥AD于M，
则ME=（8-3）-3=2，
由勾股定理得，
22
42
+=5
+22
MF ME
综上所述，结论正确的有①③④共3个，
故选C．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．
8．B
解析：B
【分析】
取DC的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．
【详解】
取AB 中点E ，连接OE 、DE 、OD ，
90MON ∠=︒， 122OE AB ∴==． 在Rt DAE ∆中，利用勾股定理可得22DE =．
在ODE ∆中，根据三角形三边关系可知DE OE OD +>，
∴当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大为222OE DE +=+．
故选B ．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O 、E 、D 三点共线时，点D 到点O 的距离最大是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】 由正方形和折叠的性质得出AF ＝AB ，∠B ＝∠AFG ＝90°，由HL 即可证明
Rt △ABG ≌Rt △AFG ，得出①正确；
设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，由勾股定理求出x ＝3，得出②正确；
由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB ＝∠FCG ，证出平行线，得出③正确； 根据三角形的特点及面积公式求出△FGC 的面积＝
185
，得出④正确． 【详解】
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝AD ＝DC ＝6，∠B ＝D ＝90°，
∵CD ＝3DE ，
∴DE ＝2，
∵△ADE 沿AE 折叠得到△AFE ，
∴DE ＝EF ＝2，AD ＝AF ，∠D ＝∠AFE ＝∠AFG ＝90°，
∴AF ＝AB ，
∵在Rt △ABG 和Rt △AFG 中， AG AG AB AF
=⎧⎨=⎩，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴①正确；
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG＝FG，∠AGB＝∠AGF，
设BG＝x，则CG＝BC−BG＝6−x，GE＝GF＋EF＝BG＋DE＝x＋2，在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2＋CE2＝EG2，
∵CG＝6−x，CE＝4，EG＝x＋2
∴（6−x）2＋42＝（x＋2）2
解得：x＝3，
∴BG＝GF＝CG＝3，
∴②正确；
∵CG＝GF，
∴∠CFG＝∠FCG，
∵∠BGF＝∠CFG＋∠FCG，
又∵∠BGF＝∠AGB＋∠AGF，
∴∠CFG＋∠FCG＝∠AGB＋∠AGF，
∵∠AGB＝∠AGF，∠CFG＝∠FCG，
∴∠AGB＝∠FCG，
∴AG∥CF，
∴③正确；
∵△CFG和△CEG中，分别把FG和GE看作底边，
则这两个三角形的高相同．
∴
3
5
CFG
CEG
S FG
S GE
==，
∵S△GCE＝1
2
×3×4＝6，
∴S△CFG＝3
5
×6＝
18
5
，
∴④正确；
正确的结论有4个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形性质、折叠性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点的运用；主要考查学生综合运用性质进行推理论证与计算的能力，有一定难度．
10．A
解析：A
【分析】
首先证明Rt △AFB ≌Rt △AFH ，推出BF=FH ，设EF=x ，则BF=FH=12
x -，在Rt △FEH 中，根据222,EF EH FH =+构建方程即可解决问题；
【详解】
解：连接AF ．
∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=BC=1，∠B=90°，
∵BE=EC=
12， ∴225AB BE += 由翻折不变性可知：AD=AH=AB=1，
∴51-， ∵∠B=∠AHF=90°，AF=AF ，AH=AB ，
∴Rt △AFB ≌Rt △AFH ，
∴BF=FH ，设EF=x ，则BF=FH=12x -， 在Rt △FEH 中，∵222,EF EH FH =+ ∴22215()1),22x x =-+- ∴5252
x -= 故选：A ．
【点睛】
本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，
二、填空题
11．200m
【分析】
如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M ，则四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形，△ABC 是等边三角形，由此即可解决问题．
【详解】
如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M
由题意可知，四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形
∵∠A ＝∠B ＝60°
∴18060E A B ∠=-∠-∠=
∴△ABC 是等边三角形
∴ED ＝FM+MK+KH ＝CN+JG+HK ，EC ＝EF+FC ＝JN+KG+DH
∴“九曲桥”的总长度是AE+EB ＝2AB ＝200m
故答案为：200m ．
【点睛】
本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．
12．218
cm 【分析】
根据正方形的性质可以证明△AEO ≌CFO ，就可以得出S △AEO =S △CFO ，就可以求出△AOD 面积等于正方形面积的
14
，根据正方形的面积就可以求出结论． 【详解】
解：如图：
∵正方形ABCD 的对角线相交于点O ，
∴△AEO 与△CFO 关于O 点成中心对称，
∴△AEO ≌CFO ，
∴S △AEO ＝S △CFO ，
∴S △AOD ＝S △DEO +S △CFO ，
∵对角线长为1cm ，
∴S 正方形ABCD ＝1112⨯⨯＝12cm 2， ∴S △AOD ＝18
cm 2， ∴阴影部分的面积为
18cm 2． 故答案为：
18
cm 2． 【点睛】 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及三角形的面积公式的运用，在解答时证明△AEO ≌CFO 是关键．
13．42
【分析】
作P 点关于线段AE 的对称点P '，根据轴对称将DQ PQ +转换成DP '，然后当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，得到DP '长，最后求出正方形边长DC ．
【详解】
∵AE 是DAC ∠的角平分线，
∴P 点关于线段AE 的对称点一定在线段AC 上，记为P '
由轴对称可以得到PQ P Q '=，
∴DQ PQ DQ P Q DP ''+=+=，
如图，当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，也就是DQ PQ +取最小值4，
∴4DP '=，
由正方形的性质P '是AC 的中点，且DP P C ''=，
在Rt DCP '中，2222443242DC DP P C ''=
+=+==．
故答案是：42．
【点睛】
本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出DQ PQ +取最小值的状态，并将它转换成DP '去求解．
14．5
【分析】
取AB的中点M，连接DQ，QM，DM．证明QM＝QK，QG＝DQ，求出DQ＋QM的最小值即可解决问题．
【详解】
取AB的中点M，连接DQ，QM，DM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝6，∠DAM＝∠ADG＝90°，
∵AM＝BM＝3，
∴DM2222
+=+5，
AB AM
63
∵GK＝HK，AB，GH关于EF对称，
∴QM＝QK，
∵∠ADG＝90°，AQ＝QG，
∴DQ＝AQ＝QG，
∵△QGK的周长＝GK+QG+QJ＝3+DQ+QM．
又∵DQ+QM≥DM，
∴DQ+QM≥5
∴△QGK的周长的最小值为5，
故答案为5
【点睛】
本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、最值问题，解题的关键是取AB的中点M，确定QG＋QK＝QD＋QM，属于中考常考题型．
15．①②④⑤
【分析】
根据∠B=90°，AB=BE，△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，可得△ABE≅△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，可证AD//BC，根据DC⊥BC，可得∠HDE=∠CDE，根据三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE，即DE平分∠HDC，所以①正确；
利用∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，得到四边形ABCD是矩形，有∠ADC=90°，∠HDC=45°，由①有DE平分∠HDC，得∠HDO=22.5°，可得∠AHB=67.5°，∠DHO=22.5°，可证OD=OH，利用 AE=AD易证∠OHE=∠HEO=67.5°，则有OE=OH，OD=OE，所以②正确；
利用AAS证明ΔDHE≅ΔDCE，则有DH=DC，∠HDE=∠CDE=22.5°，易的∠DHF=22.5°，
∠DFH=112.5°，则△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，即有：CD≠HF，所以③错误；
根据△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，∵J是BC的中点，H是BF的中点，得到2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，易证BC−CF=2CE，所以④正确；
过H作HJ⊥BC于J，并延长HJ交AD于点I，得IJ⊥AD，I是AD的中点，J是BC的中点，
H 是BF 的中点，所以⑤正确；
【详解】
∵Rt △ABE 中，∠B=90°，AB=BE ，
∴∠BAE=∠BEA=45°，
又∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转45°，得到△AHD ，
∴△ABE ≅△AHD ，并且△ABE 和△AHD 都是等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°，AE=AD ，∠AHD=90°，
∴∠ADE=∠AED ，
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=45°+45°=90°，
∴AD//BC ，
∴∠ADE=∠DEC ，
∴∠AED=∠DEC ，
又∵DC ⊥BC ，
∴∠DCE=∠DHE=90°
∴由三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE ，
即：DE 平分∠HDC ，所以①正确；
∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD 是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠HDC=45°，
由①有DE 平分∠HDC ，
∴∠HDO=12∠HDC=12
×45°=22.5°， ∵∠BAE=45°，AB=AH ， ∴∠OHE=∠AHB=
12 (180°−∠BAE)= 12×(180°−45°)=67.5°， ∴∠DHO=∠DHE−∠FHE=∠DHE−∠AHB=90°−67.5°=22.5°，
∴OD=OH ，
在△AED 中，AE=AD ，
∴∠AED=12(180°−∠EAD)=12
×(180°−45°)=67.5°， ∴∠OHE=∠HEO=67.5°，
∴OE=OH ，
∴OD=OE ，所以②正确；
在△DHE 和△DCE 中，
DHE DCE HDE CDE DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ΔDHE ≅ΔDCE(AAS)，
∴DH=DC ，∠HDE=∠CDE=12
×45°=22.5°， ∵OD=OH ，
∴∠DHF=22.5°， ∴∠DFH=180°−∠HDF−∠DHF=180°−45°−22.5°=112.5°，
∴△DHF 不是直角三角形，并DH≠HF ，
即有：CD≠HF ，所以③不正确；
如图，过H 作HJ ⊥BC 于J ，并延长HJ 交AD 于点I ，
∵△ABE 是等腰直角三角形，JH ⊥JE ，
∴JH=JE ，
又∵J 是BC 的中点，H 是BF 的中点，
∴2JH=CF ，2JC=BC ，JC=JE+CE ，
∴2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC ，
即有：BC−CF=2CE ，所以④正确；
∵AD//BC ，
∴IJ ⊥AD ，
又∵△AHD 是等腰直角三角形，
∴I 是AD 的中点，
∵四边形ABCD 是矩形，HJ ⊥BC ，
∴J 是BC 的中点，
∴H 是BF 的中点，所以⑤正确；
综上所述，正确的有①②④⑤，
故答案为：①②④⑤．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键． 16．15.5
【分析】
先根据折叠的性质可得,AE DE EAD EDA =∠=∠，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得B BDE ∠=∠，又根据等腰三角形的性质可得BE DE =，从而可得
6DE AE BE ===，同理可得出5DF AF CF ===，然后根据三角形中位线定理可得
1 4.52EF BC ==，最后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】
由折叠的性质得：,AE DE EAD EDA =∠=∠ AD 是BC 边上的高，即AD BC ⊥
90B EAD ∴∠+∠=︒，90BDE EDA ∠+∠=︒
B BDE ∴∠=∠
BE DE ∴=
1112622
DE AE BE AB ∴====⨯= 同理可得：1110522DF AF CF AC ===
=⨯= 又,AE BE AF CF ==
∴点E 是AB 的中点，点F 是AC 的中点
EF ∴是ABC 的中位线
119 4.522
EF BC ∴==⨯= 则DEF 的周长为65 4.515.5DE DF EF ++=++=
故答案为：15.5．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出BE DE =是解题关键．
17．12013
【分析】
设MN 与BC 交于点O ，连接AO ，过点O 作OH ⊥AC 于H 点，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AO 和OH 长，若MN 最小，则MO 最小即可，而O 点到AC 的最短距离为OH 长，所以MN 最小值是2OH ．
【详解】
解：设MN 与BC 交于点O ，连接AO ，过点O 作OH ⊥AC 于H 点，
∵四边形MCNB 是平行四边形，
∴O 为BC 中点，MN ＝2MO ．
∵AB ＝AC ＝13，BC ＝10，
∴AO ⊥BC ．
在Rt △AOC 中，利用勾股定理可得
AO =12．
利用面积法：AO ×CO ＝AC ×OH ，
即12×5＝13×OH ，解得OH ＝6013
． 当MO 最小时，则MN 就最小，O 点到AC 的最短距离为OH 长， 所以当M 点与H 点重合时，MO 最小值为OH 长是
6013． 所以此时MN 最小值为2OH ＝
12013． 故答案为：
12013
． 【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静．
18．7
【分析】
①若m n =，则AF EC =，先根据平行四边形的性质得出//,AD BC AD BC =，再根据平行四边形的判定（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）即可得；②先根据平行四边形的性质与判定得出四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形，从而可得11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆==，再根据28ABCD ABEF CDFE S S S =+= 和
1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆=+=
+四边形即可得出答案．
【详解】 四边形ABCD 是平行四边形
//,AD BC AD BC ∴=
,,AF EC n m BC BC
m n === AF EC ∴=
AD AF BC EC ∴-=-，即DF BE =
∴四边形AECF 、四边形BEDF 都是平行四边形
//,//AE CF BF DE ∴
∴四边形EGFH 是平行四边形
综上，图中共有4个平行四边形
如图，连接EF
1,,AF EC n m BC B n C
m ==+= AF EC BC AD ∴+==
AF DF AD +=
EC DF ∴=
AF BE ∴=
∴四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形 11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆∴== 28ABCD ABEF CDFE S S S =+=
1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆∴=+=
+四边形 1()4ABEF CDFE S S =+
12874
=⨯= 故答案为：4；7．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键． 19．52
【分析】
连接AF ，CF ，AC ，利用勾股定理求出AC 、AF ，再根据三角形的三边关系得到当点A ，F ，C 在同一直线上时，CF 的长最小，最小值为52.
【详解】
解：如图，连接AF ，CF ，AC ，
∵长方形ABCD 中AB ＝2，BC ＝4，正方形AEFG 的边长为1，
∴AC ＝5AF 2，
∵AF +CF ≥AC ，
∴CF ≥AC ﹣AF ，
∴当点A ，F ，C 在同一直线上时，CF 的长最小，最小值为52，
故答案为：52．
【点睛】
此题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形的三边关系.
202a 321a - 【分析】
（1）根据折叠的性质可得出，四边形AFED 为正方形，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=，得出AB=AE ，继而可得解；
（2）结合（1）可知，AE AM 2a ==
，因为EC=3BM ，所以有1BM 2FM =，求出BM ，继而可得解．
【详解】
解：（1）由折叠的性质可得，
CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=， ∴AB=AE ， ∵2AE 22a a == ∴AB 2a =．
（2）结合（1）可知，AE AM 2a ==
， ∴FM 2a a =-，
∵EC=3BM ， ∴1BM 2
FM = ∴2BM 2
a a -= ∴2321AB 2a a a --=+=． 2a ；
3212a ． 【点睛】
本题是一道关于折叠的综合题目，主要考查折叠的性质，弄清题意，结合图形找出线段间
的数量关系是解题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）t＝2；（3）t＝1．
【分析】
（1）由菱形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，可求CF＝AE，可得结论；
（2）由菱形的性质可求AD＝2cm，∠ADN＝60°，由直角三角形的性质可求AN＝3DN＝3cm，由三角形的面积公式可求解；
（3）由菱形的性质可得EF⊥GH，可证四边形DFEM是矩形，可得DF＝ME，由直角三角形的性质可求AM＝1，即可求解．
【详解】
证明：（1）∵动点E、F分别从点B、D同时出发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，∴DF＝BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴CF＝AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE；
（2）如图1，过点A作AN⊥CD于N，
∵在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°，
∴AD＝2cm，∠ADN＝60°，
∴∠NAD＝30°，
∴DN＝1
2
AD＝1cm，AN33cm，
∴S△ADF＝1
2×DF×AN＝
1
2
×
1
2
3
3
2
，
∴t＝2；
（3）如图2，连接GH，EF，过点D作DM⊥AB于M，
∵四边形AECF 是平行四边形，
∴FA ＝CE ，
∵点G 是AF 的中点，点H 是CE 的中点，
∴FG ＝CH ，
∴四边形FGHC 是平行四边形，
∴CF ∥GH ，
∵四边形EHFG 为菱形，
∴EF ⊥GH ，
∴EF ⊥CD ，
∵AB ∥CD ，
∴EF ⊥AB ，
又∵DM ⊥AB ，
∴四边形DFEM 是矩形，
∴DF ＝ME ，
∵∠DAB ＝60°，
∴∠ADM ＝30°，
∴AM ＝12
AD ＝1cm ， ∵AM+ME+BE ＝AB ，
∴1+12t+12
t ＝2， ∴t ＝1．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
22．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）103
DE =
． 【分析】
（1）过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，
①由正方形的性质可得//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒，即可证明四边形DGHM 是平行四边形，可得DM=GH ，由90GOD ∠=︒可得∠EDM=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得12∠=∠，利用ASA 可证明△ADE≌△CDM，可得DE=DM ，即。