专题04 勾股定理压轴题型汇总(解析版)

专题04 勾股定理压轴题型汇总
一、单选题
1．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为
5
2
，则点F到BC的距离为（）
A．5
5
B．25
5
C．45
5
D．43
3
【答案】B
【分析】
首先求出ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据1
2
•BD•h＝1
2
•BF•DF，求出BD即可解决问题．
【详解】
解：∵DG＝GE，
∵S∵ADG＝S∵AEG＝
5
2
，
∵S∵ADE＝5，
由翻折可知，ADB∵ADE，BE∵AD，
∵S∵ABD＝S∵ADE＝5，∵BFD＝90°，
∵1
2
•(AF+DF)•BF＝5，
∵1
2
•(4+DF)•2＝5，
∵DF＝1，
∵DB＝22
BF DF
+＝22
12
+＝5，
设点F到BD的距离为h，
压轴题型汇总1
则1
2•BD•h＝1
2
•BF•DF，
即：11
21 22
=⨯⨯，
∵h，
故选：B．
【点睛】
本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
2．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，下列四幅图是爱思考的小红同学用如图所示的七巧板拼成的，则这四个图形的周长从大到小排列正确的是（）
A．乙＞丙＞甲＞丁B．乙＞甲＞丙＞丁
C．丙＞乙＞甲＞丁D．丙＞乙＞丁＞甲
【答案】A
【分析】
设最小的直角三角形的直角边长为1，根据勾股定理，分别表示出七块七巧板各边的长度，计算每个图形中重合的线段和，和越大，周长越小．
【详解】
解：设七巧板中最小的边长为1根据勾股定理，
可以得出其余的边长分别为2，
分别求出各图中重合的线段的长度和，和越大，则周长越小；
甲图中重叠的线段和为：；
乙图中重叠的线段和为：；
丙图中重叠的线段和为；
丁图中重叠的线段和为：；
∵6755
++++
∵乙＞丙＞甲＞丁
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理，不规则图形的周长，解题关键是明确总周长一定，重叠的线段和越大，则周长越小．
3．如图，在ABC 中，点D 是边AB 上的中点，连接CD ，将BCD △沿着CD 翻折，得到ECD ，CE 与AB 交于点F ，连接AE ．若6,42AB CD AE ===,，则点C 到AB 的距离为（ ）
A ．72
B ．
C ．3
D ．【答案】C
【分析】
连接BE ，延长CD 交BE 于G 点，过C 作CH ∵AB 于H ，由折叠的性质及中点性质，可得∵AEB 是直角三角形，且G 点是BE 的中点，从而CG ∵BE ，由勾股定理可求得BE 的长，则根据∵ABC 的面积相等一方面可表示为
12AB CH ，另一方面其面积为∵BCD 与∵ACD 面积的和，从而可求得CH 的长．
【详解】
连接BE ，延长CD 交BE 于G 点，过C 作CH ∵AB 于H ，如图所示
由折叠的性质，得：BD =ED ，CB =CE
∵CG 是线段BE 的垂直平分线
∵BG =12BE
∵D 点是AB 的中点
∵BD =AD ，BCD ACD S
S =
∵AD =ED
∵∵DAE =∵DEA
∵BD =ED
∵ ∵DEB =∵DBE
∵∵DAE +∵BEA +∵DBE =180°
即∵DAE +∵DEA +∵DEB +∵DBE =180°
∵2∵DEA +2∵DEB =180°
∵∵DEA +∵DEB =90°
即∵AEB =90°
在Rt ∵AEB 中，由勾股定理得： BE
∵BG =
∵BCD ACD ABC S S S += ∵11222CD BG AB CH ⨯=
∵224CD BG CH AB ⨯===
故选：C ．
【点睛】
本题考查了直角三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的判定，利用面积相等求线段的长，关键是得出CG ∵BE ，从而可求得∵BCD 的面积也即∵ABC 的面积．
4．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，
BC 为斜边作三个等腰直角ABD △，ACE ，BCF △，图中阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，3S ，4S ，若已知Rt ABC 的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（ ）
A ．4S
B ．143S S S +-
C ．234S S S ++
D ．123S S S +-
【答案】A
【分析】
设AC =m ，BC =n ，ABC 的面积为S ，用含有m ，n 的代数式分别表示相关线段，继而表示相应的面积，确定面积与m ，n ，S 之间的关系，从而作出判断．
【详解】
设AC =m ，BC =n ，ABC 的面积为S ，
∵Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，BC 为斜边作三个等腰直角ABD △，ACE ，BCF △，
∵S =1mn 2
，AB ，
∵AE =EC ，BF =CF ，AD =BD
在直角三角形AED 中，ED ，
∵DC =EC -ED )m n -，
∵4S =11111AE ED=22222
mn S •=⨯=， 故4S 的值可以确定，
∵A 选项符合题意；
设AC ，BD 的交点为G ，则3S +ADG S =1122)S CD AE m n =•=-△ADC =24
()1m mn -， 1S +ADG S =22224
1S AD m n +==△ADB ， ∵143S S S +-=224m n ++12S -24()1m mn -=2
+4
n S ，与n 有关系，故代数式的值不能确定，
∵B 选项不符合题意；
∵3S +ADG S =24()1m mn -，1S +ADG S =224
m n +，
∵13S S -=21+42
n S ， ∵234S S S ++=212BF +12S +1S -21-42n S =24n +12S +1S -21-42
n S =1S ，无法确定， ∵C 选项不符合题意；
∵123S S S +-=21+42n S +24n =2
1+22n S ，与n 有关， ∵D 选项不符合题意；
故选A ．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形面积的割补，灵活运用性质和勾股定理计算阴影的面积是解题的关键．
5．已知a 、b 为两正数，且12a b += ） A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
【答案】B
【分析】
如图所示，构造Rt∵BEA 和Rt∵AFC 使得 BE =a ，EA =2，AF =3，FC =b ，然后根据勾股定理构可
得AB
AC 当A ，B ，C 三点共线时有最小值，在根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：如图所示，构造Rt∵BEA 和Rt∵AFC 使得 BE =a ，EA =2，AF =3，FC =b ，
根据勾股定理可得：AB AC
所以：
AB AC BC +≥，
∵当A ，B ，C 三点共线时+AB AC 有最小值，即BC ，
在Rt∵BDC 中13BC ==．
故选：B
【点睛】
本题主要考查勾股定理，能够根据二次根式的特点，数形结合，构造出直角三角形表示所求式子是解题的关键．
6．如图，在Rt ABC △中，90,30,ACB ABC CD ︒∠︒=∠=平分ACB ∠．边AB 的垂直平分线DE 分别交,CD AB 于点,D E ．以下说法错误的是（ ）
A ．60BAC ∠=︒
B ．2CD BE =
C ．DE AC =
D 12
BC AB =+ 【答案】B
【分析】 利用直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识对各选项的说法分别进行论证，即可得出结论．
【详解】
解：如图，连接BD 、AD ，过点D 作DM∵BC 于M ，DN∵CA 的延长线于N ，
A 、在Rt ABC △中，90AC
B ∠=︒，30AB
C ∠=︒，
∵60BAC ∠=︒．故此选项说法正确；
B 、∵DM∵B
C ，DN∵CA
∵∵DNC ＝∵DMC ＝90°，
∵CD 平分∵ACB ，
∵∵DCN ＝∵DCM ＝45°．
∵∵DCN ＝∵CDN ＝45°．
∵CN=DN ．
则∵CDN 是等腰直角三角形．
同理可证：∵CDM 也是等腰直角三角形，
=．，
∵DM=DN= CM=CN ，∵MDN ＝90°．
∵DE 垂直平分AB ，
∵BD=AD ，AB=2BE ．
∵Rt∵BDM∵∵ADN ，
∵∵BDM=∵AND ．
∵∵BDM+∵ADM =∵AND+∵ADM ＝∵MDN ．
∵∵ADB=90°．
=．
即．
∵在Rt∵AND 中，AD 是斜边，DN 是直角边，
∵AD ＞DN ．
∵2BE ＞CD ．故此选项说法错误．
C 、∵BD=A
D ，∵ADB=90°，
∵∵ABD 是等腰直角三角形． ∵DE=1
2AB ．
在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒， ∵AC=12AB ．
∵DE=AC ．故此选项说法正确．
D 、∵Rt∵BDM∵∵ADN ，
∵BM=AN ．
∵CN=AC+AN=AC+BM=CM ．
∵BC=BM+CM=AC+2BM ．
，
． ∵AC=12AB ，
12AB+BC ．故此选项说法正确．
故选：B ．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度较大，准确作出辅助线并灵活运用所学知识是解题的关键．
7．如图，直角三角形纸片ABC 中，6AB =，8AC =，D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交于点1P ；设1P D 的中点为1D ，第2次将纸片折叠，使点A 与点1D 重合，折痕与AD 交于点2P ；设21P D 的中点为2D ，第3次将纸片折叠，使点
A与点2D重合，折痕与AD交于点3P，则3
AP的长为（）
A．
4
6
3
25
⨯
B．
3
6
35
2
⨯
C．
3
5
3
25
⨯
D．
2
3
35
2
⨯
【答案】D 【分析】
先求出AD的长，再由折叠的性质可得AP1=2
3
AD1，AP2=
2
3
AD2，AP3=
2
3
AD3，计算出AD3的
长度，可得AP3的长．
【详解】
解：∵∵BAC=90°，AB=6，AC=8，
，
∵D为斜边BC中点，
∵AD=1
2
BC=5，
由折叠可知：AD1=3
4
AD，AP1=1
2
AD，
∵AP1=2
3
AD1，
AD2=3
4
AD1=
9
16
AD，AP2=1
2
AD1=3
8
AD，
∵AP2=2
3
AD2，
可知：AP3=2
3
AD3，
AD1=3
4
AD=
35
4
⨯
，
AD2=3
4
AD1=
9
16
AD=
2
4
35
2
⨯
，
∵AD3=3
4
AD2=
2
4
335
42
⨯
⨯=
3
6
35
2
⨯
，
∵AP 3=23AD 3=25352
⨯， 故选D ．
【点睛】
本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；灵活运用翻折变换的性质，正确找出命题中隐含的数量关系是关键；对运算求解能力提出了较高的要求．
8．如图，等边ABC 的边长为8．P ，Q 分别是边,AC BC 上的点，连结,AQ BP ，交于点O ．以下结论：①若AP CQ =，则BAP ACQ ≌；②若AQ BP =，则120AOB ∠=︒；③若,7AP CQ BP ==，则5PC =；④若点P 和点Q 分别从点A 和点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动（到达点C 就停止），则点O
经过的路径长为 ）
A ．①②③
B ．①④
C ．①②
D ．①③④
【答案】B
【分析】 第①个选项直接找到对应的条件，利用SAS 证明全等即可；第②③结论都有两种情况，准
确画出图之后再来计算和判断；第四个结论要先判断判断轨迹(通过对称性)在来计算路径长．
【详解】
①在三角形∵BAP 和∵ACQ 中：
AP CQ BAC C AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
则∵BAP∵∵ACQ (SAS) ；①正确；
②如图1，
题中AQ=BP，存在两种情况：
在1P的位置，∵AOB=120°，
在2P的位置，∵AOB的大小无法确定；②错误；
③本问与AP=CQ这个条件无关，如图，
P还是会有两个位置即：1P、2P，
当在1P时，
作BE∵AC于E点，则E为AC中点，
∵AB=8，AE=1
2
AC，
∵BE=，
又BP=7，
∵1
PE==,
∵CP=CE+PE=5，
当在2P时，同理解∵BCP，得CP= CE-PE=3；故③错；
④由题可得：AP=BQ，由对称性可得O的运动轨迹为∵ABC中AB边上的中垂线则∵AB=8，
∵BC=AB=8，
则AB=
∵运动轨迹路径长为④正确；
∵正确的为①④；
故选：B ．
【点睛】
此题考查了三角形全等，利用等边三角形的性质找出相应的全等条件是关键，还考查了等边三角形是周对称图形这一性质．
9．图中不能证明勾股定理的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】
根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论222+=a b c ，找出不能证明的那个选项．
【详解】
解：A 选项不能证明勾股定理；
B 选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式()22142
a b ab c +=⨯+，可得222+=a b c ； C 选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式()22112222
a b ab c +=⨯+，可得222+=a b c ； D 选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式
222112222
c ab a b ab +⨯=++⨯，可得222+=a b c ． 故选：A ．
【点睛】
本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．
10．如图，在△ABC 和△ADE 中，△BAC =△DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接B ，D 和B ，E ．下列四个结论：
①BD =CE ，
②BD △CE ，
③△ACE +△DBC=30°，
④()
2222BE AD AB =+． 其中，正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【分析】
①由AB=AC ，AD=AE ，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得出三角形ABD 与三角形ACE 全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE ；
②由三角形ABD 与三角形ACE 全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD 垂直于CE ；
③由等腰直角三角形的性质得到∵ABD+∵DBC=45°，等量代换得到∵ACE+∵DBC=45°； ④由BD 垂直于CE ，在直角三角形BDE 中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．
【详解】
解：如图，
① ∵∵BAC=∵DAE=90°，
∵∵BAC+∵CAD=∵DAE+∵CAD ，
即∵BAD=∵CAE ，
∵在∵BAD 和∵CAE 中，
AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝
∵∵BAD∵∵CAE （SAS ），
∵BD=CE ，
故①正确；
②∵∵BAD∵∵CAE ，
∵∵ABD=∵ACE ，
∵∵ABD+∵DBC=45°，
∵∵ACE+∵DBC=45°，
∵∵DBC+∵DCB=∵DBC+∵ACE+∵ACB=45°+45°=90°，
∵∵BDC=90°，
∵BD∵CE ，
故②正确；
③∵∵ABC 为等腰直角三角形，
∵∵ABC=∵ACB=45°，
∵∵ABD+∵DBC=45°，
∵∵ABD=∵ACE
∵∵ACE+∵DBC=45°，
故③错误；
④∵BD∵CE ，
∵在Rt∵BDE 中，利用勾股定理得BE 2=BD 2+DE 2，
∵∵ADE 为等腰直角三角形，
∵AE=AD ，
∵DE 2=2AD 2，
∵BE 2=BD 2+DE 2=BD 2+2AD 2，
在Rt∵BDC 中，BD BC <，
而BC 2=2AB 2，
∵BD 2<2AB 2，
∵()2222BE AD AB <+
故④错误，
综上，正确的个数为2个．
故选：B ．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
二、填空题
11．如图，△ABC 中，AB ＝BC ，AD △BC 垂足为D ，BE ＝AC ，△EAC ＝3△C ，BD ＝7，AC ﹣2AE ＝8，则AE 的长为 __．
【答案】11
【分析】
在BC 上截取CM ＝AE ，连接AM ，通过论证∵AFB ∵∵BDA 和Rt∵EFB ∵Rt∵EFB ，为证明∵AEM ∵∵MCA 作准备条件，设MC ＝AE ＝x ，用含x 的代数式表示AB ，AC ，进而使用勾股定理建立方程，求解AE 的长．
【详解】
解：过点B 作BF ∵EA 于点F ，
∵∵FAO +∵AOF ＝∵OBD +∵BOD ＝90°，
∵∵AOF ＝∵BOD ，
∵∵FAO ＝∵OBD
∵∵EAC ＝3∵C ，
∵AB ＝BC ，
∵∵BAC ＝∵C
∵∵EAB ＝2∵C
∵∵BAD +∵FAO ＝180°﹣2∵C
∵∵ABC ＝180°﹣2∵C ＝∵ABF +∵OBD ，
∵∵ABF +∵OBD ＝∵BAD +∵FAO
∵∵ABF ＝∵BAD
∵AD ∵BC ，
∵∵F ＝∵ADB ＝90°
在∵BFA 和∵ADB 中，
F ADB ABF BAD AB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∵∵AFB ∵∵BDA （AAS ）
∵BF ＝AD
在Rt∵EFB 和Rt∵CDA 中，
EB AC BF AD =⎧⎨=⎩
∵Rt∵EFB ∵Rt∵CDA （HL ）．
在BC 上截取CM ＝AE ，连接AM ．
在∵AEB 和∵MCA 中，
AE MC E C BE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
．
∵∵AEB ∵∵MCA （SAS ）．
∵AB ＝AM ．
∵AD ∵BC ，
∵AD 垂直平分BM ．
∵BD ＝DM ＝7．
设AE ＝MC ＝x ，
∵AC ＝8+2x ，
DC ＝7+x ，
AB ＝14+x ．
在∵ABD 和∵ADC 中，据勾股定理得，
AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣DC 2＝AD 2，
即（14+x ）2﹣72＝（8+2x ）2﹣（7+x ）2．
化简得x 2﹣5x ﹣66＝0，
解得x 1＝11，x 2＝﹣6（舍去），
∵AE 的长为11．
故答案为：11．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
12．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 、E 分别在AC 、BC 上，且AD BE =，连接DE ，若四边形BADE 的面积是5，6AB =，则DE 的长为________.
【答案】4
【分析】
作DF AB ⊥交AB 于F ，EH AB ⊥交 AB 于H ，DG EH ⊥交EH 于G ，可得四边形 DFHG 为矩形，设EH a =，DF b =，则有EG EH DF a b =-=-，容易证得 ()AFD EHB AAS ≅，可得6DG a b =--，根据5BADE S =四边形，得到 5ADE DFHE EHB S S S ++=梯形，即有
()()111
65222
ab a b a b ab ++--+=，化简得 ()22610a b a b +=+-，根据DE
【详解】
解：如图示，
作DF AB ⊥交AB 于F ，EH AB ⊥交 AB 于H ，DG EH ⊥交EH 于G ，
∵四边形DFHG 为矩形，
∵DF GH =，DG FH =，
设EH a =，DF b =，
∵EG EH DF a b =-=-，
在ABC 中，90ACB ∠=︒
∵90A B ∠+∠=︒，
在ADF 中，90AFD ∠=︒
∵90A ADF ∠+∠=︒，
∵B ADF ∠=∠
又∵AD BE =，90AFD EHB ∠=∠=︒
∵()AFD EHB AAS ≅
∵AF EH a ==，DF BH b ==
∵6FH AB AF BH a b =--=--
∵6DG FH a b ==--
∵5BADE S =四边形，
∵5ADE DFHE EHB S S S
++=梯形 即：()()11
1652
22ab a b a b ab ++--+=
∵()22610a b a b +=+- Rt DGE 中，
DE =
4= 故答案是：4．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键．
13．如图，在Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 、E 为BC 上两点，45DAE ∠=︒，F
为ABC 外一点，且FB BC ⊥，FA AE ⊥，则下列结论：
①CE BF =；②222BD CE DE +=；③1
4ADE EF S AD ⋅＝；④2223CE BE AE +=，其中正确的是（写代号）________．
【答案】①②③
【分析】
根据等腰直角三角形的性质，判断出∵AFB ∵∵AEC ，即可得出CE =BF ，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④．
【详解】
解：①∵∵BAC =90°，FA ∵AE ，∵DAE =45°，
∵∵CAE =90°-∵DAE -∵BAD =45°-∵BAD ，
∵FAB =90°-∵DAE -∵BAD =45°-∵BAD ，
∵∵FAB =∵EAC ，
∵AB =AC ，∵BAC =90°，
∵∵ABC =∵ACB =45°，
∵FB ∵BC ，
∵∵FBA =45°，
∵∵AFB ∵∵AEC ，
∵CE =BF ，故①正确，
②：由①中证明∵AFB ∵∵AEC ，
∵AF =AE ，
∵∵DAE =45°，FA ∵AE ，
∵∵FAD =∵DAE =45°，
∵∵AFD ∵∵AED ，
连接FD ，
∵FB =CE ，
∵CE 2+BD 2=FB 2+BD 2=FD 2=DE 2，故②正确，
③：如图，设AD 与EF 的交点为G ，
∵∵FAD =∵EAD =45°，AF =AE ，
∵AD ∵EF ，EF =2EG ，
∵S ∵ADE =12•AD •EG =12•AD •12EF =14
• AD •EF ， 故③正确，
④∵FB 2+BE 2=EF 2，CE =BF ，
∵CE 2+BE 2=EF 2，
在Rt ∵AEF 中，AF =AE ，
AF 2+AE 2=EF 2，
∵EF 2=2AE 2，
∵CE 2+BE 2=2AE 2，故④错误．
故答案为：①②③．
【点评】
本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角直角三角形的性质，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大．
14．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，D 为AC 中点，E 为边AB 上一动点，当四边形BCDE 有一组邻边相等时，则AE 的长为_____________．
【答案】2或3或
135
． 【分析】
分BC BE =、CD DE =、BE DE =三种情况考虑，当BC BE =时，由AE AB BE =-即可求出
AE 的长度；
当CD DE =时，过点D 作DF AE ⊥于F ，通过解直角三角形可得出AF 的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可得出AE 的长度；当BE DE =时，过点D 作DF AE ⊥于F ，设EF x =，则52BE x =-，利用勾股定理表示出2DE 的值，结合BE DE =即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出x 的值，进而即可得出AE 的长度，综上即可得出结论．
【详解】
解：在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，
4AB ∴=，AC =， D 为AC 中点，
AD CD ∴=
当四边形BCDE 有一组邻边相等时，由以下三种情况．
①如图1，当BC BE =时，
2BE BC ∴==，
422AE AB BE ∴=-=-=；
②如图2，当CD DE =时，作DF AE ⊥，垂足为点F ，
AD CD DE ∴===
12
AF EF AE ∴==，
在Rt ADF 中，1122DF AD ===
32AF ∴==， 32232
AE AF ∴==⨯=； ③如图3，当BE DE =时，作DF AE ⊥，垂足为点F ，
35422
BF AB AF ∴=-=-=， 设EF x =，则52BE BF EF x =-=
-，
在Rt DEF △中，DF =，52DE BE x ==-，EF x =， 222EF DF DE ∴+=，即
2
2
252x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：1110x =
， 即1110
EF =， 311132105AE AF EF ∴=+=
+=． 故答案为：2或3或
135
． 【点睛】 本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形以及解一元一次方程，分三种情况寻找AE 的长度是解题的关键．
15．如图，在四边形ABCD 中，45B C ∠=∠=︒，P 是BC 上一点，PA PD =，90APD ∠=︒，AB CD BC
+=______．
【分析】 通过等腰直角三角形构建一线三等角模型求解即可．
【详解】
解：如图所示，分别过A 、D 作AE BC ⊥于E ，DF BC ⊥于F
∵90AEP DFP ∠=∠=︒
∵90APE PAE ∠+∠=︒,90DPF PDF ∠+∠=︒
∵90APD ∠=︒
∵90APE DPF +=︒∠∠
∵APE DPF ∠=∠ ,PAE DPF ∠=∠
在AEP △与DFP △中
APE DPF PA PD
PAE DPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∵()AEP DPF ASA ≅△△
∵AE PF = ，PE DF =
45,C ∠=︒
45,FDC C ∴∠=∠=︒
,DF FC PE ∴==
在Rt ABE △中，45B ∠=︒
∵AB ==
同理可得：CD ==
∵)(
)2BE CF AB CD BC BE CF ++===+
2 ． 【点睛】
本题考察特殊的直角三角形，灵活运用一线三等角模型及特殊直角三角形三边关系是解题的关键．
16．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点D 在BC 上，点E 为Rt ABC △外一点，且ADE
为
等边三角形，60CBE ∠=︒，若7BC =，4BE =，则ADE 的边长为__________．
【答案】【分析】
在BC 的延长线上取点F ，使得60AFD ∠=︒，证()AFD DBE AAS △≌△，得4FD BE ==，AF BD =，设CF x =，则4CD x =-，3BD x =+，再由含30角的直角三角形的性质得2AF x =，则23x x =+，解得3x =，即可解决问题．
【详解】
解：在BC 的延长线上取点F ，使得60AFD ∠=︒，
∵ADE 是等边三角形，
∵AD DE AE ==，60ADE ∠=︒，
∵ADB AFD DAF ADE EDB ∠=∠+∠=∠+∠，
∵DAF EDB ∠=∠，
在AFD 和DBE 中，
60AFD DBE DAF EDB
AD DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∵()AFD DBE AAS △≌△，
∵4FD BE ==，AF BD =，
设CF x =，则4CD x =-，)743(BD x x =--=+，
∵90ACB ∠=︒，
∵90ACF ∠=︒，
∵906030CAF ∠=︒-︒=︒，
∵22AF CF x ==，
∵23x x =+，
解得：3x =，
∵3,CF AC ==
∵1CD =，
∵AD ===
故答案为：
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质．
三、解答题
17．如图，△MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，求运动过程中，点D到点O的最大距离．
＋1
【分析】
取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得．
【详解】
解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE＋DE，
∵当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB＝2，BC＝1，
AB＝1，
∵OE＝AE＝1
2
DE，
∵OD＋1．
【点睛】
此题考查勾股定理，三角形三边的关系，矩形的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半的性质．
18．如图，是由边长为1的小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点．五边形ABCDE的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）五边形ABCDE的周长为．
（2）在AB上找点F，使E，C两点关于直线DF对称；
（3）设DF交CE于点G，连接AG，直接写出四边形AEDG的面积；
（4）在直线DF上找点H，使△AHB＝135°．
【答案】（1）20（2）见解析；（3）10；（4）见解析．
【分析】
（1）根据勾股定理求出五边形ABCDE各边的长，相加即可；
（2）连接EC，作DF∵EC交AB于点F即可；
（3）分成两个三角形求面积即可；
（4）利用等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】
DE=，
解：（1）由题意，5
AB BC CD
===，AE5
∵五边形ABCDE的周长
故答案为：20
（2）如图，连接EC ，作DF ∵EC 交AB 于点F ，点F 即为所求作．
∵5DE CD ==，DF ∵EC ，
∵CE GE =，
∵点D ，G 是CE 垂直平分线上的点，
∵DF 是CE 的垂直平分线，
∵E ，C 两点关于直线DF 对称；
（3）∵EG =AG AE ==
∵222AG AE EG +=，
∵AEG △是直角三角形；
∵11521022
AEG DEG AEDG S S S =+=⨯⨯⨯=四边形． （4）如图，过点A 作AH ∵DF 于H ，连接BH ，则点H 即为所求作．
∵BK KH =BH ==
∵222KH B H K B +=．
∵BHK 是等腰直角三角形．
∵45BHK ∠=︒．
∵135AHB ∠=︒．
【点睛】
本题考查作图-轴对称变换，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．已知△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，△ACB ＝△ECD ＝90°．
（1）如图1，若D 为△ACB 内部一点，请判断AE 与BD 的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若D 为AB 边上一点，AD ＝5，BD ＝12，求DE 的长．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知△CAE =90°，
AC =AE ，45ABC ∠=︒，AB =BC =1，求BE 的长．
图1 图2 图
3
【答案】（1）AE BD =，理由见解析；（2）13；（3【分析】
（1）证明AEC BDC ≌△△即可得AE BD =；
（2）方法同（1）证明AEC BDC ≌△△，从而90,EAD ∠=︒AE BD =，最后由勾股定理即可求得DE
（3）根据（1）（2）的方法作点C 关于AB 对称点C '则BC BC '=，连接,BC EC ''，证明BC E '∠=90︒，通过证明C AC '△≌C AE '△得CC C E ''=，在Rt BC E '中用勾股定理求得BE 的长．
【详解】
（1）如图
∵ACB 和∵ECD 都是等腰直角三角形，∵ACB ＝∵ECD ＝90°
,,1290,2390CE CD CA CB ∴==∠+∠=︒∠+∠=︒
13∠∠∴=
∴AEC BDC ≌△△(SAS)
∴AE BD =．
（2）如图
∵ACB 和∵ECD 都是等腰直角三角形，∵ACB ＝∵ECD ＝90°
,,1290,2390CE CD CA CB ∴==∠+∠=︒∠+∠=︒,
45B CAB ∠=∠=︒
13∠∠∴=
∴AEC BDC ≌△△(SAS)
∴AE BD =，4B ∠=∠
490EAD CAB ∴∠=∠+∠=︒
在Rt ADE △中，12,5AE BD AD ===
13ED ∴==．
（3）如图：作点C 关于AB 对称点C '，连接,BC EC ''
则1BC BC '==,AC AC '=，455ABC ∠∠==︒
90C BC '∴∠=︒
C C '∴==AB BC BC '==
BAC BCA BAC '∴∠=∠=∠
1(18045)67.52
BC A '=∠=⨯︒-︒=︒ 267.5135CAC '∴∠=⨯︒=︒
360C AE CAE CAC ''∴∠=︒-∠-∠
36067.5290=︒-︒⨯-︒135=︒
CAC C AE ''∴∠=∠
又AE AC AC '==
1112(180)(180135)22.5,22
C AE '∴∠=∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒ 1134(180)(180135)22.522
C AC '∠=∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒ 13∠∠∴=
∴167.522.590BC E BC A ''∠=∠+∠=︒+︒=︒
在C AC '△与C AE '△中
13AC AC C AE C AC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠='∠''⎩
'
∴C AC '△≌C AE '△（AAS ）
CC C E ''∴==在Rt BC E '中
C E '
，1BC '=
BE ∴．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，找到三角形全等的条件或通过辅助线构造三角形全等的条件是解题的关键．
20．已知在△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，在直线AD 右侧作等腰△ADE ，AD =AE ．
（1）如图1，若△BAC =△DAE =90°，连接CE ．求证：△ABD △△ACE ；
（2）如图2，若△BAC =△DAE =120°，AB =AC =2．
①当AE △BC 时，求线段BD 的长；
②取AC 边的中点F ，连接EF ．当点D 从点B 运动到点C 过程中，求线段EF 长度的最小值与最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）①
BD =；②线段EF 长度的最小值为12
【分析】
（1）由“SAS ”可证得ABD ACE △≌△；
（2）①如图1，过点D 作DM ∵AB 于点M ，连接CE ，根据∵BAC =∵DAE =120°求出∵BAD =∵CAE ，然后根据平行性质求出∵ABC =∵ACB =∵EAC =30°，得到ABD △是等腰三角形，然后就可以求解了．
②如图2，取AB 中点G ，连接DG ，CG ，由“SAS ”可证AFE AGD △≌△，可得GD=EF , 当GD ∵BC 时，GD 有最小值．当点D 与点C 重合时，DG 有最大值为CG ，即EF 也有最大值．
【详解】
证明：（1）∵∵BAC =∵DAE =90°，
∵∵BAD =∵CAE ．
∵AB =AC ，AD =AE ，
∵ABD ACE △≌△（SAS ）；
（2）解：①如图1，过点D 作DM ∵AB 于点M ，连接CE ，
∵∵BAC =∵DAE =120°，
∵∵BAD =∵CAE ．
∵∵BAC =120°，AB =AC ，
∵∵ABC =∵ACB =30°．
∵AE ∵BC ，∵∵EAC =∵ACB =30°，
∵∵BAD =30°，∵AD =BD ，
∵BM 12=AB =1，∵DM ∵BD = ②如图2，取AB 中点G ，连接DG ，CG ，
∵AB =AC =2，点F 是AC 中点，点G 是AB 中点，
∵AG =BG =AF =CF =1．
∵∵BAC =∵DAE =120°，
∵∵BAD =∵CAE ．
∵AD=AE，AG=AF，
∵AFE AGD
△≌△（SAS），∵GD=EF，
∵DG有最小值，EF也有最小值，∵当GD∵BC时，GD有最小值．∵∵BAC=120°，AB=AC，∵∵ABC=30°，GD∵BC，BG=1，
∵GD
1
2
=，
BD=
当点D与点C重合时，DG有最大值为CG，即EF也有最大值．
∵
BD=BC
∵
CD=，∵
CG==
∵线段EF长度的最小值为1
2
．
故答案为：最小值是1
2
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
一、单选题
1．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）如图，在△ABC中，AC=BC，△ACB=90°，点D在BC 上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）
A．8B．10C．12D．14
【答案】B
【分析】
过点C作CO∵AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．由DC＝2，BD＝6，得到BC＝8，连接BC′，由对称性可知∵C′BA＝∵CBA＝45°，于是得到∵CBC′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：过点C 作CO ∵AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ． 此时DP ＋CP ＝DP ＋PC ′＝DC ′的值最小．
∵DC ＝2，BD ＝6，
∵BC ＝8，
连接BC ′，由对称性可知∵C ′BA ＝∵CBA ＝45°，
∵∵CBC ′＝90°，
∵BC ′∵BC ，∵BCC ′＝∵BC ′C ＝45°，
∵BC ＝BC ′＝8，
根据勾股定理可得DC ′10．
故选：B ．
【点睛】
此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P 为何位置时 PC ＋PD 的值最小是解题的关键．
2．（2020·宁波市第十五中学九年级期中）如图，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ACB ∆的顶点A 在ECD ∆的斜边DE 上，AB 、CD 交于F ，若6AE =，8AD =，则AF 的长为（ ）
A ．5
B ．407
C ．285
D ．6
【答案】B
【分析】 连接BD ，自F 点分别作FG AD ⊥，FH BD ⊥交AD 、
BD 于G 、H 点，通过证明ECA DCB ≅，可得45,6E CDB AE BD ︒∠=∠===，根据勾股定理求出AB 的长度，再根据角平分线的性质可得FG FH =，根据三角形面积公式可得34
BF AF =，代入10AF BF AB +==中即可求
出BF 的值．
【详解】
如图，连接BD ，自F 点分别作FG AD ⊥，FH BD ⊥交AD 、BD 于G 、H 点
∵ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形
∵90,45ECD ACB EDC E ︒︒∠=∠=∠=∠=
90ECA ACD DCB ︒∴∠=-∠=∠
在∵ECA 和∵DCB 中
CA CB ECA DCB CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
ECA DCB ∴≅
45,6E CDB AE BD ︒∴∠=∠===
45EDC ︒∠=
90ADB EDC CDB ︒∴∠=∠+∠=
在Rt∵ADB
中，AB 8,6AD BD ==
10AB ∴=
45CDB EDC ︒∠=∠=
∵DF 是∵ADB 的角平分线
,FG AD FH BD ⊥⊥
FG FH ∴=
18421632ADF BDF AD FG S AD S BD BD FH ∆⨯∴====⨯ ∵∵ADF 底边AF 上的高h 与∵BDF 底边BF 上的高h 相同
142132
ADF BDF AF h S AF S BF BF h ∆∆⨯∴===⨯ 34
BF AF ∴= 10AF BF AB +== 3104
AF AF ∴+= 407AF ∴=
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理、角平分线的性质、三角形面积公式是解题的关键．
3．（2020·四川）（2019秋•陇西县期中）若△ABC中，AB＝7，AC＝8，高AD＝6，则BC的长是（）
A．B．
C．D．以上都不对
【答案】C
【分析】
在∵ABC中，由∵A可能是锐角或是钝角，高AD可能线段BC上或BC的延长线上，分两种情
况求解，根据勾股定理，线段和差求出线段BC的长为是．
【详解】
解：（1）当高AD在BC上时，如图1所示：
∵AD∵BC，
∵在Rt∵ABD中，由勾股定理得，
BD=
又∵AB＝7，AD＝6，
∵BD
=
同理可得：DC＝，
又∵BC＝BD+DC，
∵BC=；
当高AD在BC的延长线上时，如图2所示：
∵AD∵BC，
∵在Rt∵ADC中，由勾股定理得，
DC=
又∵AC＝8，AD＝6，
∵DC==，
同理可得；DB=
又∵BC＝DC﹣DB，
∵BC＝
综合所述：BC的长是
故选：C．
【点睛】
本题综合考查了勾股定理的运用，线段的和差计算等相关知识，重点掌握勾股定理的运用，易错点三角形可能是锐角三角形或钝角三角形．
BC=，AD、CE分别是4．（2019·浙江温州市·九年级）如图，在ABC中，AC=13
ABC的高线与中线，点F是线段CE的中点，连接DF．若DF CE
⊥，则AB=（）
A．10B．11C．12D．13
【答案】A
【分析】
连接DE，根据直角三角形的性质得到AB=2DE，根据线段垂直平分线的性质得到DE=DC，得到AB=2CD，根据勾股定理列式计算得到得到答案．
解：连接DE ，∵AD∵BC ，点E 是AB 的中点，
∵AB=2DE ， ∵DF∵CE ，点F 是线段CE 的中点，
∵DE=DC ， ∵AB=2CD ，
在Rt∵ABD 中，222AD AB BD =-，
在Rt∵ACD 中，222AD AC DC =-，
∵22AC DC -=22AB BD -，
即2222(2)(13)CD CD CD -=--，
解得，CD=5， ∵AB=2CD=10，
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握定理是关键．
5．（2020·杭州市建兰中学九年级月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3．若S 1+S 2+S 3＝12，则下列关于S 1、S 2、S 3的说法正确的是（ ）
A ．S 1＝2
B ．S 2＝3
C ．S 3＝6
D ．S 1+S 3＝8
【答案】D
【分析】 根据八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，得出CG NG =，CF DG NF ==，再根据三个正方形面积公式列式相加：12312S S S ++=，求出2GF 的值，从而可以计算结论即可．
解：八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，
CG NG ∴=，CF DG NF ==，
21()S CG DG ∴=+，
222CG DG CG DG =++⋅，
22GF CG DG =+⋅，
22S GF =，
2223()2S NG NF NG NF NG NF =-=+-⋅，
2222212322312S S S GF CG DG GF NG NF NG NF GF ∴++=+⋅+++-⋅==，
24GF ∴=，
24S ∴=，
12312S S S ++=，
138S S ∴+=，
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出2312GF =是解决问题的关键．
6．（2019·常熟市第一中学八年级月考）如图，在ABC 中，,904C AC ︒∠==cm ，3BC =cm ，点D 、E 分别在AC 、BC 上，现将DCE 沿DE 翻折，使点C 落在点'C 处，连接AC '，则AC '长度的最小值 （ ）
A ．不存在
B ．等于 1cm
C ．等于 2 cm
D ．等于 2.5 cm
【分析】
当C′落在AB上，点B与E重合时，AC'长度的值最小，根据勾股定理得到AB=5cm，由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，于是得到结论．
【详解】
解：当C′落在AB上，点B与E重合时，AC'长度的值最小，
∵∵C=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∵AB=5cm，
由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，
∵AC′=AB-BC′=2cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．7．（2020·四川省岳池中学八年级月考）在△ABC中，△BCA=90△,AC=6,BC=8,D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD，连接BE，则线段BE的长等于（）
A．5B．7
5C．
14
5
D．
36
5
【答案】C
【分析】
根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作DH∵BE于H，EG∵CD
于G，证明∵DHE∵∵EGD，利用勾股定理求出
7
5
EH DG
==，即可得到BE.
【详解】
∵∵BCA=90∵，AC=6，BC=8， ∵22226810AB AC BC ，
∵D 是AB 的中点，
∵AD=BD=CD=5，
由翻折得：DE=AD=5，∵EDC=∵ADC ，CE=AC=6，
∵BD=DE ，
作DH∵BE 于H ，EG∵CD 于G ，
∵∵DHE=∵EGD=90︒，∵EDH=12∵BDE=12（180︒-2∵EDC ）=90︒-∵EDC ，
∵∵DEB= 90︒-∵EDH=90︒-(90︒-∵EDC)=∵EDC ，
∵DE=DE ，
∵∵DHE∵∵EGD ，
∵DH=EG ，EH=DG ，
设DG=x ，则CG=5-x ，
∵2EG =2222DE DG CE CG -=-，
∵222256(5)x x -=--，
∵75
x =， ∵75EH DG ==
， ∵BE=2EH=
145
， 故选：C.
【点睛】
此题考查翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，将求BE 转换为求其一半的长度的想法是关键，由此作垂线，证明∵DHE∵∵EGD ，由此求出BE 的长度.
8．（2021·山西）如图，在长方形纸片ABCD 中，8AB cm =，6AD cm =. 把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，则AF 的长为（ ）
A ．254cm
B ．152cm
C ．7cm
D ．132
cm 【答案】A
【分析】
由已知条件可证∵CFE∵∵AFD ，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm ，设AF=xcm ，则DF=(8-x)cm ，在Rt∵AFD 中，利用勾股定理即可求得x 的值.
【详解】
∵四边形ABCD 是长方形，
∵∵B=∵D=900，BC=AD,
由翻折得AE=AB=8m ，∵E=∵B=900,CE=BC=AD
又∵∵CFE=∵AFD
∵∵CFE∵∵AFD
∵EF=DF
设AF=xcm ，则DF=（8-x ）cm
在Rt∵AFD 中，AF 2=DF 2+AD 2,AD=6cm ，
222(8)6x x =-+
254
x cm = 故选择A.
【点睛】
此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.
二、填空题
9．（2021·华东师范大学青岛实验中学八年级期中）如图，在Rt ABC 中，
ACB 90,AC 6,BC 8∠=︒==，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E 、F 分别是AD 、AC 上的动点，则CE EF +的最小值为________．。