2010-2018高考数学试题分类汇编文科版专题七 不等式 第十九讲 不等式的性质与一元二次不等式答案

专题七 不等式
第十九讲 不等式的性质与一元二次不等式
答案部分
1．D 【解析】当0x ≤时，函数()2x f x -=是减函数，则()(0)1f x f =≥，作出()f x 的
大致图象如图所示，结合图象可知，要使(1)(2)+<f x f x ，则需102021x x x x +<⎧⎪
<⎨⎪<+⎩
或
10
20x x +⎧⎨
<⎩
≥，所以0x <，故选D ．
2．A 【解析】由3
8x >，得2x >，由||2x >，得2x >或2x <-，故“38x >”是“||2x >”
的充分而不必要条件，故选A ．
3．B 【解析】由20x -≥，得2x ≤，由|1|1x -≤，得02x ≤≤，
所以“20x -≥”是“|1|1x -≤”的必要而不充分条件．选B ． 4．B 【解析】函数()f x 的对称轴为2
a
x =-
， ①当02a
-
≤，此时(1)1M f a b ==++，(0)m f b ==，1M m a -=+； ②当12a
-≥，此时(0)M f b ==，(1)1m f a b ==++，1M m a -=--；
③当012a <-<，此时2
()24
a a m f
b =-=-，(0)M f b ==或(1)1M f a b ==++，
24
a M m -=或2
14a M m a -=++．综上，M m -的值与a 有关，与b 无关．选B ．
5．D 【解析】log log 1>=a a b a ，
当1>a 时，1>>b a ，10,0∴->->a b a ，(1)()0∴-->a b a ；
当01<<a 时，01∴<<<b a ，10,0∴-<-<a b a ，(1)()0∴-->a b a ．故选D ． 6．A 【解析】由题意得，{}|31P x x x =≥≤或，所以[3,4)P Q = ，故选A ． 7．C 【解析】2{|430}{|13},(2,3)A x x x x x A B =-+<=<<= ． 8．C 【解析】取满足题意得函数()21f x x =-，若取3
2
k =
， 则121()()33f f k ==
21
3k
<=，所以排除A ． 若取1110k =，则11
1110()()(10)1911111111111010
k
f f f k k ===>==
----，所以排除D ；取满足题意的函数()101f x x =-， 若取2k =，则1
111()()412211
f f k k ==>==--，所以排除B ， 故结论一定错误的是C ．
9．A 【解析】{}
|13A x x x =-≤或≥，故A B ⋂=[-2, -1]． 10．D 【解析】由11
00c d d c
<<⇒-
>->，又 0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a b
d c
<
11．D 【解析】由已知得x y >，此时22
,x y 大小不定，排除A,B ；由正弦函数的性质，可
知C 不成立；故选D ．
12．B 【解析】不妨设01y x ≤≤≤，当102x y <-≤
时，11
()()24
f x f y x y -<-≤； 当
1
12
x y <-≤时，()()()(1)()(0)f x f y f x f f y f -=--- ()(1)f x f -≤()(0)f y f +-11
1022
x y <-+-
11111(1)()22224x y y x =-+=+-<，∴14
k ≥． 13．C 【解析】如图△ADE ∽△ABC ，设矩形的另一边长为y ，则
2
40()40
ADE ABC S y S ∆∆-=， 所以40y x =-，又300xy ≥，所以(40)300x x -≥，
即2
403000x x -+≤，解得1030x ≤≤．
14．A 【解析】∵由22280x ax a --< (0a >)，得(4)(2)0x a x a -+<，
即24a x a -<<，∴122,4x a x a =-=. ∵214(2)615x x a a a -=--==，∴155
62
a =
=．故选A ． 15．A 【解析】解法一 由()()f x a f x +<，得()||1||||a x x a a x a ax x ++++<①
当0a ≥，①⇔()||1||||x x a a x a x x ++++<，无解， 即A =Φ，不符合，排除C ．取12a =-，①⇔111
||1||||222
x x x x x -+-->， 符合11,22A ⎡⎤
-⊆⎢⎥⎣⎦
，排除B 、D ．
解法二 数形结合，∵()()1||f x x a x =+是奇函数．
ⅰ）取1a =，()()1||f x x x =+，如图()()1f x f x +<，无解．排除C ．
f (x )
ⅱ）取12a =-，()11||2f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()12y f x a f x ⎛⎫=+=- ⎪⎝
⎭，满足11,22A ⎡⎤
-⊆⎢⎥⎣⎦，排除B 、D
解法三 由题意0A ∈，即()()00f a f <=，所以()
1||0a a
a +<，当0a >时无解，
所以0a <，此时2
10a -<，∴10a -<<．排除C 、D ．又
111222
<-<， ∴取12a =-
，①⇔111||1||||222x x x x x -+-->，符合11,22A ⎡⎤
-⊆⎢⎥⎣⎦
，排除B ． 16．C 【解析】验证A ，当3
3
2
=3>2.7=19.68>1+3+3=13x e 时，，故排除A ；验证B ，
当1
=2
x
111113391-+==22441648⨯⨯，故排除B ；验证C ，令()()()2
1=cos -1+
,'=-sin +,''=1-cos 2
g x x x g x x x g x x ， 显然()''>0g x 恒成立，所以当[)0,+x ∈∞，()()''0=0g x g ≥， 所以[)0,+x ∈∞，()2
1=cos -1+2
g x x x 为增函数，所以()()0=0g x g ≥，恒成立，故选C ；验证D ， 令()()()()()
2-311=ln 1+-+
,'=-1+=8+144+1x x x h x x x x h x x x ，令()'<0h x ，解得0<<3x ，所以当0<<3x 时，()()<0=0h x h ，显然不恒成立，故选C ．
17．B 【解析】由题可知()11x f x e =->-，22()43(2)11g x x x x =-+-=--+≤，若
有()(),f a g b =则()(1,1]g b ∈-，即2
431b b -+
->-
，解得22b < 18．11-（答案不唯一）【解析】由题意知，当1a =，1b =-时，满足a b >，但是
11
a b
>，故答案可以为11-．（答案不唯一，满足0a >，0b <即可）
19．(1,4)；(1,3](4,)+∞ 【解析】若2λ=，则当2x ≥时，令40x -<，得24x <≤；
当2x <时，令2
430x x -+<，得12x <<．综上可知14x <<，所以不等式()0
f x <的解集为(1,4)．令40x -=，解得4x =；令2
430x x -+=，解得1x =或3x =．因为函数()f x 恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知13λ<≤或4λ>．
20．1(,)4-+∞【解析】当12
x >时，不等式为12221x x
-+>恒成立；
当102x <≤
，不等式12112
x
x +-+>恒成立； 当0x ≤时，不等式为11112x x ++-+>，解得14x >-，即1
04
x -<≤；
综上，x 的取值范围为1
(,)4
-+∞．
21．1
[,1]2
【解析】由题意，22222(1)221u x y x x x x =+=+-=-+，且[0,1]x ∈，
又0x =时，221u x y =+=，12x =时，221
2
u x y =+=，当1x =时，221u x y =+=，所以22x y +取值范围为1
[,1]2
．
22．6 12【解析】设男生数，女生数，教师数为,,a b c ，则2,,,c a b c a b c >>>∈N
①84a b >>>，所以max 6b =，
②当min 1c =时，21a b >>>，a ，b ∈N ，a ，b 不存在，不符合题意； 当min 2c =时，42a b >>>，a ，b ∈N ，a ，b 不存在，不符合题意； 当min 3c =时，63a b >>>，此时5a =，4b =，满足题意． 所以12a b c ++=． 23．2【解析】111()1111
x x f x x x x -+=
==+---，因为2x ≥，所以11x -≥， 1011x <-≤，所以11(1,2]1
x +∈-，
故当2x =时，函数()(2)1
x
f x x x =
≥-取得最大值2． 24．()4,1-【解析】由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2
340x x --+>的解
集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-．
25．(2
-
【解析】由题意可得()0f x <对于[,1]x m m ∈+上恒成立，
即22
()210(1)230
f m m f m m m ⎧=-<⎨+=+<⎩，解得02m -<<．
26．36【解析】因为0,0x a >>，()44a f x x a x =+
≥=，
当且仅当4a x x =
，即3x =
=，解得36a =． 27．()2,1-【解析】易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-.
28．(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)【解析】做出x x x f 4)(2
-= (0>x )的图像，如下图所示．由
于)(x f 是定义在R 上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0的图像．不
等式x x f >)(，表示函数y ＝)(x f 的图像在y ＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)．
29．(－7,3)【解析】当x ≥0时，令2
45x x -<，解得，05x <≤．又因为)(x f 为定义域
为R 的偶函数，则不等式(2)5f x +<等价于525x -<+<，即－7＜x ＜3；故解集为(－7,3)．
30．(0，8)【解析】因为不等式x 2
﹣ax +2a ＞0在R 上恒成立．∴△=2()80a a --<，解得
0＜a ＜8．
31．9【解析】因为()f x 的值域为[0,+∞），所以,0=∆即2
4a b =,所以2
2
04
a x ax c ++-=的两根，由一元二次方程根与系数的关系得,4
)6(,622
c a m m a m -=+-=+解得c =9. 32．(3,2)(3,)-⋃+∞【解析】不等式可化为(3)(2)(3)0x x x +-->采用穿针引线法解不
等式即可．
33
．(11)-
【解析】2
2
12(1)10
x x
x x ⎧->⎪⇒∈-⎨->⎪⎩． 34．27【解析】22()[16,81]x y ∈，2111
[,]83xy ∈，322421()[2,27]x x y y xy
=⋅∈，43y x 的最大
值是27．
35．1m <-【解析】已知()f x 为增函数且m ≠0
若m >0，由复合函数的单调性可知()f mx 和()mf x 均为增函数，此时不符合题意。

m <0，时有221111
02()012m mx mx mx m x mx x m x m
-
+-<⇒--∙<⇒+<
因为22y x =在[1,)x ∈+∞上的最小值为2，所以1+21
2m
<即2m >1， 解得1m <-．
36．【解析】：（I ）由()cos sin f x x x x =-得，'()cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-．
因为在区间(0,
)2π
上'()f x sin 0x x =-<，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减． 从而()f x (0)0f ≤=． （Ⅱ）当0x >时，“
sin x
a x
>”等价于“sin 0x ax ->”， “
sin x
b x
<”等价于“sin 0x bx -<”． 令()g x sin x cx =-，则'()g x cos x c =-， 当0c ≤时，()0g x >对任意(0,)2
x π
∈恒成立．
当1c ≥时，因为对任意(0,
)2
x π
∈，'()g x cos x c =-0<，
所以()g x 在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减． 从而()g x (0)0g <=对任意(0,
)2
x π
∈恒成立．
当01c <<时，存在唯一的0(0,)2
x π
∈使得0'()g x 0cos x c =-0=．
()g x 与'()g x 在区间(0,
)π
上的情况如下：
因为()g x 在区间[]00,x 上是增函数，所以0()(0)0g x g >=．进一步，“()0g x >对
任意(0,
)2x π
∈恒成立”当且仅当()1022g c ππ=-≥，即2
0c π
<≤， 综上所述，当且仅当2c π≤时，()0g x >对任意(0,)2
x π
∈恒成立；当且仅当1c ≥时，
()0g x <对任意(0,)2
x π
∈恒成立．
所以，若sin x a b x <
<对任意(0,)2x π∈恒成立，则a 最大值为2
π
，b 的最小值为1．。