难点解析鲁教版(五四制)七年级数学下册第八章平行线的有关证明达标测试练习题

七年级数学下册第八章平行线的有关证明达标测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，90C A ∠=∠=︒，25B ∠=︒，则D ∠的度数是（ ）
A ．55°
B ．35°
C ．45°
D ．25°
2、如图，E 在线段BA 的延长线上，∠EAD =∠D ，∠B =∠D ，EF ∥HC ，连FH 交AD 于G ，∠FGA 的余角比∠DGH 大16°，K 为线段BC 上一点，连CG ，使∠CKG =∠CGK ，在∠AGK 内部有射线GM ，GM 平分∠FGC ，则下列结论：①AD ∥BC ；②GK 平分∠AGC ；③∠DGH =37°；④∠MGK 的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
3、为说明命题“若a b >，则22a b >”是假命题，所列举反例正确的是（ ）
A ．5,3a b ==
B ．1,2a b =-=-
C ．2,1a b ==
D ．1
,123
a b =-=- 4、如图，AB CD ∥，45A ∠=︒，30C ∠=︒，则E ∠的度数是（ ）
A ．10°
B ．15°
C ．20°
D ．25°
5、对于命题“若22x y >，则x y >”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A ．2x =-，1y =-
B ．1x =-，2y =-
C ．2x =，1y =
D ．1x =，2y =
6、下列语句是命题的是（ ）
A ．垃级分类是一种生活时尚
B ．今天，你微笑了吗？
C ．多彩的青春
D ．一起向未来
7、如图，已知△ABC 中，BD 、CE 分别是△ABC 的角平分线，BD 与CE 交于点O ，如果设∠BAC ＝n °（0＜n ＜180），那么∠BOE 的度数是（ ）
A ．90°1
2-n ° B ．90°1
2+n ° C ．45°+n ° D ．180°﹣n °
8、下列命题是真命题的个数为（ ）
①一个角的补角大于这个角．②三角形的内角和是180°．③若22a b =，则a b =．④相等的角是对顶角．⑤两点之间，线段最短．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9、下列语句正确的个数是（ ）
（1）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（2）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（3）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（4）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10、如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，将ABC 沿直线m 翻折，点A 落在点D 的位置，则12∠-∠的度数是（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O 照射到抛物线上的光线OB ，OC 等反射以后沿着与POQ 平行的方向射出．图中如果45BOP ∠=︒，68QOC ∠=︒，则ABO ∠=________，DCO ∠=________．
2、如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 平分∠BAC ，点E 在AD 延长线上，且EC ⊥AC ．若∠E ＝50°，则∠ADC 的度数是________．
3、如图，已知,12180,ADE B CD AB ∠=∠∠+∠=︒⊥，请填写理由，说明GF AB ⊥．
解：因为ADE B ∠=∠（已知），所以∥DE BC （ ）
得13∠=∠（ ）
又因为12180∠+∠=︒（已知），所以23180︒∠+∠=（ ）
所以 ∥ （ ）
所以FGB CDB ∠=∠（ ）
因为CD AB ⊥（已知），所以90CDB ︒∠=（垂直的意义）
得90FGB ︒∠=，
所以GF AB ⊥（垂直的意义）
4、如图，已知长方形纸带ABCD ，AB CD ∥，AD BC ∥，90C ∠=︒，52DEF ∠=︒，将纸带沿EF 折叠后，点C 、D 分别落在H 、G 的位置，则下列结论中，正确的序号是_______．
①52BFE ∠=︒；②52BMG ∠=︒；③76AEG ∠=︒；④76BFH ∠=︒．
5、将一把直尺和一块含30°角的直角三角板按如图所示方式摆放，其中∠CBD =90°，∠BDC =30°，若∠1=78°，则∠2的度数为________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、探究：如图1直线AB 、BC 、AC 两两相交，交点分别为点A 、B 、C ，点D 在线段AB 上过点D 作∥DE BC 交AC 于点E ，过点E 作EF AB ∥交BC 于点F ．若50ABC ∠=︒，求∠DEF 的度数． 请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式）
解：DE BC ∥，
DEF ∴∠=_____________．
（_____________） EF AB ∥，
∴_________ABC =∠．（_______________）
DEF ABC ∴∠=∠．（等量代换）
50ABC ∠=︒，
DEF ∴∠=___________．
应用：如图2，直线AB 、BC 、AC 两两相交，交点分别为点A 、B 、C ，点D 在线段AB 的延长线上，过点D 作∥DE BC 交AC 于点E ，过点E 作EF AB ∥交BC 于点F ．若65ABC ∠=︒，求DEF ∠的度数并说明理由
2、如图，在正方形网格中有四个格点O 、A 、B 、C ，按要求进行下列作图，并标出相应的字母（要求画图时用2B 铅笔加黑加粗）：
(1)画线段AB ，画射线CB ，画直线AC ；
(2)过点A 画射线CB 的垂线AD ，垂足为点D ；
(3)过点O 画直线AC 的平行线OE ．
3、已知AB ∥CD ，点E 在AB 上，点F 在DC 上，点G 为射线EF 上一点．
【基础问题】如图1，试说明：∠AGD ＝∠A ＋∠D ．（完成图中的填空部分）．
证明：过点G 作直线MN∥AB ，
又∵AB∥CD ，
∴MN∥CD （ ）
∵MN∥AB ，
∴∠A ＝（ ）（ ）
∵MN∥CD ，
∴∠D ＝ （ ）
∴∠AGD ＝∠AGM ＋∠DGM ＝∠A ＋∠D ．
【类比探究】如图2，当点G 在线段EF 延长线上时，直接写出∠AGD 、∠A 、∠D 三者之间的数量关系．
【应用拓展】如图3，AH 平分∠GAB ，DH 交AH 于点H ，且∠GDH ＝2∠HDC ，∠HDC ＝22°，∠H ＝32°，直接写出∠DGA 的度数．
4、定义：如图①．如果点D 在ABC 的边AB 上且满足12∠=∠．那么称点D 为ABC 的“理根点”，如图②，在Rt ABC 中，90,C ∠=︒5,AB =4AC =，如果点D 是ABC 的“理想点”，连接CD ．求CD 的长．
5、如图，AD EF ，12180∠+∠=︒．请从以下三个条件：①DG 平分ADC ∠，②C CAD ∠=∠，③
B BAD ∠=∠中选择一个作为条件，使DG AB ，你选的条件是______（填写序号）
．并说明理由．
-参考答案-
一、单选题
1、D
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理和对顶角相等求解即可．
【详解】
解：设AD 与BC 相交于O ，则∠COD =∠AOB ，
∵∠C +∠COD +∠D =180°，∠A +∠AOB =∠B =180°，∠C =∠A =90°，
∴∠D =∠B =25°，
故选：D ．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理、对顶角相等，熟练掌握三角形的内角和是180°是解答的关键．
2、B
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据题意列方程得到∠FGA=∠DGH=37°，故③正确；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的定义即可得到结论．
【详解】
解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC，故①正确；
∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，
∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，
∴90°-∠FGA-∠DGH=16°，
∵∠FGA=∠DGH，
∴90°-2∠FGA=16°，
∴∠FGA =∠DGH =37°，故③正确；
设∠AGM =α，∠MGK =β，
∴∠AGK =α+β，
∵GK 平分∠AGC ，
∴∠CGK =∠AGK =α+β，
∵GM 平分∠FGC ，
∴∠FGM =∠CGM ，
∴∠FGA +∠AGM =∠MGK +∠CGK ，
∴37°+α=β+α+β，
∴β=18.5°，
∴∠MGK =18.5°，故④错误，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，对顶角性质，一元一次方程，正确的识别图形是解题的关键．
3、B
【解析】
【分析】
根据各选项中,a b 的值分别求出2a 和2b ，再找出在a b >条件下，使得22a b <或22a b =成立的选项即可得．
【详解】
解：A 、当5,3a b ==时，2225,9a b ==，满足a b >，但22a b >，是错误的反例，此项不符题意；
B 、当1,2a b =-=-时，221,4a b ==，满足a b >，但22a b <，是正确的反例，此项符合题意；
C 、当2,1a b ==时，224,1a b ==，满足a b >，但22a b >，是错误的反例，此项不符题意；
D 、当1,123
a b =-=-时，不满足a b >，是错误的反例，此项不符题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了列举反例，掌握列举反例的方法是解题关键．
4、B
【解析】
【分析】
根据平行线的性质求出关于∠DOE ，然后根据外角的性质求解．
【详解】
解：∵AB ∥CD ，∠A ＝45°，
∴∠A ＝∠DOE ＝45°，
∵∠DOE ＝∠C +∠E ，
又∵30C ∠=︒，
∴∠E ＝∠DOE -∠C ＝15°．
故选：B
【点睛】
本题比较简单，考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系．掌握两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题关键．
5、A
【解析】
【分析】
要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
【详解】
解：当x=-2，y=-1时，x2＞y2，但x＜y，选项A符合题意；
当x=-1，y=-2时，x2＜y2，选项B不符合题意；
当x=2，y=1时，x2＞y2，则x＞y，选项C不符合题意；
当x=1，y=2时，则x2＜y2，选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
6、A
【解析】
【分析】
根据命题的定义“判断事物的语句叫命题”逐项判断即可．
【详解】
A. 垃级分类是一种生活时尚，对问题作出了判断，是命题，符合题意；
B. 今天，你微笑了吗？是疑问句，不是命题，不符合题意；
C. 多彩的青春，是描述性语言，不是命题，不符合题意；
D. 一起向未来，是描述性语言，不是命题，不符合题意．
故选A．
【点睛】
本题考查判断是否为命题．掌握命题的定义是解答本题的关键．
7、A
【解析】
【分析】
根据BD 、CE 分别是△ABC 的角平分线和三角形的外角，得到()12
BOE ABC ACB ∠=∠+∠，再利用三角形的内角和，得到180180ABC ACB BAC n ∠+∠=︒-∠=︒-︒，代入数据即可求解．
【详解】
解：∵BD 、CE 分别是△ABC 的角平分线， ∴12
DBC ABC ∠=∠，12ECB ACB ∠=∠， ∴BOE DBC ECB ∠=∠+∠
1122
ABC ACB =∠+∠ ()12
ABC ACB =∠+∠， ∵180180ABC ACB BAC n ∠+∠=︒-∠=︒-︒， ∴()()11118090222
BOE ABC ACB n n ∠=∠+∠=⨯︒-︒=︒-︒． 故答案选：A ．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理和外角的性质．涉及角平分线的性质．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180︒．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
8、A
【解析】
【分析】
根据补角、三角形内角和定理、平方的计算、对顶角的性质及两点之间线段最短依次进行判断即可得
【详解】
解：①一个角的补角大于这个角，若这个角是钝角，则其补角小于这个角，错误，假命题； ②三角形的内角和是180°，正确，是真命题；
③若22a b =，则a b =或a b =-，错误，是假命题；
④相等的角不一定是对顶角，错误，假命题；
⑤两点之间，线段最短，正确，真命题；
综上可得：②⑤是真命题，
故选：A ．
【点睛】
题目主要考查命题真假的判断，理解题意，熟练掌握各个定理是解题关键．
9、C
【解析】
【分析】
由题意直接根据平行公理及平行线的判定定理进行判断即可．
【详解】
解：经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故（1）正确；
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（2）不正确；
平面内，平行具有传递性，故（3）正确；
同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，则同位角（内错角）相等，这两条直线互相平行，故（4）正确，
∴正确的有（1）、（3）、（4），
故选：C ．
本题考查平行公理及平行线的判定定理，熟练掌握理解平行线公理及判定定理是解题的关键．
10、C
【解析】
【分析】
设m 交,AC AB 于点,E F ，G 是射线EF 上的一点，设,AEG DEG AFG DFG αβ∠=∠=∠=∠=，根据三角形的外角的性质可得30βα-=︒，进而根据平角的定义即可求得1,2∠∠，即可求得12∠-∠．
【详解】
如图，设m 交,AC AB 于点,E F ，G 是射线EF 上的一点，
折叠，
,AEG DEG AFG DFG ∴∠=∠∠=∠
设,AEG DEG AFG DFG αβ∠=∠=∠=∠=
30A βαα∴=+∠=+︒
即30βα-=︒
11802,21802αβ∠=︒-∠=︒-
122260βα∴∠-∠=-=︒
故选C
【点睛】
本题考查了折叠的性质，三角形的外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
1、 45°##45度 112°##45度
【解析】
【分析】
由平行线的性质即可得出45ABO ∠=︒，112DCO ∠=︒．
【详解】
由题意知AB //PQ //CD
∴ABO ∠=45BOP ∠=︒
∴DCO ∠=180********QOC ︒-∠=︒-︒=︒
故答案为：45°，112°
【点睛】
本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补．
2、100︒##100度
【解析】
【分析】
先根据直角三角形的性质可得40CAD ∠=︒，再根据角平分线的定义可得40BAD CAD ∠=∠=︒，然后根据三角形的外角性质即可得．
【详解】
解：,50EC AC E ⊥∠=︒，
9400CAD E ∠=︒∠=-∴︒， AD 平分BAC ∠，
40BAD CAD ∠∴∠==︒，
60B ∠=︒，
100BAD ADC B +∠∠=∴∠=︒，
故答案为：100︒．
【点睛】
本题考查了直角三角形的两个锐角互余、角平分线、三角形的外角性质，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题关键．
3、同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；;CD FG ；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】
同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两线夹角为90°，两线垂直．
【详解】
解：ADE B ∠=∠（已知），
//DE BC ∴（同位角相等，两直线平行），
13∠∠∴=（两直线平行，内错角相等），
12180∠+∠=︒（已知），
23180∴∠+∠=︒（等量代换），
//CD FG ∴（同旁内角互补，两直线平行），
FGB CDB ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等），
CD AB ⊥（已知），
90CDB ∴∠=︒（垂直的定义），
90FGB =∴∠︒，
GF AB ∴⊥（垂直的定义）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；;CD FG ；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【点睛】
本题考查了垂直定义和平行线的判定的应用，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
4、①③④
【解析】
【分析】
根据两直线平行，内错角相等可判断①，根据平行线的性质，折叠性质，利用角的和差判断④，根据平角定义及折叠性质可判断②，根据平角定义可判断③．
【详解】
解：四边形ABCD 是长方形，
90C D ∴∠=∠=︒，AD BC ∥，
52DEF ∠=︒，
52BFE DEF ∴∠=∠=︒，①正确； AD ∥BC
180∴∠+∠=︒DEF EFC ，
180128EFC DEF ∴∠=︒-∠=︒，
由折叠得，DEF GEF ∠=∠，EFC EFH ∠=∠，90G D ∠=∠=︒，90C H ∠=∠=︒，
1285276BFH EFH EFB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，④正确；
180H BFH HMC ∠+∠+∠=︒，
180907614HMC ∴∠=︒-︒-︒=︒，
BMG HMC ∠=∠，
14BMG ∴∠=︒，②错误；
180AEG GEF DEF ∠+∠+∠=︒，
180525276AEG ∴∠=︒-︒-︒=︒，③正确．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．
5、18°##18度
【解析】
【分析】
根据平角及已知条件可得12EBD ∠=︒，由平行线的性质可得12EBD BDH ∠=∠=︒，结合图形求解即可得．
【详解】
解：∵178∠=︒，90CBD ∠=︒，
∴180112EBD CBD ∠=︒-∠-∠=︒，
∵四边形AEGH 为矩形，
∴∥AE GH ，
∴12EBD BDH ∠=∠=︒，
∵30BDC ∠=︒，
∴218BDC BDH ∠=∠-∠=︒，
故答案为：18︒．
【点睛】
题目主要考查角度的计算及平行线的性质，理解题意，结合图形求角度是解题关键．
三、解答题
1、探究：∠EFC ；两直线平行，内错角相等；∠EFC ；两直线平行，同位角相等；50°；应用：115︒，见解析．
【解析】
【分析】
探究：根据平行线的性质填写证明过程即可；
应用：根据探究的方法利用平行线的性质求角度即可．
【详解】
探究：DE BC ∥，
DEF ∴∠=EFC ∠．
（_两直线平行，内错角相等） EF AB ∥，
∴EFC ∠ABC =∠．（两直线平行，同位角相等_）
DEF ABC ∴∠=∠．（等量代换）
50ABC ∠=︒，
DEF ∴∠=50︒．
应用：DE BC ∥，
∴∠ABC =∠ADE =65°.(两直线平行,同位角相等)
∵EF ∥AB ，
∴∠ADE +∠DEF =180°.(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠DEF =180°−65°=115°.
【点睛】
本题考查了平行线的性质求角度，掌握平行线的性质是解题的关键．
2、 (1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【解析】
【分析】
（1）直接连接A
B 、两点，即为线段AB ；连接
C B 、并延长B 端，即为射线CB ；连接A C 、，并两端延长，即为直线AC ；
（2）如图连接CB 并延长，过点B 向上查1格，向左查2格为E ，连接BE ，知BE BC ⊥，点E 向下查2格，向左查1格为A ，从B 点向下查2格，向左查1格为D ，连接AD 即为所求；
（3）如图，连接AC C ，向下查3格，然后向左查4格为A ，过点O 作AC 的平行线，从O 向下查3格，然后向左查4格为E ，连接OE 即为所求．
(1)
解：如图
(2)
解：如图连接CB 并延长，过点B 向上查1格，向左查2格为E ，连接BE ，知BE BC ⊥，点E 向下查2格，向左查1格为A ，从B 点向下查2格，向左查1格为D ，连接AD 即为所求．
(3)
解：如图，连接AC C
，向下查3格，然后向左查4格为A，过点O作AC的平行线，从O向下查3格，然后向左查4格为E，连接OE即为所求．
【点睛】
本题考查了直线、线段、射线，垂线与平行线等知识．解题的关键在于对知识的正确理解．
3、基础问题：平行于同一条直线的两条直线平行；∠AGM；两直线平行，内错角相等；∠DGM，两直线平行，内错角相等；类比探究：∠AGD＝∠A-∠D；应用拓展：42°．
【解析】
【分析】
基础问题：由MN∥AB，可得∠A＝∠AGM，由MN∥CD，可得∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D；
类比探究：如图所示，过点G作直线MN∥AB，同理可得∠A＝∠AGM，∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM-∠DGM＝∠A-∠D．
应用拓展：如图所示，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，由MN∥AB，PQ∥AB，得到
∠BAG＝∠AGM，∠BAH=∠AHP，由MN∥CD，PQ∥CD，得到∠CDG＝∠DGM，∠CDH=∠DHP，再由∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，可得∠GDH=44°，∠DHP=22°，则∠CDG=66°，∠AHP=54°，∠DGM=66°，∠BAH=54°，再由AH平分∠BAG，即可得到∠AGM=108°，则∠AGD=∠AGM-
∠DGM=42°．
【详解】
解：基础问题：过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM（两直线平行，内错角相等），
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM（两直线平行，内错角相等），
∴∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；∠AGM；两直线平行，内错角相等；∠DGM，两直线平行，内错角相等；
类比探究：如图所示，过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM，
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM，
∴∠AGD＝∠AGM-∠DGM＝∠A-∠D．
应用拓展：如图所示，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，PQ∥CD
∵MN∥AB，PQ∥AB，
∴∠BAG＝∠AGM，∠BAH=∠AHP，
∵MN∥CD，PQ∥CD，
∴∠CDG＝∠DGM，∠CDH=∠DHP，
∵∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，
∴∠GDH=44°，∠DHP=22°，
∴∠CDG=66°，∠AHP=54°，
∴∠DGM=66°，∠BAH=54°，
∵AH平分∠BAG，
∴∠BAG=2∠BAH=108°，
∴∠AGM=108°，
∴∠AGD=∠AGM-∠DGM=42°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．
4、12
5
.
【解析】
【分析】
只要证明CD⊥AB即可解决问题．【详解】
解：如图②中，
∵点D 是△ABC 的“理想点”，
∴∠ACD =∠B ，
∵90ACD BCD ∠+∠=︒，
∴90BCD B ∠+∠=︒，
∴90CDB ∠=︒，
CD AB ∴⊥ ，
在Rt △ABC 中，
9054ACB AB AC ∠=︒==，，，
∴BC 3= ， ∵1
21••••2AB CD AC BC =,
3121542
CD ⨯=⨯⨯∴ 125
CD ∴=． 【点睛】
本解考查了直角三角形判定和性质，理解新定义是解本题的关键．
5、①或③，理由见解析．
【解析】
【分析】
首先根据AD EF ，12180∠+∠=︒，得到1BAD ∠=∠，然后根据平行线的判定定理逐个判断求解即可．
【详解】
解：∵AD EF ，
∴2180BAD ∠+∠=︒，
∵12180∠+∠=︒，
∴1BAD ∠=∠，
当选择条件①DG 平分ADC ∠时，
∴1ADG ∠=∠，
∴ADG BAD ∠=∠，
∴DG AB ，故选择条件①可以使DG AB ；
当选择条件②C CAD ∠=∠时，
∵1AGD C ∠=∠+∠，BAG BAD CAD ∠=∠+∠，
∴BAG AGD ∠=∠，同旁内角相等，不能证明两直线平行，
∴选择条件②不可以使DG AB ；
当选择条件③B BAD ∠=∠时，
∵1BAD ∠=∠，
∴1B ∠=∠，
∴DG AB ，故选择条件③可以使DG AB ，
综上所述，使DG AB ，可以选的条件是①或③．
故答案为：①或③．
【点睛】
此题考查了平行线的性质和判定定理，三角形外角的性质和角平分线的概念，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定定理．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．。