随机信号分析 第三版 第一章 习题答案
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1. 2. 3. 4. 5.
6. 有四批零件,第一批有2000个零件,其中5%是次品。
第二批有500个零件,其中40%是次品。
第三批和第四批各有1000个零件,次品约占10%。
我们随机地选择一个批次,并随机地取出一个零件。
(1) 问所选零件为次品的概率是多少? (2) 发现次品后,它来自第二批的概率是多少? 解:(1)用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件,用D 表示所有次品零件组成的事件。
()()()()1
2
3
4
1
4
P B P B P B P B ==== ()()()()1234100
200
0.050.42000500100
100
0.1
0.1
10001000P D B P D B P D B P D B ===
=====
()1111
0.050.40.10.10.1625
4444
P D =⨯+⨯+⨯+⨯=
(2)发现次品后,它来自第二批的概
率为,
()()()2220.250.4
0.615
0.1625
P B P D B P B D P D ⨯=
=
=
7. 8.
9. 设随机试验X 的分布律为
求X 的概率密度和分布函数,并给出图形。
解:()()()()0.210.520.33f x x x x δδδ=-+-+-
()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-
10.
11. 设随机变量X 的概率密度函数为()x
f x ae -=,求:(1)系数a ;(2)其分布函数。
解:(1)由()1f x dx ∞-∞
=⎰
()0
()2x
x
x
f x dx ae dx a e dx e dx a ∞
∞
∞
---∞
-∞
-∞
==+=⎰⎰⎰⎰
所以12
a = (2)()1()2
x x
t
F x f t dt e dt --∞
-∞==⎰
⎰
所以X 的分布函数为
()1,02
11,02
x
x e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨
⎪-≥⎪⎩
12.
13.
14. 若随机变量X 与Y 的联合分布律为
求:(1)X 与Y 的联合分布函数与密度函数;
(2)X 与Y 的边缘分布律;(3)Z XY =的分布律;(4)X 与Y 的相关系数。
(北P181,T3) 解:(1)
()()()()()()()
,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1F x y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =+++-+
-++-+-- ()()()()()()()
,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1f x y x y x y x y x y x y x y δδδδδδ=+++-+
-++-+--
(2) X 的分布律为
()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60
P X P X ==++===++=
Y
的分布律为
()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35
P Y P Y P Y =-=+===+===+=
(3)Z XY =的分布律为
()()()()()()()()()()111,10.08
0001,00.400.320.72111,10.20
P Z P XY P X Y P Z P XY P X P X Y P Z P XY P X Y =-==-===-======+===+========
(4)因为
()()()00.4010.600.60
10.1500.5010.350.20
E X E Y =⨯+⨯==-⨯+⨯+⨯= ()()10.0800.7210.200.12
E XY =-⨯+⨯+⨯= 则
()()()()ov ,0.120.600.200
C X Y E XY E X E Y =-=-⨯=
X
与Y 的相关系数0XY
ρ=,可见它们无关。
15.
16. 设随机变量()~0,1X N ,()~0,1Y N 且相互独立,
U X Y V X Y
=+⎧⎨
=-⎩。
(1) 随机变量(),U V 的联合概率密度(),UV
f u v ;
(2) 随机变量U 与V 是否相互独立? 解:(1)随机变量(),X Y 的联合概率密度为
()()222
2
1
,,,2x y XY f x y e x y R π
+-
=
∈
由反函数
22
u v x u v y +⎧=⎪⎪⎨
-⎪=⎪⎩,
1
1
122
11222
J =
=--,
()()22
2
4
1,,,4u v UV f u v e u v R π
+-
=
∈
(2)由于
,
2
22
2
4
4414u
v u v e π
+---⎛⎫⎛⎫=⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎭
()()()
()2,,UV U V f u v f u f v u v R =∈
所以随机变量U 与V 相互独立。
17. 18. 19. 20.
21. 已知对随机变量X 与Y ,有1EX =,3EY =,()4D X =,()16D Y =,0.5XY
ρ=,又设3U X Y =+,2V X Y =-,试求EU ,EV ,()D U ,()D V 和(,)Cov U V 。
解:首先,
2
2
()()5EX D X EX =+=, 2
2
()()25EY D Y EY =+=。
又因为()(,)7E XY Cov X Y EX EY EX EY ρ=+⨯=⨯=。
于是
(3)36EU E X Y EX EY =+=+=, (2)25EV E X Y EX EY =-=-=-
22222
()()(96)()76D U EU EU E X XY Y EU =-=++-= 22222
()()(44)()52D V EV EV E X XY Y EV =-=-+-= []22
()(3)(2)(352)70E UV E X Y X Y E X XY Y =+-=--=-
(,)()40
Cov U V E UV EU EV =-⨯=-
22. 23.
24. 已知随机变量X 服从[0,]a 上的均匀分布。
随机变量Y 服从[,]X a 上的均匀分布,试求 (1) (),(0)E Y X X a ≤≤; (2) EY
解:(1)对[0,]x a ∈有,()2a X E Y X +=
(2)/23(())224a X a a EY E E Y X E a ++⎛⎫===
= ⎪⎝⎭
25. 设太空梭飞行中,宇宙粒子进入其仪器
舱的数目N 服从泊松分布。
进舱后每个粒子造成损坏的概率为p ,彼此独立。
求:造成损坏的粒子平均数目。
(北P101,T10) 解:每个粒子是否造成损坏用i
X 表示
1,1,2,,0i X i N
⎧==⎨
⎩ 造成损坏没有造成损害
,
造成损坏的粒子数1
N
i
i Y X ==∑,于是
()
1
1
(|)(|)|n n
i i i i E Y N n E X N n E X N n =======∑∑
可合理地认为N 和i
X 是独立的,于是
()1
(|)n
i i E Y X n E X np
====∑
()()()()(|)E Y E E Y N E Np pE N p
λ====
26.
27. 随机变量1
2
3
,,X X X 彼此独立;且特征函数分别为1
2
3
(),(),()x x x φφφ,求下列随机变量的特征函数:
(1)12
X X X =+; (2)123
X X X X =++; (3)123
23X X X X =++; (4)123
2410X X X X =+++; 解:(1)12
()()()jvX
X v E e v v φφφ⎡⎤==⎣⎦ (2)同(1),123
()()()()X v v v v
φφφφ= (3)()123
23123
()()(2)(3)jv X X X X v E e v v v φφφφ++⎡⎤==⎣⎦ (4)(
)123241010
123
()(2)()(4)jv X X X jv X v E e e v v v φφφφ+++⎡⎤==⎣⎦
28. 随机变量X 具有下列特征函数,求其概率密度函数、均值、均方值与方差。
(1)2424()0.20.30.20.20.1j v j v j v j v
v e e e e φ--=++++; (2)()0.30.7jv jv
v e e φ-=+; (3)()4/(4)v jv φ=-; (4)()(sin 5)/(5)v v v φ=; 解:(1)()()()()()()0.20.320.240.220.14f x x x x x x δδδδδ=+-+-++++
()()()(0)/20.340.220.240.10.6E X j φ'==⨯+⨯+-⨯+-⨯= ()()()22
222
(0)20.340.220.240.1 6.8E X φ''=-=⨯+⨯+-⨯+-⨯=
()()()22 6.80.36 6.44
Var X E X E X =-=-=
(2)()()()0.310.71f x x x δδ=-++
()()(0)/10.310.70.4
E X j φ'==⨯+-⨯=- ()()2
22(0)10.310.71
E X φ''=-=⨯+-⨯=
()()()2210.160.84
Var X E X E X =-=-=
(3)利用傅里叶变换公式,可知这是指数分布,
()44()x
f x e u x -=
()2
1
(0)/4(4)4
v E X j jv φ-='==-= ()2
3
1
(0)8(4)8
v E X jv φ-=''=-=-= ()()22111()81616
Var X E X E X =-=-=。
(4)sin 512sin 5()510v v v v v
φ==⨯,利用傅里叶变换公式,可知这是均匀分布,
()1
,5510
0,x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他
()0
E X =,
()21025
123
Var X ==
,
()()()2225
3
E X Var X E X =+=。
29. 利用傅立叶变换推导均匀分布的特征函数。
解:由于()f x 是宽度为b a -,高度为1
b a
-,中心
在2
a b
+处的矩形函数。
其傅立叶变换为 []()22sin ()/21
()jv a b v b a F v e b a v
-+-=
⨯- []
[]
()2
sin ()2()()()2()
jvb jva
jv a b X v b a e e v F v e
v b a jv b a φ+--=-=
=
--
30. 31.
32. 设有高斯随机变量2
~(,)X N μσ,试利用随机变量的矩发生特性证明: (1) EX μ= (2) 2
2
2
EX σμ=+ (3) 3
2
3
3EX μσμ=+
解:特征函数为22
()exp(2)X
v j v v φμσ=-,由矩发生性质,
22
22
()(0)()()e j v v X
v EX j j j v μσφμσμ
-='=-=--=22
22
222222
22
220
()(0)()()e e j v v j v v X
v EX j j j v μσμσ
φμσσσμ--=⎡⎤''=-=---=+⎣
⎦22
22
333232
222
230
()(0)()()e 3()e 3X
j v v j v v v EX j j j v j v μσμσ
φμσσμσμσμ--='''=-⎡⎤=----=+⎣
⎦。